均值不等式在实际生活中的应用

在日常生活中遇到的土地利用、机械制造、广告投资等问题可用均值不等式来解决．这节主要介绍均值不等式在以上三个方面中的应用．

例1  利用已有足够长的一面围墙和米的篱笆围成一个矩形场地，问如何围才能使围成的场地面积最大？

解　设围墙的邻边长为米，则围墙对边长为米，那么所围场地面积为

，

当且仅当，即米时，围成的面积最大，最大值为平方米．

机械制造业是各行业技术装备的主要提供者，为其它行业的发展提供必不可少的基础条件，市场需要工厂生产不同规格的零件去满足不同的需求，如果要利用同样的材料制造不同特点的产品，那么此时会用到均值不等式．

例2  用一块钢锭铸造一个厚度均匀，且全面积为的正四棱锥形有盖容器，设容器高为米，盖子的边长为米，容器的容积为，问当为何值时，最大，并求最大值．

解  因为底面积为，四个侧面积均为，所以全面积为

，

整理得 ，而容积

，

由均值不等式，得

，

当且仅当时，取等号，即，时，容器的容积最大，其最大值为立方米．

近年来广告业一场突起，可以说为企业的生存和发展劈荆斩棘，在一定条件下，销售量是广告费的增函数，但销售应有极限，盲目加大投入，企业必将亏损，所以企业在策划这方面时，应该运用均值不等式检测是否合理．

例3  某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量（万件）与广告费（万元）之间的函数关系式为 ，已知生产此产品的年固定投入为万元，每生产万件此产品仍需再投入万元，若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之差，求年广告费投入多少时，企业年利润最大？

解　设企业年利润为万元，由已知条件，知年成本为万元，年收入为

万元，则年利润

，

整理得

 ．

由于

，

因此当且仅当，即时，有最大值，最大值为万元．