2015年高考真题——理科数学(浙江卷)

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中

只有一项是符合题目要求的。

    1．已知集合，，则（   ）

（A）     （B）        （C）      （D）

2．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（   ）  

（A）     （B）    （C）     （D）

3．已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若成等比数列，则（   ）  （A）， 

（B），      （C），     （D）， 

4．命题“，且”的否定形式是（   ）  

（A），且    （B），或

（C），且   （D），或

5．如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（   ）  （A）

（B）       （C）      （D）

6．设是有限集，定义，其中表示有限集中的元素个数，命题①：对任意有限集，“”是“”的充分必要条件；命题②：对任意有限集，。则（   ）  （A）命题①和命题②都成立          （B）命题①和命题②都不成立

（C）命题①成立，命题②不成立      （D）命题①不成立，命题②成立

7．存在函数满足，对任意都有（   ）

（A）      （B）

（C）      （D）

8．如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则（   ）

（A）       （B）

（C）       （D）

二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

    9．双曲线的焦距是          ，渐近线方程是_____________。

10．已知函数，则         ，的最小值是________。

11．函数的最小正周期是             ，单调递减区间是_________________。

    12．若，则________。

    13．如图，三棱锥中，，，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是________。

    14．若实数满足，则的最小值是________。

    15．已知是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，，则      ，      ， ________。

三．解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本题满分14分）在中，内角所对边分别为。已知，。求的值；若的面积为3，求的值。

    17．（本题满分15分）如图，在三棱柱中，，，，在底面的射影为的中点，为的中点。证明：平面；求二面角的平面角的余弦值。

    18．（本题满分15分）已知函数，记是在区间上的最大值。证明：当时，；当满足，求的最大值。

    19．（本题满分15分）已知椭圆上两个不同的点关于直线对称。求实数的取值范围；求面积的最大值（为坐标原点）。

20．（本题满分15分）已知数列满足且，数列的前项和为，证明： ； 。

2015年普通高校招生全国统考数学试卷浙江卷解答

一．CCBDA  ADB

二．9．，；10．0，；11．，；12．；13．；14．3；15．1，2， 

16．解：由及正弦定理得，故。又由，即，得，解得；

由得，，又，故，由正弦定理得，又，，故，故。

17．设为的中点，连。由题平面，故。因，故，从而平面。由分别的中点，得且，从而且，所以为平行四边形，故。又平面，故平面；

作于，连，由题，，得。由，，得。由，得，因此为二面角的平面角。由，，，得，，由余弦定理得即为所求。

18．解：由，得对称轴为直线，由，得，故在上单调，因此。当时，由，故，因此，即；当时，由，故，因此，即。综上，当时，；

由得，，故，，由，得。当，时，，且在的最大值为2，即，故的最大值为3。

19．解：由题知，可设直线：，代入椭圆方程并整理得。因直线与椭圆有两个不同的交点，故①。将中点代入直线方程得②。由①②得或；

令，则，且到的距离为，故的面积，当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为。

20．解：由题，即，故。由得，故，从而，即；

由题，故①。由和得，，故，因此②，

由①②得。