2018年闵行松江高三二模数学Word版(附解析)

2018.04

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1. 双曲线22

219

x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a =

2. 若二元一次方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪

⎝⎭

，其解为10

0x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 3. 设m ∈R ，若复数(1)(1)z mi i =++在复平面内对应的点位于实轴上，则m =

4. 定义在R 上的函数()21x f x =-的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -=

5. 直线l 的参数方程为112x t

y t

=+⎧⎨

=-+⎩（t 为参数），则l 的一个法向量为

6. 已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n N ∈，

{}n a 的前n 项和为n S ，则l i m n

n n

S n a →∞=⋅

7. 已知向量a 、b 的夹角为60°，||1a =，||2b =，若(2)()a b xa b +⊥-，则实数x 的值为

8. 若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为 9. 若平面区域的点(,)x y 满足不等式||||

14

x y k +≤（0k >），且z x y =+的最小值为5-，

则常数k =

10. 若函数2()log (1)a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围是 11. 设1234,,,{1,0,2}x x x x ∈-，那么满足12342||||||||4x x x x ≤+++≤的所有有序数对

1234(,,,)x x x x 的组数为

12. 设*n N ∈，n a 为(4)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，3

24

c t =

-，t ∈R ， 1222[][][]555

n n n na a a

b =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t b

c -++

的最小值为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. “0xy =”是“0x =且0y =”成立的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件

D. 既非充分也非必要条件

14. 如图，点A 、B 、C 分别在空间直角坐标系O xyz - 的三条坐标轴上，(0,0,2)OC =，平面ABC 的法向量为

(2,1,2)n =，设二面角C AB O --的大小为θ，则

cos θ=（ ）

A.

43

B. C. 23 D. 2

3

-

15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列判断一定正确的是（ ） A. 若30S >，则20180a > B. 若30S <，则20180a < C. 若21a a >，则20192018a a > D. 若21

11

a a >，则20192018a a < 16. 给出下列三个命题：

命题1：存在奇函数()f x （1x D ∈）和偶函数()g x （2x D ∈），使得函数()()f x g x （1

2x D D ∈）是偶函数；

命题2：存在函数()f x 、()g x 及区间D ，使得()f x 、()g x 在D 上均是增函数，但()()f x g x 在D 上是减函数；

命题3：存在函数()f x 、()g x （定义域均为D ），使得()f x 、()g x 在0x x =（0x D ∈）处均取到最大值，但()()f x g x 在0x x =处取到最小值； 那么真命题的个数是（ ）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 、1CC 的中点. （1）求三棱锥E DFC -的体积；

（2）求异面直线1A E 与1D F 所成的角的大小.

18. 已知函数()cos f x x x ωω=+. （1）当()03

f π

-=，且||1ω<，求ω的值；

（2）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，a =3b c +=，当2ω=，

()1f A =时，求bc 的值.

19. 某公司利用APP 线上、实体店线下销售产品A ，产品A 在上市20天内全部售完，据统计，线上日销售量()f t 、线下日销售量()g t （单位：件）与上市时间t （*t N ∈）天的关 系满足：10110

()102001020t t f t t t ≤≤⎧

=⎨

-+<≤⎩，2()20g t t t =-+（120t ≤≤），产品A 每件的

销售利润为40115

()201520t h t t ≤≤⎧=⎨<≤⎩

（单位：元）（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）.

（1）设该公司产品A 的日销售利润为()F t ，写出()F t 的函数解析式； （2）产品A 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？

20. 已知椭圆22

22:1x y a b

Γ+=（0a b >>），其左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为B ，O

为坐标原点，过2F 的直线l 交椭圆Γ于P 、Q

两点，1sin BF O ∠=.

（1）若直线l 垂直于x 轴，求12||

||PF PF 的值；

（2

）若b =，直线l 的斜率为1

2

，则椭圆Γ上是否存在一点E ，使得1F 、E 关于直线l

成轴对称？如果存在，求出点E 的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）

设直线1:l y =上总存在点M 满足2OP OQ OM +=，当b 的取值最小时，求直线l 的倾斜角α.

21. 无穷数列{}n a （*n N ∈），若存在正整数t ，使得该数列由t 个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数n ，12,,,n n n t a a a +++⋅⋅⋅中至少有一个等于n a ，则称数列{}n a 具有性质T ，

集合*{|,}n P p p a n N ==∈.

（1）若(1)n

n a =-，*n N ∈，判断数列{}n a 是否具有性质T ；

（2）数列{}n a 具有性质T ，且11a =，43a =，82a =，{1,2,3}P =，求20a 的值； （3）数列{}n a 具有性质T ，对于P 中的任意元素i p ，k i a 为第k 个满足k i i a p =的项，记

1k k k b i i +=-（*k N ∈），证明：“数列{}k b 具有性质T ”的充要条件为“数列{}n a 是周期

为t 的周期数列，且每个周期均包含t 个不同实数”.

上海市松江区2018届高三二模数学试卷

2018.04

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1. 双曲线22

219

x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a =

【解析】2a =

2. 若二元一次方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪

⎝

⎭，其解为10

0x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 【解析】12103040c c +=+=

3. 设m ∈R ，若复数(1)(1)z mi i =++在复平面内对应的点位于实轴上，则m = 【解析】虚部为零，101m m +=⇒=-

4. 定义在R 上的函数()21x f x =-的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -= 【解析】1213(3)2x f --=⇒=

5. 直线l 的参数方程为112x t

y t

=+⎧⎨

=-+⎩（t 为参数），则l 的一个法向量为

【解析】12(1)230y x x y =-+-⇒--=，法向量可以是(2,1)-

6. 已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n N ∈，

{}n a 的前n 项和为n S ，则l i m n

n n

S n a →∞=⋅

【解析】2352n n n

S +=，1lim 2n n n

S n a →∞=⋅

7. 已知向量a 、b 的夹角为60°，||1a =，||2b =，若(2)()a b xa b +⊥-，则实数x 的值为

【解析】(2)()0(21)803a b xa b x x x +⋅-=⇒+--=⇒=

8. 若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为 【解析】5R =，4r =，16S π= 9. 若平面区域的点(,)x y 满足不等式||||

14

x y k +≤（0k >），且z x y =+的最小值为5-， 则常数k = 【解析】数形结合，可知图像

||||14

x y k +=经过点(5,0)-，∴5k = 10. 若函数2

()log (1)a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围是

【解析】分类讨论，当01a <<时，没有最小值，当1a >时，即210x ax -+≤有解， ∴02a ∆≥⇒≥，综上，(0,1)[2,)a ∈+∞

11. 设1234,,,{1,0,2}x x x x ∈-，那么满足12342||||||||4x x x x ≤+++≤的所有有序数对

1234(,,,)x x x x 的组数为

【解析】① 1234||||||||2x x x x +++=，有10组；② 1234||||||||3x x x x +++=， 有16组；③ 1234||||||||4x x x x +++=，有19组；综上，共45组 12. 设*n N ∈，n a 为(4)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，3

24

c t =

-，t ∈R ， 1222[][][]555

n n n na a a

b =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t b

c -++

的最小值为

【解析】52n

n

n a =-，2[][]155n n n n na n n n ⋅=-=-，22

n n n b -=，22()()n n t b c -++的几何

意义为点2(,)2n n n -()n ∈*N 到点3(,2)4t t -的距离，由图得，最小值即(2,1)到3

24

y x =-

的距离，为0.4

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. “0xy =”是“0x =且0y =”成立的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件

D. 既非充分也非必要条件

【解析】B

14. 如图，点A 、B 、C 分别在空间直角坐标系O xyz - 的三条坐标轴上，(0,0,2)OC =，平面ABC 的法向量为

(2,1,2)n =，设二面角C AB O --的大小为θ，则

cos θ=（ ）

A.

43

B. C. 23 D. 23

-

【解析】42

cos 233

||||OC n OC n θ⋅=

==⋅⋅，选C

15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列判断一定正确的是（ ） A. 若30S >，则20180a > B. 若30S <，则20180a < C. 若21a a >，则20192018a a > D. 若

21

11

a a >，则20192018a a < 【解析】A 反例，11a =，22a =-，34a =，则20180a <；B 反例，14a =-，22a =，

31

a =-，则20180a >；C 反例同B 反例，201920180a a <<；故选D

16. 给出下列三个命题：

命题1：存在奇函数()f x （1x D ∈）和偶函数()g x （2x D ∈），使得函数()()f x g x （12x D D ∈）是偶函数；

命题2：存在函数()f x 、()g x 及区间D ，使得()f x 、()g x 在D 上均是增函数，但()()f x g x 在D 上是减函数；

命题3：存在函数()f x 、()g x （定义域均为D ），使得()f x 、()g x 在0x x =（0x D ∈）处均取到最大值，但()()f x g x 在0x x =处取到最小值；

那么真命题的个数是（ ）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

【解析】命题1：()()0f x g x ==，x ∈R ；命题2：()()f x g x x ==，(,0)x ∈-∞； 命题3：2()()f x g x x ==-，x ∈R ；均为真命题，选D

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 、1CC 的中点.

（1）求三棱锥E DFC -的体积；

（2）求异面直线1A E 与1D F 所成的角的大小.

【解析】（1）121233

V =

⨯⨯= （2）4cos

5θ==，所成角为4arccos 5

18. 已知函数()cos f x x x ωω=+.

（1）当()03

f π

-=，且||1ω<，求ω的值；

（2）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，a =3b c +=，当2ω=， ()1f A =时，求bc 的值.

【解析】（1）()2sin()6f x x πω=+，()0336f k πωπππ-=⇒-+=，||1ω<，∴12ω= （2）()1f A =⇒3A π=

，由余弦定理，2bc =

19. 某公司利用APP 线上、实体店线下销售产品A ，产品A 在上市20天内全部售完，据统计，线上日销售量()f t 、线下日销售量()g t （单位：件）与上市时间t （*t N ∈）天的关 系满足：10110()102001020t t f t t t ≤≤⎧

=⎨-+<≤⎩，2()20g t t t =-+（120t ≤≤），产品A 每件的 销售利润为40115()201520t h t t ≤≤⎧=⎨

<≤⎩（单位：元）（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）.

（1）设该公司产品A 的日销售利润为()F t ，写出()F t 的函数解析式；

（2）产品A 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？

【解析】（1）22240(30),110()40(10200),101520(10200),1520t t t F t t t t t t t ⎧-+≤≤⎪=-++<≤⎨⎪-++<≤⎩

（2）()5000515F t t ≥⇒≤≤，第5天到第15天

20. 已知椭圆22

22:1x y a b

Γ+=（0a b >>），其左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为B ，O 为坐标原点，过2F 的直线l 交椭圆Γ于P 、Q

两点，1sin BF O ∠=. （1）若直线l 垂直于x 轴，求12||||

PF PF 的值； （2

）若b =，直线l 的斜率为12

，则椭圆Γ上是否存在一点E ，使得1F 、E 关于直线l 成轴对称？如果存在，求出点E 的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）

设直线1:l y =上总存在点M 满足2OP OQ OM +=，当b 的取值最小时，求直线l 的倾斜角α.

【解析】（1）22

231

x y b +=

，:l x =

，2PF =

，1PF =，12||5||PF PF = （2）22231x y +=，1:(2)2

l y x =-，1(2,0)F -，关于l 对称点216(,)55E --，不在椭圆上 （3

）设:()l y k x =，点差得1:3OM l y x k =-

，联立1:l y =

，得(M -， 代入直线l

()k =-

，∴6b =-≥

，k =，56

πα=

21. 无穷数列{}n a （*n N ∈），若存在正整数t ，使得该数列由t 个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数n ，12,,,n n n t a a a +++⋅⋅⋅中至少有一个等于n a ，则称数列{}n a 具有性质T ，集合*{|,}n P p p a n N ==∈.

（1）若(1)n n a =-，*n N ∈，判断数列{}n a 是否具有性质T ；

（2）数列{}n a 具有性质T ，且11a =，43a =，82a =，{1,2,3}P =，求20a 的值；

（3）数列{}n a 具有性质T ，对于P 中的任意元素i p ，k i a 为第k 个满足k i i a p =的项，记1k k k b i i +=-（*k N ∈），证明：“数列{}k b 具有性质T ”的充要条件为“数列{}n a 是周期为t 的周期数列，且每个周期均包含t 个不同实数”.

【解析】（1）2t =，对任意正整数n ，2n n a a +=恒成立，∴具有性质T

（2）分类讨论，得结论，6n ≥，{}n a 有周期性，周期为3，∴2082a a ==

（3）略