控制系统滞后-超前校正设计

初始条件：已知一单位反馈系统的开环传递函数是

要求系统的静态速度误差系数，相角裕度。

要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）

（1）用MATLAB画出满足初始条件的最小K值的系统伯德图，计算系统的幅值裕度和相角裕度。

（2）前向通路中插入一相位滞后－超前校正，确定校正网络的传递函数。

（3）用MATLAB画出未校正和已校正系统的根轨迹。

（4）用Matlab画出已校正系统的单位阶跃响应曲线、求出超调量、峰值时间、调节时间及稳态误差。

（5）课程设计说明书中要求写清楚计算分析的过程，列出MATLAB程序和MATLAB输出。说明书的格式按照教务处标准书写。

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摘要

《自动控制原理》在工程应用中有了不可缺少作用，拥有非常重要的地位，一个理想的控制系统更是重要。然而，理想的控制系统是难以实现的。要想拥有一个近乎理想的控制系统，就得对设计的控制系统进行校正设计。对于一个控制系统，要想知道其的性能是否满足工程应用的要求，就得对系统进行分析。对性能指标不满足要求的系统必须对其校正，目前常用的无源串联校正方法有超前校正、滞后校正和滞后-超前校正。滞后-超前校正方法融合了超前和滞后校正的特点，具有更好的校正性能。在校正设计过程中需要利用仿真软件MATLAB绘制系统的伯德图、根轨迹和单位阶跃响应曲线以获得系统的相关参数。在本文中采用的滞后-超前校正设计校正了不稳定系统，使校正后的系统变得稳定且满足了性能指标要求，达到了校正的目的。

关键字：滞后-超前、系统校正、

控制系统的滞后－超前校正设计

1设计题目和设计要求

1.1题目

控制系统的滞后－超前校正设计

1.2初始条件

已知一单位反馈系统的开环传递函数是

1.3设计要求

要求系统的静态速度误差系数，相角裕度。

1.4主要任务

1）用MATLAB画出满足初始条件的最小K值的系统伯德图，计算系统的幅值裕度和相角裕度。

2）向通路中插入一相位滞后－超前校正，确定校正网络的传递函数。

3）用MATLAB画出未校正和已校正系统的根轨迹。

4）用Matlab画出已校正系统的单位阶跃响应曲线、求出超调量、峰值时间、调节时间及稳态误差。

5）课程设计说明书中要求写清楚计算分析的过程，列出MATLAB程序和MATLAB输出。

2设计原理

系统校正，就是在系统中加入一些机构或装置，使系统整个性能发生改变，改善系统的各项性能指标，从而满足给定的性能指标要求。插入系统的机构或装置其参数可根据校正前系统的需要来设计校正环节的结构参数，从而达到校正系统的目的。

校正环节分为无源校正和有源校正。常用的无源校正环节有滞后校正、超前校正、滞后-超前校正这三种类型。本文主要采用滞后-超前校正。

2.1滞后-超前校正原理

无源滞后-超前校正网络的电路图如图2-1所示。由并联的R1和C1和串联的R2和C2组成滞后-超前网络。

图2-1  无源滞后-超前校正网络电路图

其传递函数为：

 （2-1）

式中：

经过化简后可得：

  （2-2）

其中，是校正网络的滞后部分，是校正网络的超前部分。无源滞后-超前网络的对数幅频渐近特性曲线如图2-2所示，其低频部分和高频部分均起始于和终止于0dB水平线。从图中可知，只要确定ωa, ωb,和a，或者确定Ta, Tb,和a三个的变量，校正网络的对数幅频渐近线的形状和传递函数就可以确定。

图2-2  无源滞后-超前网络对数幅频特性曲线

滞后-超前校正环节同时具有滞后校正和超前校正的优点，即已校正系统响应速度较快，超调量较小，抑制高频噪声的性能也较好。当待校正系统不稳定，且要求校正后系统的响应速度、相位裕度和稳态精度较高时，采用滞后-超前校正为宜。其基本原理是利用滞后-超前网络的超前部分来增大系统的相位裕度，同时利用滞后部分来改善系统的稳态性能。

采用解析法的滞后-超前校正的设计步骤如下：

（1）根据稳态性能要求确定开环增益K。

（2）绘制未校正系统的对数频率特性曲线，求出开环截止频率、相角裕度、幅值裕度；

（3）在未校正系统对数频率特性曲线上，选择一频率作为校正后的截止频率，使，要求的相角裕度将由校正网络的超前部分补偿；

（4）计算需要补偿的相角，并由确定值；

（5）选择校正网络滞后部分的零点；

（6）跟据未校正系统在处的分贝值，由得出

（7）由上述参数确定校正环节的传递函数和校正后系统的传递函数

（8）将得到的数据与设计要求对比，如符合要求，则设计成功，否则，就需要调整滞后部分的相关参数，得到新的滞后部分传递函数，直至符合设计要求为止。

3设计方案

在选择合适的校正方案之前，应先计算系统的相关参数和对系统的稳定性判断。判定方法是用MATLAB画出未校正系统的伯德图，算出未校正系统的相角裕度和幅值裕度，根据计算结果判别系统是否稳定以及选定合适的校正方案。

3.1校正前系统分析

3.1.1确定未校正系统的K值

由静态速度误差系数的定义：

 （3-1）

根据任务设计要求系统的静态速度误差系数可得：K=20,于是可得待校正系统的开环传递函数为：

 （3-2）

3.1.2未校正系统的伯德图和单位阶跃响应曲线和根轨迹

1）绘制未校正系统的伯德图程序如下，未校正系统伯德图如图3-1所示。

思路：定义三个变量num2，den2，sys2分别保存系统K值、传递函数分母多项式的乘积和系统传递函数的结果。最后调用margin函数画出系统伯德图，并且画出网格。从图上即可读出相角裕度和幅值裕度。

num2=10;

den2=conv(conv([1,0],[1,1]),[0.5,1]);

sys2=tf(num2,den2);

margin(sys2)

grid on

title('未校正系统伯德图')

2）绘制未校正系统的单位阶跃响应曲线程序如下，单位阶跃响应曲线如图3-2所示。

思路：定义三个变量num2，den2，sys2分别保存系统K值、传递函数分母多项式的乘积和系统传递函数的结果。在调用feedback函数计算系统的单位阶跃响应并保存在变量sys2_step中。最后调用step函数画出系统的单位阶跃响应曲线，并且画出网格。从图上即可观察系统的单位阶跃响应。

num2=10;

den2=conv(conv([1,0],[1,1]),[0.5,1]);

sys2=tf(num2,den2);

sys2_step=feedback(sys2,1);

step(sys2_step)

grid on

图3-1  未校正系统伯德图

3）绘制未校正系统的根轨迹曲线程序如下，单位阶跃响应曲线如图3-3所示。

思路：定义三个变量num2，den2，sys2分别保存系统K值、传递函数分母多项式的乘积和系统传递函数的结果。最后调用rlocus函数画出系统根轨迹。

num2=10;

den2=conv(conv([1,0],[1,1]),[0.5,1]);

sys2=tf(num2,den2);

rlocus(sys2)

hold on

图3-2  未校正系统的单位阶跃响应曲线

图3-3  未校正系统的根轨迹

3.1.3未校正系统的相角裕度和幅值裕度

未校正系统伯德图如图3-1所示，从图中可得出未校正系统的穿越频率为1.41rad/s，对应的幅值裕度为-10.5dB，截止频率为2.43rad/s,对应的相角裕度为-28.1°。由于相角裕度小于零，幅值裕度小于1为负值，说明未校正系统不稳定。从图3-2更加直观的看出未校正系统的动态性能，未校正系统的单位阶跃响应曲线呈发散震荡形式，系统严重不稳定。

3.2方案选择

由计算的幅值裕度和相角裕度可知原系统是不稳定的，根据任务设计要求要使校正后的系统的相角裕度，所以本文采用滞后-超前校正设计，增大系统的相角裕度，同时改善系统的稳态性能。

4设计分析与计算

4.1校正环节参数计算

根据给定的系统性能指标结合计算出来的未校正系统的截止频率、幅值裕度和相角裕度，按照滞后-超前校正的设计步骤，确定出校正环节参数。

4.1.1已校正系统截止频率的确定

为了降低系统的阶次，且保证中频区斜率为-20dB/dec且占有较宽的频带，由得

 （4-1）

解得： 取

4.1.4校正环节滞后部分交接频率的确定

任务设计要求，为保证校正后的系统满足要求，取

由得：

所以由得：

所以： 

4.1.1校正环节超前部分交接频率的确定

由得：

所以：

4.2校正环节的传递函数

把上述计算得到的结果带入式（2-2）可得校正环节的传递函数：

 （4-2）

4.3已校正系统传递函数

把式（3-2）未校正系统的传递函数和式（4-2）校正环节的传递函数相乘即可得到已校正系统的传递函数：

 （4-3）

根据计算的参数可知，校正后系统的截止频率为。

5已校正系统的仿真波形及仿真程序

5.1已校正系统的根轨迹

绘制已校正系统的根轨迹曲线程序如下，校正后系统的根轨迹如图6-1所示。

思路：定义三个变量num1，den1，sys1分别保存校正环节的分子多项式的乘积、校正环节分母多项式的乘积和校正环节传递函数的计算结果。定义三个变量num2，den2，sys2分别保存未校正系统分子多项式的乘积、未校正系统分母多项式的乘积和未校正系统传递函数的计算结果。用sys3保存校正后的系统的传递函数的计算结果。调用rlocus函数画出校正后系统根轨迹。

num1=conv([6.67,1],[1.13,1]);

den1=conv([50.36,1],[0.15,1]);

sys1=tf(num1,den1);

num2=10;

den2=conv(conv([1,0],[1,1]),[0.5,1]);

sys2=tf(num2,den2);

sys3=series(sys1,sys2);

rlocus(sys3)

hold on

图6-1  已校正系统的根轨迹

5.2已校正系统的伯德图

绘制已校正系统的伯德图程序如下，校正后系统的伯德图如图6-2所示。

思路：定义三个变量num1，den1，sys1分别保存校正环节的分子多项式的乘积、校正环节分母多项式的乘积和校正环节传递函数的计算结果。定义三个变量num2，den2，sys2分别保存未校正系统分子多项式的乘积、未校正系统分母多项式的乘积和未校正系统传递函数的计算结果。用sys3保存校正后的系统的传递函数的计算结果。最后调用margin函数画出系统伯德图，并且画出网格。从图上即可读出校正后系统的相角裕度和幅值裕度。

num1=conv([6.67,1],[1.13,1]);

den1=conv([50.36,1],[0.15,1]);

sys1=tf(num1,den1);

num2=10;

den2=conv(conv([1,0],[1,1]),[0.5,1]);

sys2=tf(num2,den2);

sys3=series(sys1,sys2);

margin(sys3)

grid on

图6-2  已校正系统的伯德图

5.3已校正系统的单位阶跃响应曲线

绘制已校正系统的单位阶跃响应曲线程序如下，单位阶跃响应曲线如图6-3所示。

思路：定义三个变量num1，den1，sys1分别保存校正环节的分子多项式的乘积、校正环节分母多项式的乘积和校正环节传递函数的计算结果。定义三个变量num2，den2，sys2分别保存未校正系统分子多项式的乘积、未校正系统分母多项式的乘积和未校正系统传递函数的计算结果。用sys3保存校正后的系统的传递函数的计算结果。用feedback函数计算校正后系统的单位阶跃响应并将结果保存在变量sys3_step中，最后调用step函数画出系统的单位阶跃响应曲线，并且画出网格。从图上即可观察系统的单位阶跃响应以及校正后系统时域的性能参数。

num1=conv([6.67,1],[1.13,1]);

den1=conv([50.36,1],[0.15,1]);

sys1=tf(num1,den1);

num2=10;

den2=conv(conv([1,0],[1,1]),[0.5,1]);

sys2=tf(num2,den2);

sys3=series(sys1,sys2);

sys3_step=feedback(sys3,1);

step(sys3_step)

图6-3  已校正系统的单位阶跃响应曲线

6结果分析

从已校正系统的伯德图中可得到校正后系统的相角裕度，对应的截止频率，幅值裕度，对应的穿越频率为，图6-2所示，设计的滞后-超前校正环节达到了系统校正的指标要求。

校正前系统是不稳定的，校正后系统变稳定。校正后的相角裕度从-28.1°增大到45.8°，幅值裕度从-10.5dB提高到15.2dB。意味着系统的阻尼比增大，超调量减小，系统的动态性能变好。校正后系统的截止频率从2.43rad/s减小到1.21rad/s，意味着系统的抗高频干扰能力增强，但是，调节时间略有加长。

从已校正系统的单位阶跃响应曲线中可得，如图6-3所示，校正后系统的参数为：

上升时间：

峰值时间：

调节时间：

峰值：

稳态值：

超调量：

稳态误差：

7总结与体会

参考文献

[1] 胡寿宋. 自动控制原理(第四版). 北京：科学出版社，2001

[2] 王万良. 自动控制原理. 北京：高等教育出版社，2008

[3] 刘坤. MATLAB自动控制原理习题精解. 北京：国防工业出版社，2004

[4] 郭阳宽 王正林. 过程控制工程及仿真：基于MATLAB/Simulink. 北京：电子工业

出版社，2009 

[5] 卢京潮. 自动控制原理. 西安：西北工业大学出版社，2004

成绩评定依据：

                             年     月    日