高考数列,文科,典型例题,答案

1.【2012高考全国文6】已知数列的前项和为，，，,则

（A）           （B）          （C）         （D）

 【答案】B

【命题意图】本试题主要考查了数列中由递推公式求通项公式和数列求和的综合运用。

【解析】由可知，当时得

当时，有  ①   ②

①－②可得即，故该数列是从第二项起以为首项，以为公比的等比数列，故数列通项公式为，

故当时，

当时，，故选答案B

7.【2102高考福建文11】数列{an}的通项公式，其前n项和为Sn，则S2012等于

      A.1006       B.2012      C.503        D.0

【答案】A．

考点：数列和三角函数的周期性。

难度：中。

分析：本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和，所以先要找出周期，然后分组计算和。

解答： ，

       ，

       ，

，

所以。

即。

8.【2102高考北京文6】已知为等比数列，下面结论种正确的是

（A）a1+a3≥2a2   （B）（C）若a1=a3，则a1=a2（D）若a3＞a1，则a4＞a2

【答案】B

 【解析】当时，可知，所以A选项错误；当时，C选项错误；当时，，与D选项矛盾。因此根据均值定理可知B选项正确。

【考点定位】本小题主要考查的是等比数列的基本概念，其中还涉及了均值不等式的知识，如果对于等比数列的基本概念（公比的符号问题）理解不清，也容易错选，当然最好选择题用排除法来做。

递推数列通项求解方法

类型一：（）

思路1（递推法）： 

………。

思路2（构造法）：设，即得，数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即。

例1   已知数列满足且，求数列的通项公式。

解：方法1（递推法）：………。

方法2（构造法）：设，即，数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即。

类型二： 

思路1（递推法）：…。

思路2（叠加法）：，依次类推有：、、…、，将各式叠加并整理得，即。

例2  已知，，求。

解：方法1（递推法）： 

………。

方法2（叠加法）：，依次类推有：、、…、，将各式叠加并整理得，。

类型三： 

思路1（递推法）：……。

思路2（叠乘法）：，依次类推有：、、…、，将各式叠乘并整理得…，即…。

例3  已知，，求。

解：方法1（递推法）：…

。

方法2（叠乘法）：，依次类推有：、、…、、，将各式叠乘并整理得…，即…。

类型四： 

思路（特征根法）：为了方便，我们先假定、。递推式对应的特征方程为，当特征方程有两个相等实根时，  (、为待定系数，可利用、求得)；当特征方程有两个不等实根时、时， (、为待定系数，可利用、求得)；当特征方程的根为虚根时数列的通项与上同理，此处暂不作讨论。

例4  已知、, ,求。

解：递推式对应的特征方程为即，解得、。设，而、，即

，解得，即。

类型五： （）

思路（构造法）：，设，则，从而解得。那么是以为首项，为公比的等比数列。

例5  已知，，求。

解：设，则，解得，是以为首项，为公比的等比数列，即，。

类型六： （且）

思路（转化法）：，递推式两边同时除以得，我们令，那么问题就可以转化为类型二进行求解了。

例6  已知，，求。

解：，式子两边同时除以得，令，则，依此类推有、、…、，各式叠加得，即

。

类型七： （）

思路（转化法）：对递推式两边取对数得，我们令，这样一来，问题就可以转化成类型一进行求解了。

例7  已知，，求。

解：对递推式左右两边分别取对数得，令，则，即数列是以为首项，为公比的等比数列，即，因而得。

类型八：（）

思路（转化法）：对递推式两边取倒数得，那么，令，这样，问题就可以转化为类型一进行求解了。

例8  已知，，求。

解：对递推式左右两边取倒数得即，令则。设，即，数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即，。

类型九：（、）

思路（特征根法）：递推式对应的特征方程为即。当特征方程有两个相等实根时，数列即为等差数列，我们可设（为待定系数，可利用、求得）；当特征方程有两个不等实根、时，数列是以为首项的等比数列，我们可设（为待定系数，可利用已知其值的项间接求得）；当特征方程的根为虚根时数列通项的讨论方法与上同理，此处暂不作讨论。

例9  已知，（），求。

解：当时，递推式对应的特征方程为即，解得、。数列是以为首项的等比数列，设，由得则，，即，从而，。

寒假专题——常见递推数列通项公式的求法

重、难点：

1. 重点：

    递推关系的几种形式。

2. 难点：

灵活应用求通项公式的方法解题。

【典型例题】

[例1] 型。

（1）时，是等差数列，

（2）时，设   ∴ 

比较系数：    ∴ 

∴ 是等比数列，公比为，首项为

∴     ∴ 

[例2] 型。

（1）时，，若可求和，则可用累加消项的方法。

例：已知满足，求的通项公式。

解：

∵ 

∴   

……

对这（）个式子求和得：   ∴ 

（2）时，当则可设

∴ 

∴    解得：，

∴ 是以为首项，为公比的等比数列    

∴ 

∴   将A、B代入即可

（3）（0，1）

等式两边同时除以得

令  则   ∴ 可归为型

[例3] 型。

（1）若是常数时，可归为等比数列。

（2）若可求积，可用累积约项的方法化简求通项。

例：已知：，（）求数列的通项。

解：

    ∴ 

[例4] 型。

考虑函数倒数关系有    ∴ 

令  则可归为型。

    练习：

1. 已知满足，求通项公式。

解：

设      ∴ 

∴ 是以4为首项，2为公比为等比数列

∴      ∴ 

2. 已知的首项，（）求通项公式。

解：

……

∴ 

3. 已知中，且求数列通项公式。

解：

∴    ∴ 

4. 数列中，，，求的通项。

解：

    ∴ 

设   ∴     ∴ 

∴    

……

∴     ∴ 

5. 已知：，时，，求的通项公式。

解：

设

∴     解得：    ∴ 

∴ 是以3为首项，为公比的等比数列

∴     ∴ 

18.【2012高考浙江文19】（本题满分14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=，n∈N﹡，数列{bn}满足an=4log2bn＋3，n∈N﹡.

（1）求an，bn；

（2）求数列{an·bn}的前n项和Tn.

【命题意图】本题主要考查等比数列、等差数列的概念，通项公式以及求和公式等基础知识，同时考查了学生的综合分析问题能力和运算求解能力。

【解析】

（1）由Sn=，得

当n=1时，；

当n2时， ，n∈N﹡.

由an=4log2bn＋3，得，n∈N﹡.

（2）由（1）知，n∈N﹡

所以，

，

，n∈N﹡.

20．【2012高考四川文20】(本小题满分12分) 

已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立。

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，，当为何值时，数列的前项和最大？

[解析]取n=1,得

      若a1=0,则s1=0, 当n

      若a1, 当n

上述两个式子相减得：an=2an-1,所以数列{an}是等比数列

综上，若a1 = 0,  

   若a1   …………………………………………7分

（2）当a1>0,且

所以，{bn}单调递减的等差数列（公差为-lg2）

则 b1>b2>b3>…>b6=

当n≥7时，bn≤b7=

故数列{lg}的前6项的和最大. …………………………12分

[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一，知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识；第二，能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力；第三，数学思想：考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.

24.【2012高考湖北文20】（本小题满分13分）

已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.

（Ⅰ）求等差数列的通项公式；

（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和.

解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，

由题意得 解得或            

所以由等差数列通项公式可得

，或.

故，或.                                    

（Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；

当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件.

故                                

记数列的前项和为.

当时，；当时，；

当时，

. 当时，满足此式.

综上，                                

【解析】本题考查等差数列的通项，求和，分段函数的应用等；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式求解；有时需要利用等差数列的定义：（为常数）或等比数列的定义：（为常数，）来判断该数列是等差数列或等比数列，然后再求解通项；有些数列本身不是等差数列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质.

28.【2012高考安徽文21】（本小题满分13分）

设函数=+的所有正的极小值点从小到大排成的数列为.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设的前项和为，求。

【答案】

【解析】（），

，

，

得：当时，取极小值，

得：。

（）由（）得：。

。

当时，，

当时，，

当时，，

得： 当时，，

当时，，

当时，。

30．【2012高考广东文19】（本小题满分14分）

设数列前项和为，数列的前项和为，满足，.

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式.

【答案】

【解析】（1）当时，。

因为，所以，求得。

（2）当时，，

     所以  ①

     所以  ②

     ②①得，

     所以，即，

     求得，，则。

所以是以3为首项，2为公比的等比数列，

     所以，

     所以，。

32．【2012高考江西文17】（本小题满分12分）

已知数列|an|的前n项和（其中c，k为常数），且a2=4，a6=8a3

（1）求an；

（2）求数列{nan}的前n项和Tn。

 【答案】

【解析】(1)当时， 

则

， 

，∴c=2.∵a2=4，即，解得k=2，∴（n）1）

当n=1时， 

综上所述

(2)，则

（1）-（2）得