2018年广西梧州市中考数学试卷(含答案解析版)

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分。）

1．（3分）（2018•梧州）﹣8的相反数是（　　）

A．﹣8    B．8    C．    D．

2．（3分）（2018•梧州）研究发现，银原子的半径约是0.00015微米，把0.00015这个数字用科学计数法表示应是（　　）

A．1.5×10﹣4    B．1.5×10﹣5    C．15×10﹣5    D．15×10﹣6

3．（3分）（2018•梧州）如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF的长度是（　　）

A．2    B．3    C．4    D．6

4．（3分）（2018•梧州）已知∠A=55°，则它的余角是（　　）

A．25°    B．35°    C．45°    D．55°

5．（3分）（2018•梧州）下列各式计算正确的是（　　）

A．a+2a=3a    B．x4•x3=x12    C．（）﹣1=﹣    D．（x2）3=x5

6．（3分）（2018•梧州）如图，在正方形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣1，0）、（﹣3，0），将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是（　　）

A．（﹣6，2）    B．（0，2）    C．（2，0）    D．（2，2）

7．（3分）（2018•梧州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∠CAF=10°，连接BB′，则∠ABB′的度数是（　　）

A．30°    B．35°    C．40°    D．45°

8．（3分）（2018•梧州）一组数据：3，4，5，x，8的众数是5，则这组数据的方差是（　　）

A．2    B．2.4    C．2.8    D．3

9．（3分）（2018•梧州）小燕一家三口在商场参加抽奖活动，每人只有一次抽奖机会：在一个不透明的箱子中装有红、黄、白三种球各1个，这些球除颜色外无其他差别，从箱子中随机摸出1个球，然后放回箱子中轮到下一个人摸球，三人摸到球的颜色都不相同的概率是（　　）

A．    B．    C．    D．

10．（3分）（2018•梧州）九年级一班同学根据兴趣分成A、B、C、D、E五个小组，把各小组人数分布绘制成如图所示的不完整统计图．则D小组的人数是（　　）

A．10人    B．l1人    C．12人    D．15人

11．（3分）（2018•梧州）如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则AE：EC的值是（　　）

A．3：2    B．4：3    C．6：5    D．8：5

12．（3分）（2018•梧州）按一定规律排列的一列数依次为：2，3，10，15，26，35，…，按此规律排列下去，则这列数中的第100个数是（　　）

A．9999    B．10000    C．10001    D．10002

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．（3分）（2018•梧州）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　   　．

14．（3分）（2018•梧州）如图，已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=6cm，则DE的长度是　   　cm．

15．（3分）（2018•梧州）已知直线y=ax（a≠0）与反比例函数y=（k≠0）的图象一个交点坐标为（2，4），则它们另一个交点的坐标是　   　．

16．（3分）（2018•梧州）如图，已知在⊙O中，半径OA=，弦AB=2，∠BAD=18°，OD与AB交于点C，则∠ACO=　   　度．

17．（3分）（2018•梧州）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA=6，圆心角∠ACB=120°，则此圆锥高OC的长度是　   　．

18．（3分）（2018•梧州）如图，点C为Rt△ACB与Rt△DCE的公共点，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD、BE，过点C作CF⊥AD于点F，延长FC交BE于点G．若AC=BC=25，CE=15，DC=20，则的值为　   　．

三、解答题（本大题共8小题，满分66分，）

19．（6分）（2018•梧州）计算：﹣25÷23+|﹣1|×5﹣（π﹣3.14）0

20．（6分）（2018•梧州）解方程：2x2﹣4x﹣30=0．

21．（6分）（2018•梧州）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的一条直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE=CF．

22．（8分）（2018•梧州）解不等式组，并求出它的整数解，再化简代数式•（﹣），从上述整数解中选择一个合适的数，求此代数式的值．

23．（8分）（2018•梧州）随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上D点处测得瀑布顶端A点的仰角是30°，测得瀑布底端B点的俯角是10°，AB与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得CG=27m，GF=17.6m（注：C、G、F三点在同一直线上，CF⊥AB于点F）．斜坡CD=20m，坡角∠ECD=40°．求瀑布AB的高度．

（参考数据：≈1.73，sin40°≈0.，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）

24．（10分）（2018•梧州）我市从2018年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入8万元购进A、B两种型号的电动自行车共30辆，其中每辆B型电动自行车比每辆A型电动自行车多500元．用5万元购进的A型电动自行车与用6万元购进的B型电动自行车数量一样．

（1）求A、B两种型号电动自行车的进货单价；

（2）若A型电动自行车每辆售价为2800元，B型电动自行车每辆售价为3500元，设该商店计划购进A型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元．写出y与m之间的函数关系式；

（3）该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？

25．（10分）（2018•梧州）如图，AB是⊙M的直径，BC是⊙M的切线，切点为B，C是BC上（除B点外）的任意一点，连接CM交⊙M于点G，过点C作DC⊥BC交BG的延长线于点D，连接AG并延长交BC于点E．

（1）求证：△ABE∽△BCD；

（2）若MB=BE=1，求CD的长度．

26．（12分）（2018•梧州）如图，抛物线y=ax2+bx﹣与x轴交于A（1，0）、B（6，0）两点，D是y轴上一点，连接DA，延长DA交抛物线于点E．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若E点在第一象限，过点E作EF⊥x轴于点F，△ADO与△AEF的面积比为=，求出点E的坐标；

（3）若D是y轴上的动点，过D点作与x轴平行的直线交抛物线于M、N两点，是否存在点D，使DA2=DM•DN？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

2018年广西梧州市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分。）

1．（3分）（2018•梧州）﹣8的相反数是（　　）

A．﹣8    B．8    C．    D．

【考点】14：相反数．

【分析】直接根据相反数的定义进行解答即可．

【解答】解：由相反数的定义可知，﹣8的相反数是﹣（﹣8）=8．

故选：B．

【点评】本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数．

2．（3分）（2018•梧州）研究发现，银原子的半径约是0.00015微米，把0.00015这个数字用科学计数法表示应是（　　）

A．1.5×10﹣4    B．1.5×10﹣5    C．15×10﹣5    D．15×10﹣6

【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．

【专题】511：实数．

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学计数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学计数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：0.00015=1.5×10﹣4，

故选：A．

【点评】本题考查用科学计数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

3．（3分）（2018•梧州）如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF的长度是（　　）

A．2    B．3    C．4    D．6

【考点】KF：角平分线的性质．

【专题】1：常规题型；551：线段、角、相交线与平行线．

【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得．

【解答】解：∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，

∴DE=DF=6，

故选：D．

【点评】本题主要考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

4．（3分）（2018•梧州）已知∠A=55°，则它的余角是（　　）

A．25°    B．35°    C．45°    D．55°

【考点】IL：余角和补角．

【专题】1：常规题型；551：线段、角、相交线与平行线．

【分析】由余角定义得∠A的余角为90°减去55°即可．

【解答】解：∵∠A=55°，

∴它的余角是90°﹣∠A=90°﹣55°=35°，

故选：B．

【点评】本题考查了角的余角，由其定义很容易解得．

5．（3分）（2018•梧州）下列各式计算正确的是（　　）

A．a+2a=3a    B．x4•x3=x12    C．（）﹣1=﹣    D．（x2）3=x5

【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；6A：分式的乘除法；6F：负整数指数幂．

【专题】11：计算题．

【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、负指数幂和合并同类项法则逐个判断即可．

【解答】解：A、a+2a=3a，正确；

B、x4•x3=x7，错误；

C、，错误；

D、（x2）3=x6，错误；

故选：A．

【点评】此题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、负指数幂和合并同类项，关键是根据法则计算．

6．（3分）（2018•梧州）如图，在正方形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣1，0）、（﹣3，0），将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是（　　）

A．（﹣6，2）    B．（0，2）    C．（2，0）    D．（2，2）

【考点】LE：正方形的性质；Q3：坐标与图形变化﹣平移．

【专题】1：常规题型．

【分析】首先根据正方形的性质求出D点坐标，再将D点横坐标加上3，纵坐标不变即可．

【解答】解：∵在正方形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣1，0）、（﹣3，0），

∴D（﹣3，2），

∴将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是（0，2），

故选：B．

【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形变化﹣平移，是基础题，比较简单．

7．（3分）（2018•梧州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∠CAF=10°，连接BB′，则∠ABB′的度数是（　　）

A．30°    B．35°    C．40°    D．45°

【考点】KH：等腰三角形的性质；P2：轴对称的性质．

【专题】1：常规题型．

【分析】利用轴对称图形的性质得出△BAC≌△B′AC′，进而结合三角形内角和定理得出答案．

【解答】解：连接BB′

∵△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，

∴△BAC≌△B′AC′，

∵AB=AC，∠C=70°，

∴∠ABC=∠AC′B′=∠AB′C′=70°，

∴∠BAC=∠B′AC′=40°，

∵∠CAF=10°，

∴∠C′AF=10°，

∴∠BAB′=40°+10°+10°+40°=100°，

∴∠ABB′=∠AB′B=40°．

故选：C．

【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质以及等腰三角形的性质，正确得出∠BAC度数是解题关键．

8．（3分）（2018•梧州）一组数据：3，4，5，x，8的众数是5，则这组数据的方差是（　　）

A．2    B．2.4    C．2.8    D．3

【考点】W5：众数；W7：方差．

【专题】54：统计与概率．

【分析】根据数据的众数确定出x的值，进而求出方差即可．

【解答】解：∵一组数据3，4，5，x，8的众数是5，

∴x=5，

∴这组数据的平均数为×（3+4+5+5+8）=5，

则这组数据的方差为×[（3﹣5）2+（4﹣5）2+2×（5﹣4）2+（8﹣5）2]=2.8．

故选：C．

【点评】此题考查了方差，众数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

9．（3分）（2018•梧州）小燕一家三口在商场参加抽奖活动，每人只有一次抽奖机会：在一个不透明的箱子中装有红、黄、白三种球各1个，这些球除颜色外无其他差别，从箱子中随机摸出1个球，然后放回箱子中轮到下一个人摸球，三人摸到球的颜色都不相同的概率是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】X6：列表法与树状图法．

【专题】543：概率及其应用．

【分析】画出树状图，利用概率公式计算即可．

【解答】解：如图，一共有27种可能，三人摸到球的颜色都不相同有6种可能，

∴P（三人摸到球的颜色都不相同）==．

故选：D．

【点评】本题考查列表法与树状图，解题的关键是学会利用树状图解决概率问题．

10．（3分）（2018•梧州）九年级一班同学根据兴趣分成A、B、C、D、E五个小组，把各小组人数分布绘制成如图所示的不完整统计图．则D小组的人数是（　　）

A．10人    B．l1人    C．12人    D．15人

【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图．

【专题】542：统计的应用．

【分析】从条形统计图可看出A的具体人数，从扇形图找到所占的百分比，可求出总人数．然后结合D所占的百分比求得D小组的人数．

【解答】解：总人数==50（人）

D小组的人数=50×=12（人）．

故选：C．

【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，从上面可得到具体的值，以及用样本估计总体和扇形统计图，扇形统计图表示部分占整体的百分比．

11．（3分）（2018•梧州）如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则AE：EC的值是（　　）

A．3：2    B．4：3    C．6：5    D．8：5

【考点】S4：平行线分线段成比例．

【专题】11：计算题．

【分析】过点D作DF∥CA交BE于F，如图，利用平行线分线段成比例定理，由DF∥CE得到==，则CE=DF，由DF∥AE得到===，则AE=4DF，然后计算的值．

【解答】解：过点D作DF∥CA交BE于F，如图，

∵DF∥CE，

∴=，

而BD：DC=2：3，

∴=，则CE=DF，

∵DF∥AE，

∴=，

∵AG：GD=4：1，

∴=，则AE=4DF，

∴==．

故选：D．

【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．

12．（3分）（2018•梧州）按一定规律排列的一列数依次为：2，3，10，15，26，35，…，按此规律排列下去，则这列数中的第100个数是（　　）

A．9999    B．10000    C．10001    D．10002

【考点】37：规律型：数字的变化类．

【专题】1：常规题型．

【分析】观察不难发现，第奇数是序数的平方加1，第偶数是序数的平方减1，据此规律得到正确答案即可．

【解答】解：∵第奇数个数2=12+1，

10=32+1，

26=52+1，

…，

第偶数个数3=22﹣1，

15=42﹣1，

25=62﹣1，

…，

∴第100个数是1002﹣1=9999，

故选：A．

【点评】本题是对数字变化规律的考查，分数所在的序数为奇数和偶数两个方面考虑求解是解题的关键，另外对平方数的熟练掌握也很关键．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．（3分）（2018•梧州）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≥3　．

【考点】72：二次根式有意义的条件．

【分析】直接利用二次根式的有意义的条件得出x的取值范围，进而得出答案．

【解答】解：由题意可得：x﹣3≥0，

解得：x≥3．

故答案为：x≥3．

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．

14．（3分）（2018•梧州）如图，已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=6cm，则DE的长度是　3　cm．

【考点】KX：三角形中位线定理．

【专题】17：推理填空题．

【分析】根据三角形中位线定理解答．

【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE=BC=3cm，

故答案为：3．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．

15．（3分）（2018•梧州）已知直线y=ax（a≠0）与反比例函数y=（k≠0）的图象一个交点坐标为（2，4），则它们另一个交点的坐标是　（﹣2，﹣4）　．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．

【专题】1：常规题型．

【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，据此进行解答．

【解答】解：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，

∴另一个交点的坐标与点（2，4）关于原点对称，

∴该点的坐标为（﹣2，﹣4）．

故答案为：（﹣2，﹣4）．

【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标的横、纵坐标都互为相反数．

16．（3分）（2018•梧州）如图，已知在⊙O中，半径OA=，弦AB=2，∠BAD=18°，OD与AB交于点C，则∠ACO=　81　度．

【考点】M5：圆周角定理．

【专题】17：推理填空题．

【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断△AOB的形状，由圆周角定理可以求得∠BOD的度数，再根据三角形的外角和不相邻的内角的关系，即可求得∠AOC的度数．

【解答】解：∵OA=，OB=，AB=2，

∴OA2+OB2=AB2，OA=OB，

∴△AOB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，

∴∠OBA=45°，

∵∠BAD=18°，

∴∠BOD=36°，

∴∠ACO=∠OBA+∠BOD=45°+36°=81°，

故答案为：81．

【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

17．（3分）（2018•梧州）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA=6，圆心角∠ACB=120°，则此圆锥高OC的长度是　4　．

【考点】MP：圆锥的计算．

【专题】11：计算题．

【分析】先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出OA，最后用勾股定理即可得出结论．

【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，

∵AC=6，∠ACB=120°，

∴==2πr，

∴r=2，即：OA=2，

在Rt△AOC中，OA=2，AC=6，根据勾股定理得，OC==4，

故答案为：4．

【点评】此题主要考查了扇形的弧长公式，勾股定理，求出OA是解本题的关键．

18．（3分）（2018•梧州）如图，点C为Rt△ACB与Rt△DCE的公共点，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD、BE，过点C作CF⊥AD于点F，延长FC交BE于点G．若AC=BC=25，CE=15，DC=20，则的值为　　．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形；S9：相似三角形的判定与性质．

【专题】55D：图形的相似．

【分析】过E作EH⊥GF于H，过B作BP⊥GF于P，依据△EHG∽△BPG，可得=，再根据△DCF∽△CEH，△ACF∽△CBP，即可得到EH=CF，BP=CF，进而得出=．

【解答】解：如图，过E作EH⊥GF于H，过B作BP⊥GF于P，则∠EHG=∠BPG=90°，

又∵∠EGH=∠BGP，

∴△EHG∽△BPG，

∴=，

∵CF⊥AD，

∴∠DFC=∠AFC=90°，

∴∠DFC=∠CHF，∠AFC=∠CPB，

又∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠CDF=∠ECH，∠FAC=∠PCB，

∴△DCF∽△CEH，△ACF∽△CBP，

∴==，==1，

∴EH=CF，BP=CF，

∴=，

∴=，

故答案为：．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例进行推算．

三、解答题（本大题共8小题，满分66分，）

19．（6分）（2018•梧州）计算：﹣25÷23+|﹣1|×5﹣（π﹣3.14）0

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；78：二次根式的加减法．

【专题】1：常规题型．

【分析】依据算术平方根的定义、有理数的乘方法则、绝对值的性质、有理数的乘法法则、零指数幂的性质进行计算，最后，再进行加减计算即可．

【解答】解：原式=3﹣32÷8+5﹣1=3﹣4+5﹣1=3．

【点评】本题主要考查的是实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．

20．（6分）（2018•梧州）解方程：2x2﹣4x﹣30=0．

【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．

【专题】52：方程与不等式．

【分析】利用因式分解法解方程即可；

【解答】解：∵2x2﹣4x﹣30=0，

∴x2﹣2x﹣15=0，

∴（x﹣5）（x+3）=0，

∴x1=5，x2=﹣3．

【点评】本题考查一元二次方程的解法﹣因式分解法，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的解法，属于中考基础题．

21．（6分）（2018•梧州）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的一条直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE=CF．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．

【专题】555：多边形与平行四边形．

【分析】利用平行四边形的性质得出AO=CO，AD∥BC，进而得出∠EAC=∠FCO，再利用ASA求出△AOE≌△COF，即可得出答案．

【解答】证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，

∴AO=CO，AD∥BC，

∴∠EAC=∠FCO，

在△AOE和△COF中

，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴AE=CF．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．

22．（8分）（2018•梧州）解不等式组，并求出它的整数解，再化简代数式•（﹣），从上述整数解中选择一个合适的数，求此代数式的值．

【考点】6D：分式的化简求值；CB：解一元一次不等式组；CC：一元一次不等式组的整数解．

【专题】11：计算题；513：分式；524：一元一次不等式(组)及应用．

【分析】先解不等式组求得x的整数解，再根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，最后选取使分式有意义的x的值代入计算可得．

【解答】解：解不等式3x﹣6≤x，得：x≤3，

解不等式＜，得：x＞0，

则不等式组的解集为0＜x≤3，

所以不等式组的整数解为1、2、3，

原式=•[﹣]

=•

=，

∵x≠±3、1，

∴x=2，

则原式=1．

【点评】此题主要考查了分式的化简求值以及不等式组的解法，正确进行分式的混合运算是解题关键．

23．（8分）（2018•梧州）随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上D点处测得瀑布顶端A点的仰角是30°，测得瀑布底端B点的俯角是10°，AB与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得CG=27m，GF=17.6m（注：C、G、F三点在同一直线上，CF⊥AB于点F）．斜坡CD=20m，坡角∠ECD=40°．求瀑布AB的高度．

（参考数据：≈1.73，sin40°≈0.，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）

【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【专题】55E：解直角三角形及其应用．

【分析】过点D作DM⊥CE，交CE于点M，作DN⊥AB，交AB于点N，在Rt△CMD中，通过解直角三角形可求出CM的长度，进而可得出MF、DN的长度，再在Rt△BDN、Rt△ADN中，利用解直角三角形求出BN、AN的长度，结合AB=AN+BN即可求出瀑布AB的高度．

【解答】解：过点D作DM⊥CE，交CE于点M，作DN⊥AB，交AB于点N，如图所示．

在Rt△CMD中，CD=20m，∠DCM=40°，∠CMD=90°，

∴CM=CD•cos40°≈15.4m，DM=CD•sin40°≈12.8m，

∴DN=MF=CM+CG+GF=60m．

在Rt△BDN中，∠BDN=10°，∠BND=90°，DN=60m，

∴BN=DN•tan10°≈10.8m．

在Rt△ADN中，∠ADN=30°，∠AND=90°，DN=60m，

∴AN=DN•tan30°≈34.6m．

∴AB=AN+BN=45.4m．

答：瀑布AB的高度约为45.4米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题及坡度坡角问题，通过解直角三角形求出AN、BN的长度是解题的关键．

24．（10分）（2018•梧州）我市从2018年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入8万元购进A、B两种型号的电动自行车共30辆，其中每辆B型电动自行车比每辆A型电动自行车多500元．用5万元购进的A型电动自行车与用6万元购进的B型电动自行车数量一样．

（1）求A、B两种型号电动自行车的进货单价；

（2）若A型电动自行车每辆售价为2800元，B型电动自行车每辆售价为3500元，设该商店计划购进A型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元．写出y与m之间的函数关系式；

（3）该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？

【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用；FH：一次函数的应用．

【专题】34：方程思想．

【分析】（1）设A、B两种型号电动自行车的进货单价分别为x元（x+500）元，构建分式方程即可解决问题；

（2）根据总利润=A型两人+B型的利润，列出函数关系式即可；

（3）利用一次函数的性质即可解决问题；

【解答】解：（1）设A、B两种型号电动自行车的进货单价分别为x元（x+500）元．

由题意：=，

解得x=2500，

经检验：x=2500是分式方程的解．

答：A、B两种型号电动自行车的进货单价分别为2500元3000元．

（2）y=300m+500（30﹣m）=﹣200m+15000（20≤m≤30），

（3）∵y=300m+500（30﹣m）=﹣200m+15000，

∵﹣200＜0，20≤m≤30，

∴m=20时，y有最大值，最大值为11000元．

【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找等量关系，构建方程解决问题，属于中考常考题型．

25．（10分）（2018•梧州）如图，AB是⊙M的直径，BC是⊙M的切线，切点为B，C是BC上（除B点外）的任意一点，连接CM交⊙M于点G，过点C作DC⊥BC交BG的延长线于点D，连接AG并延长交BC于点E．

（1）求证：△ABE∽△BCD；

（2）若MB=BE=1，求CD的长度．

【考点】M5：圆周角定理；MC：切线的性质；S9：相似三角形的判定与性质．

【专题】55B：正多边形与圆；55D：图形的相似．

【分析】（1）根据直径所对圆周角和切线性质，证明三角形相似；

（2）利用勾股定理和面积法得到AG、GE，根据三角形相似求得GH，得到MB、GH和CD的数量关系，求得CD．

【解答】（1）证明：∵BC为⊙M切线

∴∠ABC=90°

∵DC⊥BC

∴∠BCD=90°

∴∠ABC=∠BCD

∵AB是⊙M的直径

∴∠AGB=90°

即：BG⊥AE

∴∠CBD=∠A

∴△ABE∽△BCD

（2）解：过点G作GH⊥BC于H

∵MB=BE=1

∴AB=2

∴AE=

由（1）根据面积法

AB•BE=BG•AE

∴BG=

由勾股定理：

AG=，GE=

∵GH∥AB

∴

∴

∴GH=

又∵GH∥AB

①

同理：②

①+②，得

∴

∴CD=

【点评】本题是几何综合题，综合考察了圆周角定理、切线性质和三角形相似．解答时，注意根据条件构造相似三角形．

26．（12分）（2018•梧州）如图，抛物线y=ax2+bx﹣与x轴交于A（1，0）、B（6，0）两点，D是y轴上一点，连接DA，延长DA交抛物线于点E．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若E点在第一象限，过点E作EF⊥x轴于点F，△ADO与△AEF的面积比为=，求出点E的坐标；

（3）若D是y轴上的动点，过D点作与x轴平行的直线交抛物线于M、N两点，是否存在点D，使DA2=DM•DN？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．

【专题】537：函数的综合应用．

【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据相似三角形的判定与性质，可得AF的长，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；

（3）根据两点间距离，可得AD的长，根据根与系数的关系，可得x1•x2，根据DA2=DM•DN，可得关于n的方程，根据解方程，可得答案．

【解答】解：（1）将A（1，0），B（6，0）代入函数解析式，得

，

解得，

抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣；

（2）∵EF⊥x轴于点F，

∴∠AFE=90°．

∵∠AOD=∠AFE=90°，∠OAD=∠FAE，

∴△AOD∽△AFE．

∵==，

∵AO=1，

∴AF=3，OF=3+1=4，

当x=4时，y=﹣×42+×4﹣=，

∴E点坐标是（4，），

（3）存在点D，使DA2=DM•DN，理由如下：

设D点坐标为（0，n），

AD2=1+n2，

当y=n时，﹣x2+x﹣=n

化简，得

﹣3x2+21x﹣18﹣4n=0，

设方程的两根为x1，x2，

x1•x2=

DM=x1，DN=x2，

DA2=DM•DN，即1+n2=，

化简，得

3n2﹣4n﹣15=0，

解得n1=，n2=3，

∴D点坐标为（0，﹣）或（0，3）．

【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的判定与性质得出AF的长；解（3）的关键是利用根与系数的关系得出x1•x2，又利用了解方程．