有限元与数值方法-讲稿19 弹塑性增量有限元分析课件

教学要求和内容

1.掌握弹塑性本构关系和塑性力学的基本法则；

2.􀂄 掌握弹塑性增量分析的有限元格式；

3.􀂄 学习常用非线性方程组的求解方法：

（1）直接迭代法；

（2）Newton-Raphson 方法，修正的N－R 方法；

（3）增量法等。

请大家预习，争取对相关内容有大概的了解和把握。

弹塑性增量有限元分析

一．材料弹塑性行为的描述

弹塑性材料进入塑性的特点：存在不可恢复的塑性变形；

卸载时：非线性弹性材料按原路径卸载；

弹塑性材料按不同的路径卸载，并且有残余应变，称为塑性应变。

1．单向加载

1）弹性阶段:  卸载时不留下残余变形;

2）初始屈服： 

3）强化阶段：超过初始屈服之后,按弹性规律卸载，再加载弹性范围扩大：，为相继屈服应力。

4）鲍氏现象（Bauschinger）：

二．塑性力学的基本法则

1．初始屈服准则：    

   已经建立了多种屈服准则：

（1）V. Mises 准则： 

（2）Tresca准则（最大剪应力准则）：

2．流动法则

   V. Mises 流动法则：

，  待定有限量

塑性应变增量  沿屈服面当前应力点的法线方向增加。

因此，称为法向流动法则。

3．硬化法则：

   （1）各向同性硬化： 

  等效塑性应变，可由单拉试验确定。

   （2）运动硬化法则：

        * Prager运动硬化准则；Zeigler修正的运动硬化准则。

   （3）混合硬化法则：

4．加载卸载准则：

   （1）若，且，则继续塑性加载

   （2）若，且，则按弹性卸载

   （3）若，且，

1）对理想塑性材料，则继续塑性流动；2）对硬化材料，则继续塑性加载，但塑性应变增量为零。

三．弹塑性增量的应力应变关系

1．建立弹塑性增量应力应变关系的原则

   （1）一致性条件：塑性加载时，应力仍在屈服面上

   （2）流动法则：新的塑性应变增量，，在屈服面上的原应力点的外法线方向。

   （3）弹性应力应变关系：应变增量的弹性应变部分与应力关系仍服从胡克定律。

2．各向同性硬化材料的应力应变关系

   （1）一致性条件

        ，  

具体形式：

，  单向拉伸试验测得。

   （2）流动法则：

，  

   （3）应力应变关系：

注意：屈服条件是已知的，我们应该将塑性应变通过已知量表示出来。根据流动规则，，需要确定。

，  

弹性张量： 

塑性张量：， 

弹塑性张量： 

写成矩阵形式：

四．弹塑性增量有限元格式

1 弹塑性问题的增量方程

  将物体的作用荷载分成很多阶段，以模拟加载历史。假设在t时刻作用的荷载：（体积力），（表面力），（已知位移）,以及所对应的响应（应力，应变，位移）已知。求时刻对应的响应：

，  ， 

，， 

由虚功方程（虚位移原理）描述的控制方程为：

写成矩阵形式

将物体离散成有限单元，单元内任意点的位移增量通过形函数用单元节点位移增量表示：

位移： 

应变： 

带入虚功原理：

采用纯增量法作弹塑性有限元分析的步骤

以下仅限于简单加载过程（无反复加卸载过程）和Mises各向同性强化材料: 

1. 开始，输入初始参数（几何；材料性质，，；边界条件；外载荷）

2. 将外载荷一次加上作线弹性分析（Mi.条件）

如果  不存在塑性区则为弹性问题直接输出结果 结束！

否则    作弹塑性分析

3.计算弹性极限

设，   则 

并可输出弹性极限载荷下的结果。

4.对剩余载荷作弹塑性分析

如果采用等增量步格式，则将等分为N个增量步，即每一增量步载荷为：。下面5.中是对N个增量步循环。

5.在i步上施加一个增量载荷。已知当前状态下（i-1步终），各单元的（or高斯点），，。判断三种类型的单元：1）弹性 2）塑性  3）过渡单元。对本增量步内所有过渡单元经过2~3次迭代得到合适的，计算各单元的，并集合所有单元，形成总刚，求解得  得到第i步的解。

和  ；  

同时记录下各单元的当前状态。

如果，荷载步为卸载，则采用弹性应力应变关系。

6.直至全部载荷施加完毕，输出结果，结束