高中数学专题讲解之抛物线

抛物线

考点1 抛物线的定义：

平面上与一个定点F和一条直线（F不在上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。

抛物线的定义中条件“F不在上”不可遗漏，否则，如果F在上，则轨迹为过F且与垂直的直线。

题型： 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换

例1、（1）已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为            

（2）抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(   )

          A.            B.             C.           D. 0

例2、求平面内到原点与直线距离相等的点的轨迹方程，并指出轨迹所表示的曲线。

例3、求到点A的距离比到直线的距离小1的点的轨迹方程。

巩固练习：

1.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、、成等差数列， 则有       （　　）

A．             B． 

C．             D. 

2. 已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时, M点坐标是 (     )

A.      B.        C.      D. 

3.已知方程的抛物线上有一点M，点M到焦点F的距离为5，求m的值。

4、在正方体的侧面内有一动点到直线与直线的距离相等,则动点 所在的曲线的形状为…………(     ) 

考点2  抛物线的标准方程

题型：求抛物线的标准方程

例4、求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：

(1)过点(-3,2)            (2)焦点在直线上

巩固练习：

1、若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值          

2、 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y轴上；

②焦点在x轴上；

③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；

④抛物线的通径的长为5；

⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.

能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________.（要求填写合适条件的序号）

3、 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且，求此抛物线的方程

考点3  抛物线的几何性质

抛物线的几何性质 ()：

例5、求抛物线上的点P到直线的距离的最小值，并求出P点的坐标。

例6、给定抛物线，设A，P是抛物线上的一点，且，求的最小值。

例7、长度等于3的线段的两个端点在抛物线上运动，求AB的中点M到y轴的距离的最小值。

题型：抛物线与直线的位置关系问题：

例8、设A、B是抛物线上的点，且满足（O为坐标原点），求证：直线AB过定点，并求出此定点。

例9、已知正方形ABCD的两个顶点A、B在抛物线上，另两个顶点C、D在直线上，如图，求此正方形的边长。

例10、已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A、B是抛物线C上的两个动点（AB不垂直于x轴）但

，线段AB的垂直平分线经过定点Q，求抛物线的方程。

例11、设点O为抛物线的顶点，F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦，若，，求的面积。

例12、如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积.

例13、已知抛物线y2=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|≤2p.

(1)求a的取值范围.

(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值.

.解：(1)设直线l的方程为：y=x－a,代入抛物线方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0

∴|AB|=≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2

又∵p＞0,∴a≤－.

(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点 C(x,y),

由(1)知，y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,

则有x==p.

∴线段AB的垂直平分线的方程为y－p=－(x－a－p),从而N点坐标为(a+2p,0） 

点N到AB的距离为

从而S△NAB=

当a有最大值－时，S有最大值为p2.

基础巩固训练

1.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线（  ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.有且仅有一条     B.有且仅有两条      C.1条或2条      D.不存在

2.在平面直角坐标系中，若抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为5，则点P的纵坐标为　（　　）

A. 3                B. 4              C. 5              D. 6

3.两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且则抛物线的焦点坐标为(  ) 

A．   B．   C．   D．

4. 如果，，…，是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，，…，，F是抛物线的焦点，若成等差数列且，则=（  ）．

A．5            B．6               C． 7            D．9 

5、抛物线准线为l，l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AB⊥l，垂足为B，则四边形ABEF的面积等于（ ）

    A．       B．        C．           D．

6、设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为             ．

题型、焦点弦问题

例14、已知抛物线，过焦点F的弦AB的直线倾斜角为，求AB的弦长。

例15、若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则：，。

例16、已知直线AB是过抛物线焦点F，求证：为定值。

例17、已知AB是抛物线的过焦点F的弦，求证：（1）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。

(2)分别过A、B做准线的垂线，垂足为M、N，求证：以MN为直径的圆与直线AB相切。

与准线l相切

例18、若抛物线方程为，过（，0）的直线与之交于A、B两点，则OA⊥OB。

巩固练习：

1、若直线经过抛物线的焦点，则实数        

2、过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为,则 (    )

     A.     B.     C.      D.   

题型、中点弦问题：

例19、过点A，作直线交抛物线于B、C两点，求BC中点P的轨迹方程。

例20、若抛物线上存在两点PQ关于直线对称，求m的取值范围。

巩固练习：

1、在抛物线上求一点，使该点到直线的距离为最短，求该点的坐标

2、已知抛物线（为非零常数）的焦点为，点为抛物线上一个动点，过点且与抛物线相切的直线记为．

（1）求的坐标；

（2）当点在何处时，点到直线的距离最小？

3、设抛物线（）的焦点为 F，经过点 F的直线交抛物线于A、B两点．点 C在抛物线的准线上，且BC∥X轴．证明直线AC经过原点O．

4、椭圆上有一点M（-4，）在抛物线（p>0）的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.

（1）求椭圆方程；

（2）若点N在抛物线上，过N作准线l的垂线，垂足为Q距离，求|MN|+|NQ|的最小值.

5、已知抛物线C的一个焦点为F（，0），对应于这个焦点的准线方程为x=-.

（1）写出抛物线C的方程；

（2）过F点的直线与曲线C交于A、B两点，O点为坐标原点，求△AOB重心G的轨迹方程；

（3）点P是抛物线C上的动点，过点P作圆（x-3）2+y2=2的切线，切点分别是M，N.当P点在何处时，|MN|的值最小？求出|MN|的最小值.

课后作业：

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为        （    ）

A．（1, 0）    B．（2, 0）    C．（3, 0）    D．（－1, 0）

2．圆心在抛物线y 2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是    （      ）

A．x2+ y 2-x-2 y -=0    B．x2+ y 2+x-2 y +1=0 

C．x2+ y 2-x-2 y +1=0        D．x2+ y 2-x-2 y +=0

3．抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是    （    ）

    A．（1，1）    B．（）    C．    D．（2，4）

4．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（   ）

A．m    B． 2m    C．4.5m    D．9m

5．平面内过点A（-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是    （    ）

A． y 2=－2x    B． y 2=－4x    C．y 2=－8x      D．y 2=－16x

6．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是                （    ）

A． y 2=-2x        B． y 2=-4x    

C． y 2=2x        D． y 2=-4x或y 2=-36x

7．过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|=                （    ）

A．8    B．10    C．6      D．4

8．把与抛物线y 2=4x关于原点对称的曲线按向量a平移，所得的曲线的方程是（   ）

    A．    B．

C．    D． 

9．过点M（2，4）作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有        （    ）

    A．0条    B．1条    C．2条    D．3条

10．过抛物线y =ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于            （    ）

A．2a    B．     C．4a      D． 

二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

11．抛物线y 2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为          ．

12．抛物线y =2x2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是                 ．

13．P是抛物线y 2=4x上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q，点Q的坐标是                          ．

14．抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为                         ．

三、解答题（本大题共6小题，共76分）

15．已知动圆M与直线y =2相切，且与定圆C：外切，求动圆圆心M的轨迹方程．(12分)

16．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．（12分）

17．动直线y =a，与抛物线相交于A点，动点B的坐标是，求线段AB中点M的轨迹的方程．(12分)

18．河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？(12分)

19．如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．(14分)

20．已知抛物线．过动点M（，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B，．

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线交轴于点N，求面积的最大值．(14分)

参

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

11．2    12．      13．（1，0）    14． 

三、解答题（本大题共6题，共76分）

15．（12分）[解析]：设动圆圆心为M（x，y），半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，以y=3为准线的一条抛物线，其方程为．

16． (12分)[解析]：设抛物线方程为，则焦点F（），由题意可得

    ，解之得或，

    故所求的抛物线方程为，

17．（12分）[解析]：设M的坐标为（x，y），A（，），又B得 

    消去，得轨迹方程为，即

18．（12分）[解析]：如图建立直角坐标系，

设桥拱抛物线方程为，由题意可知，

B（4，-5）在抛物线上，所以，得，

    当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA’，则A（），由得，又知船面露出水面上部分高为0．75米，所以=2米

19．(14分) [解析]：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．由题意可知：曲线C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点．

设曲线段C的方程为，

    其中分别为A、B的横坐标，．

     所以，． 由，得

          ①

           ②

联立①②解得．将其代入①式并由p>0解得，或．

因为△AMN为锐角三角形，所以，故舍去．  ∴p=4，．

由点B在曲线段C上，得．综上得曲线段C的方程为．

20．(14分)  [解析]：（Ⅰ）直线的方程为，将，

得  ．  设直线与抛物线两个不同交点的坐标为、，

则     又，

∴ ．        ∵，  ∴ ．  解得  ．                                            

（Ⅱ）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为，则由中点坐标公式，得

，         ．        

∴  ．  又 为等腰直角三角形，

∴ ，  ∴     

即面积最大值为

1、抛物线的准线方程是        。

2、已知是抛物线上的动点，是抛物线的焦点，则线段的中点轨迹方程是                。

3抛物线关于直线对称的抛物线方程是             。

4、顶点在原点，以轴为对称轴且经过点的抛物线的标准方程为____________． 

5、25、如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑。已知镜口圆的直径为12米,镜深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，则每根铁筋的长度为________米. 6.5米 

6、设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若则|FA|+|FB|+|FC|=（  　B　）

(A)9            (B)    6            (C)     4         (D) 3

7、已知点及抛物线，若抛物线上点满足，则

的最大值为（    ）

（A）    （B）    （C）     （D）

8已知：点P与点F（2，0）的距离比它到直线＋4＝0的距离小2，若记点P的轨迹为曲线C。（1）求曲线C的方程。

（2）若直线L与曲线C相交于A、B两点，且OA⊥OB。求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标。

解：

（1）解法（A）：点P与点F（2，0）的距离比它到直线＋4＝0的距离小2，所以点P与点F（2，0）的距离与它到直线＋2＝0的距离相等。              ---

由抛物线定义得：点在以为焦点直线＋2＝0为准线的抛物线上，       

抛物线方程为。                             ---)  

解法（B）：设动点，则。当时，，化简得：，显然，而，此时曲线不存在。当时，，化简得：。

（2），

，

，               ----(1分)

，

，即，，           ----分)

直线为，所以                      ----(分)

                         ----(分)

由（a）（b）得：直线恒过定点。

9、已知抛物线,椭圆经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴。

（1）求椭圆的方程；

（2）若P是椭圆上的点，设T的坐标为（是已知正实数），求P与T之间的最短距离。

解：（1）抛物线的焦点为（1，0），设椭圆方程为，则

所以椭圆方程为。

（2）设，则

  。

1当时，，即时，；

2当时，，即时，；

综上，。

10、（1）直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于

两点，证明：；

   （2）直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于 两点，点在抛物线的准线上，且轴，证明：直线经过原点。

11、已知抛物线，F是焦点，直线l是经过点F的任意直线．

(1)若直线l与抛物线交于两点A、B，且(O是坐标原点，M是垂足)，求动点M的轨迹方程；

(2)若C、D两点在抛物线上，且满足，求证直线CD必过定点，并求出定点的坐标．