高等代数期末考试试卷

1．多项式的常数项为 0.5  　　。

2．设是方程的三个根，则vieta            。

3．线性方程组有无穷多解的充要条件是_____dingli_________________。

4．设矩阵，则的秩为 3  　　。

5．设实二次型的矩阵是，则是正定二次型的充要条件是    ?       。

二、单选题（每小题2分，共10分）

1．实数域上次数大于1的多项式有一实根是在实数域上可约的（     c ）。

a) 必要非充分条件                    b) 充分必要条件              

c) 充分非必要条件                    d) 既非充分又非必要条件

2．行列式，则（ b     ）。

a)            b)            c) 0               d) 不确定

3．（ c     ），非齐次线性方程组有无穷多解。

a) 1               b) 2              c) 3                d) 4

4．若矩阵满足，则（      ）。

a)             b)           c)              d) 

5．矩阵（    ?  ）合同与。

a)     b)     c)     d) 

三、判断题（每小题2分，共10分）

1．若，则或。（f     ）

2．设为同级方阵，则行列式。（   f   ）

3．若都是n级方阵，且，，则。（   f   ）

4．如果向量组线性相关，且不能由线性表出，则向量和仅差一个数值因子。（ y     ）

5．实对称矩阵是正定矩阵的充要条件是它的主子式全大于零。（ y     ）

四、计算题 （每小题10分，共50分）

1．计算下列行列式

1)；2)。

2．讨论非齐次线性方程组何时有唯一解？有无穷多个解？无解？

3．（1）设，计算；

（2）计算；

（3）求的逆矩阵。

4．用非退化线性替换化二次型为标准形。

五、证明题（每小题10分，共30分）

1．设向量可由向量组线性表出，但不能由向量组线性表出。证明：秩与秩。

2．元素全为整数的矩阵称为整数矩阵。对于一个级整数矩阵，如果存在一个级整数矩阵，使得，那么称是整数环上的可逆矩阵。证明：整数矩阵是上的可逆矩阵当且仅当。

3．设，且，

证明：（1）若，则；

（2）若，则。