四川省眉山市2020年中考数学试题(Word版,含答案与解析)

一、单选题（共12题；共24分）

1.-5的绝对值是（   ）            

A. 5                               B.                                C.                                D. －5

【答案】 A   

【考点】绝对值及有理数的绝对值    

【解析】【解答】解：在数轴上，点﹣5到原点的距离是5，所以﹣5的绝对值是5.

 故答案为：A.

 【分析】根据绝对值的结合意义，数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值即可得出答案.

2.下列计算正确的是（   ）            

A.                                   B. 

C.                             D. 

【答案】 C   

【考点】同底数幂的除法，完全平方公式及运用，幂的乘方    

【解析】【解答】解：A.  而不是  ，故A选项不符合题意； 

B.  和  不是同类项，不能进行加减运算，故B选项不符合题意；

C.  ，故C选项符合题意；

D.  而不是  ，故D选项不符合题意.

故答案为：C.

【分析】根据完全平方公式、同类项的合并以及幂的四则运算法则依次判断即可.

3.据世界卫生组织2020年6月26日通报，全球新冠肺炎确诊人数达到941万人，将数据941万人，用科学记数法表示为（   ）            

A.  人       B.  人       C.  人       D.  人

【答案】 C   

【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数    

【解析】【解答】解：941万=9410000=9.41×106  ，  

故答案为：C．

【分析】科学记数法表示较大的数形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，10的指数n比原来的整数位数少1．

4.如图所示的几何体的主视图为（   ）  

A.                B.                C.                D. 

【答案】 D   

【考点】简单几何体的三视图    

【解析】【解答】解：从正面看到的是两个矩形，中间的线是实线， 

故答案为：D．

【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．

5.下列说法正确的是（   ）            

A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形

B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形

C. 对角线相等的四边形是矩形

D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

【答案】 B   

【考点】平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，真命题与假命题    

【解析】【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形不符合题意，如等腰梯形； 

B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，符合题意；

C、对角线相等的四边形是矩形不符合题意，如等腰梯形；

D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形不符合题意，如一般四边形对角线也可以互相垂直且相等．

故答案为：B．

【分析】利用平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理对各选项逐一判断后即可确定正确的选项．

6.不等式组  的整数解有（   ）            

A. 1个                              B. 2个                              C. 3个                              D. 4个

【答案】 D   

【考点】解一元一次不等式组，一元一次不等式组的特殊解    

【解析】【解答】解：  

解不等式①得：x≤2，

解不等式②得：x＞﹣  ．

所以原不等式组的解集为﹣  ＜x≤2．

其整数解为﹣1，0，1，2．共4个．

故答案为：D．

【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集的确定规律：大小小大中间找，确定出不等式组的解集，再找出符合条件的整数即可．

7.某校评选先进班集体，从“学习”、“卫生”、“纪律”、“活动参与”四个方面考核打分，各项满分均为  ，所占比例如下表：  

A. 81.5                              B. 82.5                              C. 84                              D. 86

【答案】 B   

【考点】加权平均数及其计算    

【解析】【解答】解：80×40%+90×25%+84×25%+70×10%=82.5（分） 

故答案为：B

【分析】根据加权平均数的定义计算可得．

8.如图，四边形  的外接圆为⊙O，  ，  ，  ，则  的度数为（   ）  

A.                            B.                            C.                            D. 

【答案】 C   

【考点】三角形内角和定理，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理    

【解析】【解答】解：∵  ， 

∴  ，

∵  ，

∴  ，

∵  ，

∴  ，

∴  ，

故答案为：C．

【分析】根据同弧所对的圆周角相等及等边对等角，可得  ，根据三角形的内角和可得  ，利用角的和差运算即可求解．

9.一副三角板如图所示摆放，则  与  的数量关系为（   ）  

A.                              B. 

C.                              D. 

【答案】 B   

【考点】多边形内角与外角，对顶角及其性质    

【解析】【解答】解： ∵  ； 

∴  ；

∵  ，  ；

∴ 

故答案为：B

【分析】先根据对顶角相等得出  ，  ，再根据四边形的内角和即可得出结论

10.已知  ，则  的值为（   ）            

A. 4                                 B. 2                                 C. -2                                 D. -4

【答案】 A   

【考点】代数式求值，完全平方公式及运用，偶次幂的非负性    

【解析】【解答】∵  

∴ 

即  ， 

∴求得：  ， 

∴把  和  代入  得： 

故答案为：A

【分析】根据  ，变形可得：  ，因此可求出  ，  ，把  和  代入  即可求解．

11.已知二次函数  （  为常数）的图象与x轴有交点，且当  时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（   ）            

A.                   B.                   C.                   D. 

【答案】 D   

【考点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质    

【解析】【解答】解：  

∵图象与x轴有交点，

∴△=（-2a）2-4（a2-2a-4）≥0

解得a≥-2；

∵抛物线的对称轴为直线 

抛物线开口向上，且当  时，y随x的增大而增大，

∴a≤3，

∴实数a的取值范围是-2≤a≤3．

故答案为：D．

【分析】根据图象与x轴有交点，得出判别式△≥0，从而解得a≥-2，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当  时，y随x的增大而增大，可得a≤3，从而得出选项．

12.如图，正方形  中，点F是  边上一点，连接  ，以  为对角线作正方形  ，边  与正方形  的对角线  相交于点H，连接  ．以下四个结论：①  ；②  ；③  ；④  ．其中正确的个数为（   ）  

A. 1个                              B. 2个                              C. 3个                              D. 4个

【答案】 D   

【考点】正方形的性质，相似三角形的判定与性质    

【解析】【解答】解：①∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形 

∴∠EAG=∠BAD=90°

又∵∠EAB=90°-∠BAG，∠GAD=90°-∠BAG

∴∠EAB=∠GAD

∴①符合题意

②∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形

∴AD=DC，AG=FG

∴AC=  AD，AF=  AG

∴  ， 

即 

又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC

∴∠DAG=∠CAF

∴ 

∴②符合题意

③∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线

∴∠AFH=∠ACF=45°

又∵∠FAH=∠CAF

∴△HAF∽△FAC

∴ 

即 

又∵AF=  AE

∴ 

∴③符合题意

④由②知 

又∵四边形ABCD为正方形， AC为对角线

∴∠ADG=∠ACF=45°

∴DG在正方形另外一条对角线上

∴DG⊥AC

∴④符合题意

故答案为：D．

 【分析】 ① 根据正方形的性质得出∠EAB=∠GAD； ②由正方形的性质  ， ∠DAG=∠CAF，得出； ③ 正方形的性质得出△HAF∽△FAC，  ， 得出  ， 进而得出。④由  ， ∠ADG=∠ACF=45°，DG在正方形另外一条对角线上，即DG⊥AC。

二、填空题（共6题；共6分）

13.分解因式：  ________.    

【答案】  ；   

【考点】提公因式法与公式法的综合运用    

【解析】【解答】  =a(a2-4a+4)=a(a-2)2. 

故答案是：a(a-2)2.

 【分析】先提取公因式a，然后利用完全平方公式进行分解即可.

14.设  ，  是方程  的两个实数根，则  的值为________．    

【答案】    

【考点】一元二次方程的根与系数的关系    

【解析】【解答】解：由方程  可知 

 ， 

 ．

故答案为： 

【分析】由韦达定理可分别求出  与  的值，再化简要求的式子，代入即可得解．

15.如图，在  中，  ，  ．将  绕点A按顺时针方向旋转至  的位置，点  恰好落在边  的中点处，则  的长为________．  

【答案】    

【考点】等边三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质    

【解析】【解答】解：在  ABC中，∠BAC=90°，AB=2，将其进行顺时针旋转，  落在BC的中点处， 

∵  是由  ABC旋转得到，∴  ，而  ，

根据勾股定理：  ，

又∵  ，且  ，∴  为等边三角形，

∴旋转角  ，

∴  ，且  ，故  也是等边三角形，

∴  ，

故答案为：  ．

【分析】根据题意，判断出  ABC斜边BC的长度，根据勾股定理算出AC的长度，且  ，所以  为等边三角形，可得旋转角为60°，同理，  ，故  也是等边三角形，  的长度即为AC的长度．

16.关于x的分式方程  的解为正实数，则k的取值范围是________．    

【答案】 k＞-2且k≠2   

【考点】分式有意义的条件，解分式方程，解一元一次不等式    

【解析】【解答】解：  

方程两边同乘（x-2）得，1+2x-4=k-1，

解得 

 ， 

 ，且 

故答案为：  且 

【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．

17.如图，等腰  中，  ，边  的垂直平分线交  于点D，交  于点E．若  的周长为  ，则  的长为________．  

【答案】    

【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质    

【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线， 

∴AD=CD，∠DEC=90°，AE=5

∵  的周长为  ，

∴AB+BD+AD=26

∴AB+BD+DC=AB+BC=26

∵AB=10，∴BC=16，

过点A作AF⊥BC于F，

∵AB=AC=10

∴CF=8， 

∵∠DEC=∠AFC= 90°，∠C=∠C

∴ 

∴ 

∴ 

∴DE= 

故答案为： 

【分析】过点A作AF⊥BC于F，先根据垂直平分线已知条件得出BC=16，再根据等腰三角形的三线合一和勾股定理得出AF=6，再根据  即可得出结论

18.如图，点  为⊙O外一点，过点P作  的切线  、  ，点A、B为切点．连接  并延长交  的延长线于点C，过点  作  ，交  的延长线于点D．已知  ，  ，则  的长为________．  

【答案】    

【考点】勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质    

【解析】【解答】解：连接OB  ，  

∵  、  为  的切线，

∴  ，  ，

∴  ，

∴  ，

设  的半径为r  ， 则  ，

在  中，  ，即  ，解得  ，

∴  ，

∵  ，  ，

∴  ，

∴  ，即  ，

∴  ，

故答案为：  ．

【分析】连接OB  ， 在  中应用勾股定理求得  的半径为3，再根据  ，对应线段成比例即可求解．

三、解答题（共8题；共77分）

19.计算：  ．    

【答案】 解：原式     

【考点】实数的运算，0指数幂的运算性质，负整数指数幂的运算性质，特殊角的三角函数值    

【解析】【分析】根据零指数幂、负整指数幂、特殊角的三角函数、算数平方根计算即可

20.先化简，再求值：  ，其中  ．    

【答案】 解：原式  ，   

 ，

 ．

当  时，原式  

【考点】分式的混合运算，利用分式运算化简求值，分母有理化    

【解析】【分析】首先计算小括号里面的分式的减法，然后再计算括号外分式的除法，化简后，再代入a的值可得答案．

21.某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔  ，如图所示，在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为  ，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为  ，求小山  的高度．  

【答案】 解：设  为x米，则  米，∵   ∴  ，而  米，   

在  中，  ，

则  米，  米，

在  中，  ，

解得  ．

答：小山  的高度为  米．

【考点】锐角三角函数的定义，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题    

【解析】【分析】设塔高BC为x米，根据正切的定义列出关于x的关系式，求出x,进而得出小山的高．

22.中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图． 

请根据以上信息，解决下列问题：

（1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________部；    

（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为________度；    

（3）请将条形统计图补充完整；    

（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．    

【答案】 （1）1；2

（2） °

（3）解：2部对应的人数为：40-2-14-10-8=6人 

补全统计图如图所示．

（4）解：将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D， 

画树状图可得：

由图可知，共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，  ．

故答案为：  ．

【考点】扇形统计图，条形统计图，列表法与树状图法，概率公式，中位数，众数    

【解析】【解答】解：（1）调查的总人数为：10÷25%=40， 

∴2部对应的人数为40-2-14-10-8=6，

∴本次调查所得数据的众数是1部，

∵2+14+10=26＞21，2+14＜20，

∴中位数为2部．

故答案为：1，2；（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为： 

故答案为：72°.

【分析】（1）先根据调查的总人数，求得2部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的众数以及中位数；（2）根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°，即可得到“4部”所在扇形的圆心角；（3）根据2部对应的人数，即可将条形统计图补充完整；（4）根据列表所得的结果，可判断他们选中同一名著的概率．

23.已知一次函数  与反比例函数  的图象交于  、  两点．  

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；    

（2）求  的面积；    

（3）点P在x轴上，当  为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．    

【答案】 （1）解：将  代入  中，得  ，   

 反比例函数的表达式为  

 在  的图象上，  ，即  

将  、  坐标代入  得

 ，解得：  ．  一次函数表达式为：  

（2）解：设直线  与  轴交于点C，则点  为  ，   

 ．

（3）解：  ，     

设P（x，0）．

当AO=OP=  时，点  在  轴上，

 点  为  或  

当AO=AP=  时，

    ，  x=-6或0（舍去）

 点  为  ，

当OP=AP时，

   ，    ；

 点  为  

综上所述，符合条件的点P的坐标是  ，  ，  ，  ．

【考点】待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积，等腰三角形的性质，几何图形的面积计算-割补法    

【解析】【分析】（1）首先把  ，  代入  中，就可以确定m和 n的值，再把  ，  代入  ，从而求得一次函数与反比例函数的表达式；（2）利用两个函数的解析式组成方程组，解方程组就可以得到A，B两点的坐标，求出直线AB与x轴的交点坐标，然后利用面积的分割法求出△AOB的面积；（3）根据AO=OP，AP=AO，AP=OP三种情况，结合两点间的距离公式得出点  的坐标．

24.“绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树和杉树．经调查，购买2棵柏树和3棵杉树共需850元；购买3棵柏树和2棵杉树共需900元．    

（1）求柏树和杉树的单价各是多少元；    

（2）本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共  棵，且柏树的棵数不少于杉树的2倍，要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？    

【答案】 （1）解：设柏树每棵x元，杉树每棵y元  

根据题意得：  

解得  

答：柏树每棵200元，杉树每棵150元；

（2）解：设购买柏树a棵时，购树的总费用为w元，则购买杉树的棵树为  棵   

由题意得：  ，解得  

结合（1）的结论得：  

 随  的增大而增大

又  为整数

 当  时，  取得最小值，最小值为  

此时，  

即柏树购买54棵，杉树购买26棵时，购树费用最少，最少费用为14700元．

【考点】一次函数的实际应用，二元一次方程组的实际应用-销售问题    

【解析】【分析】（1）设柏树每棵x元，杉树每棵y元，根据两种购买方式建立方程组，然后解方程组即可得；（2）设购买柏树a棵时，购树的总费用为w元，从而可得购买杉树的棵树为  棵，先根据“柏树的棵数不少于杉树的2倍”建立不等式求出a的取值范围，再根据（1）的结论得出w关于a的表达式，然后利用一次函数的性质即可得．

25.如图，  和  都是等边三角形，点B、C、E三点在同一直线上，连接  ，  ，  交  于点F．  

（1）若  ，求证：  ；    

（2）若  ，  ．  

①求  的值；

②求  的长．

【答案】 （1）解：  ，     

又  ，  ，  ．

 和  均为等边三角形，

 ，  ，

 ，  ，

 ，  ．

（2）解：①  ，  ，  ，   

 ，  ，

 ，  ．

 ，  ，  ，

过点  作  于点  ，

   为等边三角形，

 ，  ．

在Rt  中，  ，

 ．

②在Rt  中，  ，

 ，  ，  ，

 ，  ，  ．

【考点】三角形全等及其性质，三角形全等的判定，含30°角的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质    

【解析】【分析】（1）先根据两边对应成比例且夹角对应相等得出  ，再根据ASA得出  即可．（2）①过点D作  于点G，根据直角三角形  角所对直角边是斜边的一半可得  ，从而得出  ，由BE=6得出  ，  ，根据勾股定理得出  ，然后根据  即可．②在Rt  中，根据勾股定理得出BD的长，再根据  得出  即可得出DF的长

26.如图1，抛物线  与  轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为  ，点C坐标为  ．  

（1）求抛物线的表达式；    

（2）点P为直线  上方抛物线上的一个动点，当  的面积最大时，求点P的坐标；    

（3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线  轴于点D，在直线  上是否存在点N，使点N到直线  的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．    

【答案】 （1）解：由题意得：  ，   

解得  ，

 抛物线的解析式为  

（2）解：设点P的坐标为  ，过点  作  轴于点H，交  于点G，   

 点  ，  ，

 直线  的解析式为：  ，

 点G为  ，

 ．

 ，

 当  时，  最大，此时点  坐标为  ．

（3）解：存在点N满足要求．  

 ，

 顶点M为  ，

 直线  的表达式为：  ．设直线  与x轴交于点E，则点E为  ，

 ，  ．

设满足要求的点N坐标为  ，则  ．

过点N作  于点G，则  ，

 ，  ，而  ，

 ，

整理得  ，

解得  ．

 存在点N满足要求，点N坐标为  或  ．

【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数-动态几何问题，几何图形的面积计算-割补法，二次函数的其他应用    

【解析】【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式；（2）过点  作  轴于点H，交  于点G，设点P的坐标为  ，先求出直线  的解析式，再用m表示  ，得出  ，配方即可得出结论（3）先根据抛物线的解析式得出顶点M的坐标, 设点  坐标为  ，得出  ，从而确定NG的长，再根据  得到关于n的方程，解方程即可