5、简单的幂函数及练习

1、幂函数的概念与图像

我们学习过几种基本初等函数如正比例函数y＝x，反比例函数y＝x－1，二次函数y＝x2.看下面两个例子：

(1)如果正方体的棱长为x，正方体的体积为y；

(2)如果正方形场地面积为x，其边长为y.

1．在第一个例子中，y关于x的函数关系式怎样？

【提示】　y＝x3.

2．在第二个例子中，y关于x的函数关系式怎样？

【提示】　y＝x2.

3．这两个问题中的函数关系式与y＝x，y＝x－1，y＝x2有什么共同特点．

【提示】　从形式上看，它们只是指数不同．

1．幂函数的定义

如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．

2．简单的幂函数的图像和性质

函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1在同一平面直角坐标系中的图像如图所示．

从图中可以观察得到：

画出函数y＝x，y＝x2，y＝的图像．

1．它们的图像具有怎样的对称性？

【提示】　y＝x，y＝的图像关于原点对称，y＝x2关于y轴对称．

2．在函数y＝x2中，x取－1时和取1时的函数值相同吗？在函数y＝中呢？

【提示】　在函数y＝x2中相同，在y＝中互为相反数．

1．奇函数的定义

一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数．在奇函数f(x)中，f(x)和f(－x)的绝对值相等，符号相反，即f(－x)＝－f(x)．反之，满足f(－x)＝－f(x)的函数y＝f(x)一定是奇函数．

2．偶函数的定义

一般地，图像关于y轴对称，像这样的函数叫作偶函数．在偶函数 f(x)中，f(x)和f(－x)的值相等，即f(x)＝f(－x)；反之，满足f(x)＝f(－x)的函数y＝f(x)一定是偶函数．

3．奇偶性

     当一个函数是奇函数或偶函数时，称该函数具有奇偶性.

3、幂函数的概念

　下列函数是幂函数的为(　　)

①y＝；②y＝2x2；③y＝x2＋x；④y＝(x－2)3；⑤y＝1.

A．①⑤　　　B．②　　　C．①　　　D．①②④

【思路探究】　紧扣幂函数的概念，y＝xα的形式是解题的关键．

【自主解答】　函数y＝可写成y＝x－2的形式，是幂函数；y＝2x2的系数不是1，y＝x2＋x等式右边是两个幂和的形式，y＝(x－2)3底数不是自变量x，y＝1与y＝x0(x≠0)不是同一函数，所以它们都不是幂函数．

【答案】　C

若一个函数是幂函数，则该函数一定是形如y＝xα(α为常数)的形式，即函数解析式的右边是一个幂的形式，其中指数为常数，底数为自变量，系数为1，这是我们解决某些问题的一个隐性条件．

若函数y＝(a2－3a－3)x2为幂函数，则a的值为________．

【解析】　根据幂函数的定义，若函数y＝(a2－3a－3)·x2为幂函数，则x2的系数必为1，即a2－3a－3＝1，所以a2－3a－4＝0，解得a＝－1或a＝4.

【答案】　－1或4

4、判断函数的奇偶性

　判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝x3＋2x；

(2)f(x)＝x2－|x|＋1；

(3)f(x)＝；

(4)f(x)＝0.

【思路探究】　首先判断定义域是否关于原点对称，若关于原点对称，再看是否满足f(－x)＝±f(x)即可．

【自主解答】　(1)函数的定义域是R，

又f(－x)＝(－x)3＋2(－x)＝－(x3＋2x)

＝－f(x)．

所以f(x)是奇函数．

(2)f(x)的定义域是R，

且f(－x)＝(－x)2－|－x|＋1

＝x2－|x|＋1＝f(x)，

所以f(x)是偶函数．

(3)由于x－1≠0，所以x≠1，即函数的定义域是{x|x≠1}，不关于原点对称，

所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．

(4)由于f(x)＝0的定义域为R，且f(－x)＝f(x)＝－f(x)，所以f(x)既是奇函数，又是偶函数．

1．判断函数的奇偶性时，首先考虑函数的定义域，并判断其是否关于原点对称．

2．若定义域不关于原点对称，则函数f(x)不具有奇偶性，若定义域关于原点对称，可再利用定义验证f(－x)与f(x)的关系．

　判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝x2，x∈(－1,2)；

(2)f(x)＝x3＋x，x∈[0,1]；

(3)f(x)＝，x∈(－1,1)．

【解】　(1)由于定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．

(2)因为定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．

(3)由于x∈(－1,1)，且关于原点对称，所以f(x)＝x，

且f(－x)＝－x＝－f(x)，

因此，f(x)为奇函数.

5、函数奇偶性的应用

　已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.

(1)求出函数f(x)在R上的解析式；

(2)在图2－5－1中画出函数f(x)的图像．

【思路点拨】　根据题中条件，当x>0时的解析式已知，需求x≤0时的解析式，故需借助奇函数的性质求解，根据对称性即可画出图像．

【自主解答】　(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0；

②当x<0时，－x>0，∵f(x)是奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，

综上：f(x)＝

(2)图像如图：

1．奇、偶函数的图像有以下特征：若f(x)为奇函数，则它的图像关于原点对称，反之也成立；若f(x)为偶函数，则它的图像关于y轴对称，反之也成立．这个结论提供了结合图像处理函数奇偶性问题的依据，也是数形结合思想的体现．

2．已知函数f(x)在区间[a，b]上的表达式，求函数f(x)在区间[－b，－a]上的表达式的一般方法：设－b≤x≤－a，则a≤－x≤b；根据已知条件f(x)在区间[a，b]上的表达式可求得f(－x)的表达式；然后根据函数f(x)的奇偶性来实现函数的解析式在f(x)与f(－x)之间的相互转化(若函数f(x)为奇函数，则f(x)＝－f(－x)；若f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x))．特别值得一提的是：设－b≤x≤－a，转化为a≤－x≤b是解决问题的关键．

　(1)已知函数是定义在R上的偶函数，且x≥0时，f(x)＝－x＋1，则f(x)的解析式为________．

(2)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)>0的x的取值范围是(　　)

A．(－∞，2)　　　　　　B．(2，＋∞)

C．(－2,2)  D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

【解析】　设x<0，则－x>0.

∵当x≥0时，f(x)＝－x＋1，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1.

∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，

∴f(－x)＝f(x)．

∴当x<0时，f(x)＝x＋1.∴f(x)的解析式为f(x)＝

(2)由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以它的图像关于y轴对称．又它在(－∞，0]上是减函数，所以可知该函数在(0，＋∞)上为增函数．根据这些特征及f(2)＝0，可作出它的图像(如下图)．

观察图像可得，使f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．

【答案】　(1)f(x)＝　(2)D

6、判断函数的奇偶性时忽视定义域致误

　判断f(x)＝(1－x)的奇偶性．

【错解】　易知1－x>0，

∴f(x)＝＝，

显然满足f(－x)＝f(x)，

∴f(x)是偶函数．

【错因分析】　忽视了定义域对函数奇偶性的影响，函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称

【防范措施】　判断函数的奇偶性，要遵照定义域优先的原则，先分析定义域是否关于原点对称，再根据奇偶性的特点来下结论．

【正解】　由≥0，得－1≤x<1，

∴f(x)的定义域是[－1,1)，其不关于原点对称，

故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

小结：

1．判断一个函数是否是幂函数应严格按其定义判断．

2．幂函数性质可以通过其图像研究，只需掌握α＝1,2,3，，－1这几种情况即可，其它的不做研究．

3．判断函数的奇偶性的方法：

(1)定义法；

(2)图像法：若函数的图像关于原点对称，函数是奇函数；若函数的图像关于y轴对称，函数是偶函数.

一、选择题

1．下列函数在(－∞，0)上为减函数的是(　　)

A．y＝x　　    B．y＝x2　　

C．y＝x3　　    D．y＝x－2

2．(2013·郑州高一检测)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝(　　)

A．－3      B．－1  

C．1      D．3

3．已知偶函数y＝f(x)在[0,4]上是增函数，则f(－3)与f(π)的大小关系是

(　　)

A．f(－3)>f(π)      B．f(－3)C．f(－3)≥f(π)      D．f(－3)≤f(π)

4．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(　　)

A.      B.  

C.      D．1

5．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减少的，且f(－2)＝0，如图2－5－2所示，则使得f(x)<0的x的取值范围是(　　)

图2－5－2

A．(－∞，2)

B．(2，＋∞)

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D．(－2,2)

二、填空题

6．幂函数f(x)的图像过点(2,4)，则f(x)＝________.

7．(2012·重庆高考)若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.

8．已知定义在R上的偶函数f(x)，当x>0时，f(x)＝－x3＋1，则f(－2)·f(3)的值为________．

三、解答题

9．已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x (1－4t－t2)(t∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，求函数的解析式．

10．已知f(x)是奇函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，试证明f(x)在(－∞，0)上也是增函数．

11．(2013·黄石高一检测)已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋2.

(1)求f(x)的解析式．

(2)画出f(x)的图像，并指出f(x)的单调区间．

答案：1、【答案】　B

2、【解析】　∵f(x)是奇函数，

∴f(1)＝－f(－1)＝－3.

【答案】　A

3、【解析】　∵函数为偶函数，∴f(－3)＝f(3)．

又∵f(x)在[0,4]上为增函数，

∴f(3)【答案】　B

4、【解析】　由已知得f(x)＝定义域关于原点对称，其定义域为：{x|x≠－且x≠a}，知a＝，故选A.

【答案】　A

5、【解析】　由图可得在(－∞，0)上，f(x)<0的解集为(－2,0]．因为f(x)为偶函数，所以x的取值范围为(－2,2)．

【答案】　D

6、【解析】　将点(2,4)代入y＝xα得，4＝2α，即22＝2α，

∴α＝2.

因此，f(x)＝x2.

【答案】　f(x)＝x2

7、【解析】　由f(x)＝(x＋a)(x－4)得f(x)＝x2＋(a－4)x－4a，

若f(x)为偶函数，则a－4＝0，即a＝4.

【答案】　4

8、【解析】　∵x>0，f(x)＝－x3＋1，

∴f(3)＝－33＋1＝－26，

f(－2)＝f(2)＝－23＋1＝－7，

∴f(－2)·f(3)＝(－26)×(－7)＝182.

【答案】　182

9、【解】　∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1，

解得t＝－1或t＝0或t＝1.

∴当t＝0时，f(x)＝x是非奇非偶函数，不满足条件；

当t＝1时，f(x)＝x－2是偶函数，但在(0，＋∞)上为减函数，不满足条件；

当t＝－1时，f(x)＝x2，满足题设．

综上所述，实数t的值为－1，所求解析式为f(x)＝x2.

10、【证明】　设x1－x2>0.

∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

∴f(－x1)>f(－x2)，

又∵f(x)是奇函数，

∴f(－x1)＝－f(x1)，f(－x2)＝－f(x2)．

∴－f(x1)>－f(x2)，∴f(x1)所以函数f(x)在区间(－∞，0)上是增函数．

11、【解】　(1)设x<0，则－x>0，所以

f(－x)＝－(－x)2－2x＋2＝－x2－2x＋2，

又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)＝x2＋2x－2，

又f(0)＝0，∴f(x)＝　

(2)先画出y＝f(x)(x>0)的图像，利用奇函数的对称性可得到相应y＝f(x)(x<0)的图像，其图像如图所示．

由图可知，其增区间为[－1,0)和(0,1]，

减区间为(－∞，－1]和[1，＋∞).