图形的相似基础测试题及答案

一、选择题

1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）

A．（―1，2）

B．（―9，18）

C．（―9，18）或（9，―18）

D．（―1，2）或（1，―2）

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似，∴△ ABO∽△A′B′O且＝ .∴＝＝.∴A′E＝AD＝2，OE＝OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）.

方法二：∵点A（―3，6）且相似比为，∴点A的对应点A′的坐标是（―3×，6×），∴A′（－1,2）.

∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，∴A′′（1,―2）.

故答案选D.

考点：位似变换.

2．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2︰3，则S△ABC︰S△DEF为

A．2∶3 ．4∶9 ．∶ ．3∶2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据两相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以．

【详解】

因为△ABC∽△DEF，所以△ABC与△DEF的面积比等于相似比的平方，

所以S△ABC：S△DEF=（）2=，故选B．

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握：两个相似三角形面积比等于相似比的平方．

3．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）

A．3：4 ．9：16 ．9：1 ．3：1

【答案】B

【解析】

【分析】

可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．

【详解】

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴DC∥AB，

∴△DFE∽△BFA，

∵DE：EC=3：1，

∴DE：DC=3：4，

∴DE：AB=3：4，

∴S△DFE：S△BFA=9：16．

故选B．

4．如图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝6，AC＝8，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）

A． ． ． ．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．

【详解】

A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．

D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；

故选：D．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．

5．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，作CD的中垂线与CD交于点E，与BC交于点F．若CF＝x，tanA＝y，则x与y之间满足（ ）

A． ． ． ．

【答案】A

【解析】

【分析】

由直角三角形斜边上的中线性质得出CD＝AB＝AD＝4，由等腰三角形的性质得出∠A＝∠ACD，得出tan∠ACD＝＝tanA＝y，证明△CEG∽△FEC，得出，得出y＝，求出y2＝，得出＝FE2，再由勾股定理得出FE2＝CF2﹣CE2＝x2﹣4，即可得出答案．

【详解】

解：如图所示：

∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，

∴CD＝AB＝AD＝4，

∴∠A＝∠ACD，

∵EF垂直平分CD，

∴CE＝CD＝2，∠CEF＝∠CEG＝90°，

∴tan∠ACD＝＝tanA＝y，

∵∠ACD+∠FCE＝∠CFE+∠FCE＝90°，

∴∠ACD＝∠FCE，

∴△CEG∽△FEC，

∴＝，

∴y＝，

∴y2＝，

∴＝FE2，

∵FE2＝CF2﹣CE2＝x2﹣4，

∴＝x2﹣4，

∴+4＝x2，

故选：A．

【点睛】

本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．

6．如图，点E是的边上一点，，连接，交边于点，下列结论中错误的是（ ）

A． ． ． ．

【答案】D

【解析】

【分析】

由平行四边形的性质和相似三角形的性质分别判断即可．

【详解】

解：∵在中，，，

∴,

∴,

∵

∴，选项A正确，选项D错误，

∴，即：，

∴，

∴选项B正确，

∴，即：，

∴选项C正确，

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，能熟练利用相似三角形对应边成比例是解题关键．

7．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，使得△A'B'C的边长是△ABC的边长的2倍．设点B的横坐标是﹣3，则点B'的横坐标是（　　）

A．2 ．3 ．4 ．5

【答案】B

【解析】

【分析】

作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，根据位似图形的性质得到B′C＝2BC，再利用相似三角形的判定和性质计算即可．

【详解】

解：作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，

则BD∥B′E，

由题意得CD＝2，B′C＝2BC，

∵BD∥B′E，

∴△BDC∽△B′EC，

∴，

∴CE＝4，则OE＝CE−OC＝3，

∴点B'的横坐标是3，

故选：B．

【点睛】

本题考查的是位似变换、相似三角形的判定和性质，掌握位似变换的概念是解题的关键．

8．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上.已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高是（ ）

A．4米 ．4.5米 ．5米 ．5.5米

【答案】D

【解析】

【分析】

利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明的身高即可求得树高AB.

【详解】

解：∵∠DEF=∠BCD-90° ∠D=∠D

∴△ADEF∽△DCB

∴ 

∴DE=40cm=0.4m，EF-20cm=0.2m，AC-1.5m，CD=8m

∴解得：BC=4

∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米

故答案为：5.5.

【点睛】

本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型。

9．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（　　）

A． ． ． ．

【答案】D

【解析】

【分析】

先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论．

【详解】

如图，

在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，

∴BD=2，

连接DE，

∵∠BDC=90°，点D是BC中点，

∴DE=BE=CE=BC=2，

∵∠DCB=30°，

∴∠BDE=∠DBC=30°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠ABD=∠BDE，

∴DE∥AB，

∴△DEF∽△BAF，

∴，

在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=2，

∴AB=3，

∴，

∴，

∴DF=，

故选D．

【点睛】

此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，判断出DE∥是解本题的关键．

10．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE和CD相交于点F，且S△EFC＝3S△EFD，则S△ADE：S△ABC的值为（　　）

A．1：3 ．1：8 ．1：9 ．1：4

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，易证△DEF∽△CBF，同理可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比是对应边比例的平方即可解答．

【详解】

∵S△EFC＝3S△DEF，

∴DF：FC＝1：3 （两个三角形等高，面积之比就是底边之比），

∵DE∥BC，

∴△DEF∽△CBF，

∴DE：BC＝DF：FC＝1：3

同理△ADE∽△ABC，

∴S△ADE：S△ABC＝1：9，

故选：C．

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比是对应边比例的平方．

11．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH长为（   ）

A．1 ．1.2 ．2 ．2.5

【答案】B

【解析】

【分析】

由AB∥GH∥CD可得：△CGH∽△CAB、△BGH∽△BDC，进而得：、，然后两式相加即可．

【详解】

解：∵AB∥GH，∴△CGH∽△CAB，∴，即①，

∵CD∥GH，∴△BGH∽△BDC，∴，即②，

①+②，得：，解得：．

故选：B．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

12．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（　　）

A． ．

C． ．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据相似三角形的判定方法一一判断即可．

【详解】

解：因为中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，

故选：B．

【点睛】

本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．

13．两个相似多边形的面积比是9∶16，其中小多边形的周长为36 cm，则较大多边形的周长为 )

A．48 cm ．54 cm ．56 cm ． cm

【答案】A

【解析】

试题分析：根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．

解：两个相似多边形的面积比是9：16，

面积比是周长比的平方，

则大多边形与小多边形的相似比是4：3．

相似多边形周长的比等于相似比，

因而设大多边形的周长为x，

则有=，

解得：x=48．

大多边形的周长为48cm．

故选A．

考点：相似多边形的性质．

14．要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知甲三角形框架三边的长分别为50 cm、60 cm、80 cm，乙三角形框架的一边长为20 cm，则符合条件的乙三角形框架共有（  ）.

A．1种 ．2种 ．3种 ．4种

【答案】C

【解析】

试题分析：根据相似图形的定义，可由三角形相似，那么它们边长的比相同，均为5：6：8，乙那个20cm的边可以当最短边，最长边和中间大小的边．

故选：C．

点睛：本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．

15．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，当点C1、B1、C三点共线时，旋转角为α，连接BB1，交AC于点D．下列结论：①△AC1C为等腰三角形；②△AB1D∽△BCD；③α＝75°；④CA＝CB1，其中正确的是（　　）

A．①③④ ．①②④ ．②③④ ．①②③④

【答案】B

【解析】

【分析】

将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，得到△ABC≌△AB1C1，根据全等三角形的性质得到AC1=AC，于是得到△AC1C为等腰三角形；故①正确；根据等腰三角形的性质得到∠C1=∠ACC1=30°，由三角形的内角和得到∠C1AC=120°，得到∠B1AB=120°，根据等腰三角形的性质得到∠AB1B=30°=∠ACB，于是得到△AB1D∽△BCD；故②正确；由旋转角α=120°，故③错误；根据旋转的性质得到∠C1AB1=∠BAC=45°，推出∠B1AC=∠AB1C，于是得到CA=CB1；故④正确．

【详解】

解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，

∴△ABC≌△AB1C1，

∴AC1＝AC，

∴△AC1C为等腰三角形；故①正确；

∴AC1＝AC，

∴∠C1＝∠ACC1＝30°，

∴∠C1AC＝120°，

∴∠B1AB＝120°，

∵AB1＝AB，

∴∠AB1B＝30°＝∠ACB，

∵∠ADB1＝∠BDC，

∴△AB1D∽△BCD；故②正确；

∵旋转角为α，

∴α＝120°，故③错误；

∵∠C1AB1＝∠BAC＝45°，

∴∠B1AC＝75°，

∵∠AB1C1＝∠BAC＝105°，

∴∠AB1C＝75°，

∴∠B1AC＝∠AB1C，

∴CA＝CB1；故④正确．

故选：B．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．

16．如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD=60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点，作BM⊥AE于点M，作KN⊥AE于点N，连结MO、NO，以下四个结论：①△OMN是等腰三角形；②tan∠OMN=；③BP=4PK；④PM•PA=3PD2，其中正确的是（　　）

A．①②③ ．①②④ ．①③④ ．②③④

【答案】B

【解析】

【分析】

根据菱形的性质得到AD∥BC，根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理△ADP≌△ECP，由相似三角形的性质得到AD=CE，作PI∥CE交DE于I，根据点P是CD的中点证明CE=2PI，BE=4PI，根据相似三角形的性质得到，得到BP=3PK，故③错误；作OG⊥AE于G，根据平行线等分线段定理得到MG=NG，又OG⊥MN，证明△MON是等腰三角形，故①正确；根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠OMN=，故②正确；然后根据射影定理和三角函数即可得到PM•PA=3PD2，故④正确．

【详解】

解：作PI∥CE交DE于I，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AD∥BC，

∴∠DAP=∠CEP，∠ADP=∠ECP，

在△ADP和△ECP中，

，

∴△ADP≌△ECP，

∴AD=CE，

则，又点P是CD的中点，

∴，

∵AD=CE，

∴，

∴BP=3PK，

故③错误；

作OG⊥AE于G，

∵BM丄AE于M，KN丄AE于N，

∴BM∥OG∥KN，

∵点O是线段BK的中点，

∴MG=NG，又OG⊥MN，

∴OM=ON，

即△MON是等腰三角形，故①正确；

由题意得，△BPC，△AMB，△ABP为直角三角形，

设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，BP=，

则AP=，

根据三角形面积公式，BM=，

∵点O是线段BK的中点，

∴PB=3PO，

∴OG=BM=，

MG=MP=，

tan∠OMN=，故②正确；

∵∠ABP=90°，BM⊥AP，

∴PB2=PM•PA，

∵∠BCD=60°，

∴∠ABC=120°，

∴∠PBC=30°，

∴∠BPC=90°，

∴PB=PC，

∵PD=PC，

∴PB2=3PD，

∴PM•PA=3PD2，故④正确．

故选B．

【点睛】

本题考查相似形综合题．

17．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ）

A．(2，1) ．(2，0) ．(3，3) ．(3，1)

【答案】A

【解析】

【分析】

根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标．

【详解】

由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，

∴，

又OB=6，AB=3，

∴OD=2，CD=1，

∴点C的坐标为：（2，1），

故选A．

【点睛】

本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．

18．如图，顶角为的等腰三角形，其底边与腰之比等k，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰AB=1，为第一个黄金三角形，为第二个黄金三角形，为第三个黄金三角形以此类推，第2020个黄金三角形的周长（）

A． ． ． ．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据相似三角形对应角相等，对应边成比例，求出前几个三角形的周长，进而找出规律：第n个黄金三角形的周长为kn-1（2+k），从而得出答案．

【详解】

解：∵AB=AC=1，

∴△ABC的周长为2+k；

△BCD的周长为k+k+k2=k（2+k）；

△CDE的周长为k2+k2+k3=k2（2+k）；

依此类推，第2020个黄金三角形的周长为k2019（2+k）．

故选：D．

【点睛】

此题考查黄金分割，相似三角形的性质，找出各个三角形周长之间的关系，得出规律是解题的关键．

19．如图，已知一组平行线，被直线、所截，交点分别为、、和、、，且，，，则（ ）

A．4.4 ．4 ．3.4 ．2.4

【答案】D

【解析】

【分析】

根据平行线等分线段定理列出比例式，然后代入求解即可．

【详解】

解：∵

∴ 即

解得：EF=2.4

故答案为D．

【点睛】

本题主要考查的是平行线分线段成比例定理，利用定理正确列出比例式是解答本题的关键．

20．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，AC分别交BE，DF于G，H，试判断下列结论：①△ABE≌△CDF；②AG＝GH＝HC；③2EG＝BG；④S△ABG：S四边形GHDE＝2：3，其中正确的结论是（　　）

A．1个 ．2个 ．3个 ．4个

【答案】D

【解析】

【分析】

根据SAS，即可证明①△ABE≌△CDF；在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，根据有一组对边平行且相等四边形是平行四边形，即可证明四边形BFDE是平行四边形，由AD∥BC，即可证明△AGE∽△CGB，△CHF∽△AHD，然后根据相似三角形的对应边成比例，证得AG∶CG＝EG∶BG＝1∶2，CH∶AH＝1∶2，即可证得②AG＝GH＝HC，③2EG＝BG；由S△ABG＝2S△AEG，S四边形GHDE＝3S△AEG，可得结论④S△ABG：S四边形GHDE＝2：3．

【详解】

解：在平行四边形ABCD中，

AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，BC＝DA，

∵E，F分别是边AD，BC的中点，

∴AE＝CF，

∴△ABE≌△CDF，故①正确；

∵AD∥BC，

∴△AGE∽△CGB，△CHF∽△AHD，

∴AG∶CG＝EG∶BG＝AE∶CB，CH∶AH＝CF∶AD，

∵E，F分别是边AD，BC的中点，

∴AE＝AD，CF＝BC，

∴AE∶CB＝1∶2，CF∶AD＝1∶2，

∴EG∶BG＝AG∶CG＝1∶2，CH∶AH＝1∶2

∴AG＝CH＝AC，2EG＝BG，故③正确；

∴AG＝GH＝HC，故②正确；

∵S△ABG＝2S△AEG，S四边形GHDE＝3S△AEG，

∴S△ABG：S四边形GHDE＝2：3，故④正确，

故选：D

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握这些知识是解本题的关键．