5华中科技大学207年硕士研究生考试试题

一、求。

解：原式

二、设函数满足方程组，期中均为连续可微函数，，求。

解：因为，解得

；

同理有，得

。

三、设函数在的可微，，当时，，，证明存在使得。

证明：令，则，在上满足罗尔定理，所以存在使得，即有，即。

四、证明不等式≤，（ ）。

证明： 当或或时，不等式显然成立，下面利用多元函数极值方法证明，先求函数当时

，

在球面上的最大值，作拉格朗日函数

，

求偏导数，得

解得，代入约束条件，可得

，，，

由于目标函数无最小值，所以唯一的驻点必是最大值点，于是有

，

即

，，

在后一式中令，和，得到

。

五、设函数在的连续可微，且最少有一个零点，证明

                 。

证明：设，对任意的有

，

上式积分得

        。

六、， 其中为单位圆周，逆时针方向。

解：  令，得

。

七、设区域由分片光滑封闭曲面所围成。证明：

,

其中为曲面Σ的单位外法向量,，。

证明：由，可知

。

因为 

由Gauss公式，得到

      。

八、证明:对充分大的自然数有近似公式，当时，其误差与是等价无穷小。

证明：:对充分大的自然数，，即有近似公式。

且，

因此，即与是等价无穷小。

九、展开为上的正弦级数。

十、设是区间上连续函数序列，它在上一致收敛于，假设每个在上不处处为负，证明在上也不处处为负。

证明：由题设易知在区间上连续，下面用反证法证明，假设在上处处为负，即，，又在上一致收敛于，所以存在，当时，对任意，有，即有，即有，即当时，在上处处为负，矛盾。

华中科技大学2003年硕士研究生数学分析考试试题

一、求。

，

则

，，

故极限不存在。

二、设是两次连续可微函数，用极坐标代换变换式子。

解：，，

，

。

三、设，在上连续，，在可导且，证明存在使得。

证明：由柯西中值定理存在使得

，

即。

四、设，证明不等式：，。

证明：，，，

解得，这时，又且当充分小时为无穷大，所以没有最大值，是的最小值，即。

五、设在上两次连续可微，，证明

。

证明： 

，

，

又,所以

，

即。

六、设是椭圆，，，是的单位切向量，指向反时针方向，求。

解：设是的单位外法向量，则，又令，，所以则

，

七、设是椭球面，，是原点到切平面的距离，求。

    解：上点的切平面：，即，则，

八、将函数展成为的幂级数，并指出其收敛域。

  解：当，即时，有定义，且

，

易知级数的收敛域为。

九、在上展开为的富立叶级数。

一十、证明公式，其中是与无关的常数，。

证明：设，则

，

即单升，又

有上界，故由单调有界原理知存在，记我为，则，令，即有，且。

华中科技大学2004年硕士研究生数学分析考试试题

一、设求级数之和。

解：，则。

二、设，，证明，此估计能否改进？

证明：由泰勒公式存在使得

，，

两式相减得

，

所以有

；

不能改进，例，，，满足，，的条件，但对任意，有。

三、设有处处连续的二阶偏导数，，证明

。

证明：因为，

，

则由分部积分有

。

四、设在上连续，在可微，存在唯一的，使得，，设，，，，

，证明是在上的最大值。

证明：由，存在，当时，，又在有界闭区间上连续，所以在上一定取到最大值，而在区间边界；；和上都有不能取到最大值，最大值只能在的内部取到，这时最大值点一定是极值点，即该点的偏导数必为零，而的内部只存在唯一的使的点，知是在的最大值点，又当时，，记得是在上的最大值。

五、设处处有，证明曲线位于其任意切线上方，且与切线有唯一的交点。

  证明：对任意，由泰勒公式存在使得

      ，

即曲线位于其任意切线上方；

下面用反证法证明曲线与切线有唯一的交点，在曲线点的切线为，假若还有曲线点在切线上，则

，即有，由微分中值定理存在，使得，再由罗尔定理存在使得，与题设矛盾。

六、求， 其中为单位圆周，逆时针方向。

解：  令，得

。

七、设是连续正函数，，证明是严格单调减函数。

证明：，，因此是严格单调减函数。

八、设收敛，证明。

证明：因为收敛，的收敛半径大于等于1，则的收敛半径大于等于1，所以级数在收敛，故级数在上一致收敛，故。

九、设在上连续，其零点：为证明：积分收敛级数收敛。

证明：若收敛，由柯西准则，对任意的，存在，当时，有，又存在，当，，则对任意的正整数，，即收敛。

先不妨设，，则，，，，，；若级数收敛，对任意的，存在，当，有，即，当时，由有，，，且不妨设当时，，当时，，则

，

即，积分收敛。

十、设，在上连续，，在上一致收敛于，证明至少存在一点，使得。

证明：在上连续，且，则，下面用反证法证明，假设在上都有，则有，矛盾。

2005年试题

一、设，，，求极限。

解：由微分中值定理，，使

，

而，得，同理有，所以。

二、设在区间上有连续的导数，，，给出的一个估计。

，

，

所以

在上的最大值为1，则

三、设有连续的一阶偏导数，，，证明

。

证明：因为，

，

，则

，

且，

又因为，

，

则由分部积分有

，

即。

四、设在区间上可微且恒大于零，，单调减，证明，。

证明：作函数，有，且单调减，又不妨设，则有微分中值定理有和，再由单减得，即有。

五、设在上有两阶连续导数，，证明。

证明：由分部积分得

。

2006年试题

1、设是定义在上的连续可微函数，曲线在点有水平切线，，求。

解：，。

2、设在区间上的正值连续函数，证明方程

在区间至少有一解。

解：令，

，，所以由连续函数介值定理存在，使得，即方程在区间至少有一解。

3、设是由方程表示的曲面，其中连续可微函数，是外的一点，是上的距离最近的点，求曲面在点处的切平面方程。

解：令，

上的距离最近的点满足条件

，，，

曲面在点处的切平面方程为

，

即得

4、设是区间上的两次可微函数，， ，是曲边梯形的面积，以点为顶点的梯形的面积，比较，的大小，给出结果的分析证明。

解： ，即，

证明：令，

，

，所以

，所以，故有，即

。

5、求，是取逆时针方向的圆周，

解：，则

。

6、设是区间上的正值连续函数，

，

证明是区间上的严格单调增加的连续函数。

解：，

，由连续，知当时，，且连续，所以是区间上连续，

且

，

所以是区间上的严格单调增加的连续函数。

7、设是不含原点的有界闭区域，体积为，其边界是光滑的简单闭曲面，是的外向单位法向量，，是上的连续可微函数，它满足方程

，求。

解：设，则

。

8、设在有定义，发散，

（1）已知极限存在，求。

（2）证明级数对一致收敛。

解：（1）时，收敛，则级数收敛半径，又发散，则，故，因为存在，则；

（2）级数在上收敛，因为收敛，对任意，关于单调，且，一致有界，所以由阿贝尔判别法知级数对一致收敛。

9、设，级数收敛，是在区间上的正铉级数，求。

解：，又一致收敛，则

10、对任意自然数，在区间上连续且至少有一个零点，当时，在区间上一致收敛于函数，证明在区间上至少有一个零点。

解：在区间上连续且一致收敛于函数，所以在上连续，反证法，在区间上没有零点，则在区间上保号，不妨设，又设是在区间上最小值，所以，又在区间上一致收敛于函数，由定义，存在，对任意的有，即有，即在区间上没有零点，矛盾，故命题成立。

2007年

1、设，证明数列收敛，并求其极限。

解：设，则，所以由归纳法知有上界，即，又，知单调增加，所以由单调有界原理知数列收敛，记，则，即。

2、求极限。

解：。

3、设函数项级数满足：（1）对任意，在开区间内一致连续，（2）开区间内一致收敛于，证明在开区间内一致连续。

证明：，由开区间内一致收敛于所以对任意的，存在，当，对，有，

由在开区间内一致连续，所以在开区间内一致连续，存在，对和，有，

故对和时有

，

即在开区间内一致连续。

4、设函数在上二阶可导且满足，又设在区间内取到最大值。证明：。

证明： 设为函数的最大值点，则，。以代入在点的带Lagrange余项的Taylor公式

，

，

得到

。

5、证明函数在区间上连续。

证明：对任意的，存在，使得，考虑区间，对任意，关于单调，且，一致趋于0，且，一致有界，所以由迪雷克雷判别法知在上一致收敛，故在上连续，即在连续，再由的任意性有在区间上连续。

6、设在内具有二阶可导并且满足，

。

令，求幂级数的收敛域。

证明：  由可知, , 且

于是泰勒公式得存在使得

，

而，所以存在，当时 

,

,,

幂级数收敛半径，且时，由，知收敛，故级数的收敛域为。

7、计算曲面积分

8、设为由两条直线和两条曲线在第一象限所围成区域，是具有连续导数的一元函数，记，证明，

其中是区域的边界，方向为逆时钟方向。

解：由格林公式得

。

9、将函数，展开为余弦级数并求出其和函数。

10、设为平面光滑曲线的方程，即具有连续的一阶偏导数且，又设是该曲线外的一点，是该曲线上到最近的一点，求曲线在处的法线方程。

解：解：令，

曲线上到最近的一点满足条件

， 

曲线在处的法线方程为

，

即得。