数学建模银行投资

某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下： 

 及代办机构的证券总共至少要购进400万元  

 所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）   所购证券的平均到期年限不超过5年  

证券名称 证券种类 信用等级 到期年限 到期税前收益/ % A 市政 2 9 4.3 

B 代办机构 2 15 5.4 C  1 4 5.0 D  1 3 4.4 E 市政 5 2 4.5 

（1） 若该经理有1000万元资金，应如何投资？ 

（2） 如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？ 

（3） 在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？(1)问题分析:

问题是问应该如何投资,就是怎样投资才能得到最大收益。

文字模型:

有五种证券A,B,C,D,E，分别设为x1,x2,x3,x4,x5，题中有三个约束条件，A，E证券免税，而其余的都要收50%的税。

数学模型:

该经理有1000万元资金，则x1+x2+x3+x4+x5<=1000，三个约束条件分别表示为x2+x3+x4>=400, 

(2*x1+2*x2+x3+x4+5*x5)/(x1+x2+x3+x4+x5)<1.4,

(9*x1+15*x2+4*x3+3*x4+2*x5)/(x1+x2+x3+x4+x5)<5,

而投资收益为

0.043*x1+0.5*0.054*x2+0.5*0.050*x3+0.5*0.044*x4+0.5*0.045*x5，用lingo软件即可求。

求解结果:

x1=218.1818,x2=0,x3=736.3636,x4=0,x5=45.45455，

最高收益为29.83636万元。

结果分析:

为了获得最高收益，该经理应该投资A证券218.1818万元，C证券736.3636万元，E证券45.45455万元，需要投资9年，最高收益为29.83636万元。

附件:

max=0.043*x1+0.5*0.054*x2+0.5*0.050*x3+0.5*0.044*x4+0.045*x5;

x2+x3+x4>400;

(2*x1+2*x2+x3+x4+5*x5)/(x1+x2+x3+x4+x5)<1.4;

(9*x1+15*x2+4*x3+3*x4+2*x5)/(x1+x2+x3+x4+x5)<5;

x1+x2+x3+x4+x5<=1000;

 (2)问题分析:

问该经理是否该借贷，及如果借贷后应该怎么投资。经(1)可知，投资100万元，可得2.983636万元，虽然不一定是最高收益，但是高于贷款应还利息2.75万元，所以应该借贷。

文字模型:

有五种证券A,B,C,D,E，分别设为x1,x2,x3,x4,x5，题中有三个约束条件，A，E证券免税，而其余的都要收50%的税。

数学模型:

该经理有1000万元资金，可贷到100万元，则x1+x2+x3+x4+x5<=1100，三个约束条件分别表示为x2+x3+x4>=400, 

(2*x1+2*x2+x3+x4+5*x5)/(x1+x2+x3+x4+x5)<1.4,

(9*x1+15*x2+4*x3+3*x4+2*x5)/(x1+x2+x3+x4+x5)<5,

而投资收益为

0.043*x1+0.5*0.054*x2+0.5*0.050*x3+0.5*0.044*x4+0.5*0.045*x5-2.75，用lingo软件即可求。

求解结果:

X1=240,x2=0,x3=810,x4=0,x5=50,最高收益为30.07万元。

结果分析:

该经理应该借贷，投资方案应该修改为投资A证券240万元，C证券810万元，E证券50万元，需要投资9年，最高收益为30.07万元。

附件

 (3)问题分析:

有两小问，第一问只是将证券A的税前收益增加为4.5%，其他都没变，还是求如何投资才能获得最高收益。第二问只是将证券C的税前收益减为4.8%，其他都没变，还是求如何投资才能获得最高收益。

(3)问题1文字模型:

有五种证券A,B,C,D,E，分别设为x1,x2,x3,x4,x5，题中有三个约束条件，A，E证券免税，而其余的都要收50%的税。

数学模型:

该经理有1000万元资金，则x1+x2+x3+x4+x5<=1000，三个约束条件分别表示为x2+x3+x4>=400, 

(2*x1+2*x2+x3+x4+5*x5)/(x1+x2+x3+x4+x5)<1.4,

(9*x1+15*x2+4*x3+3*x4+2*x5)/(x1+x2+x3+x4+x5)<5,

而投资收益为

0.045*x1+0.5*0.054*x2+0.5*0.050*x3+0.5*0.044*x4+0.045*x5，用lingo软件即可求。

求解结果:

x1=218.1818,x2=0,x3=736.3636,x4=0,x5=45.455，

最高收益为30.27273万元。

结果分析:

投资不应该改变，为了获得最高收益，该经理应该投资A证券218.1818万元，C证券736.3636万元，E证券45.455万元，需要投资9年，最高收益为30.27273万元。

附件:

（3）问题2文字模型:

有五种证券A,B,C,D,E，分别设为x1,x2,x3,x4,x5，题中有三个约束条件，A，E证券免税，而其余的都要收50%的税。

数学模型:

该经理有1000万元资金，则x1+x2+x3+x4+x5<=1000，三个约束条件分别表示为x2+x3+x4>=400, 

(2*x1+2*x2+x3+x4+5*x5)/(x1+x2+x3+x4+x5)<1.4, 

(9*x1+15*x2+4*x3+3*x4+2*x5)/(x1+x2+x3+x4+x5)<5,

而投资收益为

0.043*x1+0.5*0.054*x2+0.5*0.048*x3+0.5*0.044*x4+0.045*x5，用lingo软件即可求。

求解结果:

x1=336,x2=0,x3=0,x4=8,x5=16，最高收益为29.424万元

结果分析:

投资应该改变，为了获得最高收益，该经理应该投资A证券336万元，D证券8万元，E证券16万元，需要投资9年，最高收益为29.424万元。

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