高中数学选修性必修(第一册)空间向量与立体几何(三)同步练习-人教A版(2019)

巧用向量法处理平行、垂直问题同步练习

（答题时间：40分钟）

一、选择题

1. 已知平面内的两个向量＝（2，3，1），＝（5，6，4），则该平面的一个法向量为（　　）

A. （1，－1，1）　　　　　　　        B. （2，－1，1）

C. （－2，1，1）                     D. （－1，1，－1）

2. 设直线l1的方向向量为＝（2，1，－2），直线l2的方向向量为＝（2，2，m），若l1⊥l2，则m＝（  ）

A. 1                                  B. －2

C. －3                                     D. 3

3. 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等。给出下列结论：

①A1M∥D1P；

②A1M∥B1Q；

③A1M∥平面DCC1D1；

④A1M∥平面D1PQB1。

这四个结论中正确的个数为（　　）

A. 1                    B. 2             C. 3                    D. 4

二、填空题

4. 已知直线l的方向向量为＝（2，0，－1），平面α的一个法向量为＝（－2，1，－4），则l与α的位置关系为________。

5. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P（2cos x＋1，2cos x，0）和点Q（cos x，－1，3），其中x∈[0，π]。若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________。

6. 已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，且有＝（2，－1，－4），＝（4，2，0），＝（－1，2，－1）。给出结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥。其中正确的是________。

三、解答题

7. 如图，在正方体AC1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点。设Q是CC1上的点。当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?

8. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD。

巧用向量法处理平行、垂直问题同步练习参

1. 答案：C  

解析：显然与不平行，设平面的法向量为＝（x，y，z），

则有⇒

令z＝1，得x＝－2，y＝1。

∴（－2，1，1）。

2. 答案：D  

解析：l1⊥l2⇔⊥，

∴2×2＋1×2＋（－2）×m＝0，∴m＝3。

3. 答案：C  

解析：∵＝＋＝＋，

＝＋＝＋，

∴∥，从而A1M∥D1P，可得①③④正确。

又B1Q与D1P不平行，故②不正确。

4. 答案：l∥α或l⊂α  

解析：∵＝（2，0，－1）·（－2，1，－4）＝－4＋0＋4＝0，

∴，∴l∥α或l⊂α。

5. 答案：或  

解析：由题意得⊥。

∴cos x·（2cos x＋1）－2cos x＝0。

∴2cos2x－cos x＝0。∴cos x＝0或cos x＝。

又x∈[0，π]，∴x＝或x＝。

6. 答案：①②③  

解析：由·＝－2－2＋4＝0，知AP⊥AB，故①正确；

由·＝－4＋4＋0＝0，知AP⊥AD，故②正确；

由①②知是平面ABCD的法向量，故③正确，

，显然④不正确。

7. 解：建立如图所示的坐标系，设正方体棱长为2，

则O（1，1，0），A（2，0，0），P（0，0，1），B（2，2，0），D1（0，0，2）。

再设Q（0，2，c），

∴＝（1，－1，0），

＝（－1，－1，1），

＝（－2，0，c），

＝（－2，－2，2）。

设平面PAO的法向量为

＝（x，y，z），

则⇒

令x＝1，则y＝1，z＝2。

∴平面PAO的一个法向量为＝（1，1，2）。

若平面D1BQ∥平面PAO，那么n1也是平面D1BQ的一个法向量。

∴·＝0，即－2＋2c＝0，∴c＝1，

这时·＝－2－2＋4＝0，

故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO。

8. 证明：如图，取D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。

设正方体棱长为2，

则O（1，1，0），A1（2，0，2），G（0，2，1），

B（2，2，0），D（0，0，0），

∴＝（1，－1，2），＝（1，1，0），＝（－2，0，1）。

而·＝1－1＋0＝0，

·＝－2＋0＋2＝0，

∴⊥，⊥，即OA1⊥OB，OA1⊥BG。

而OB∩BG＝B，

∴OA1⊥平面GBD。

巧用向量法求空间距离同步练习

（答题时间：30分钟）

一、选择题

1. 已知 则点A与G之间的距离为（    ）

A.             B.            C.             D. 

2. 已知A（1，0，0），B（1，-2，3），C（-1，2，1），则点A到直线BC的距离为（    ）

A.             B.         C.             D. 

3. 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离是（    ）

A.             B.             C.                 D. 

二、填空题

4. 已知直三棱柱的各棱长都是2，且AB⊥AC，则点A1到直线BC1的距离为______。

5. 空间四边形ABCD的各顶点坐标分别是A（0，1，3），B（2，0，2），C（1，-1，2），D（-1，3，1），E，F分别是AB与CD的中点，则EF的长为______。

三、解答题

6. 四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点。

（1）证明：DE∥平面PFB；

（2）求点E到平面PFB的距离。

巧用向量法求空间距离同步练习参

1. 答案：A  

解析：

2. 答案：B  

解析：据条件知

在向量方向上的投影为

∴点A到直线BC的距离为

3. 答案：D  

解析：设所求距离为h。

因为

在△B1EF中，EF边上的高为 

而E到平面B1C1F的距离EB=1。

4. 答案：  

解析：建系如图，则B（2，0，0），A1（0，0，2），C1（0，2，2）

上的投影为

∴点A1到直线的距离为

5. 答案：  

解析：易知故

6. 解：（1）以D为原点，建立如图所示的坐标系，则P（0，0，2），F（1，0，0），B（2，2，0），E（0，1，1）。

＝（－1，0，2），

＝（1，2，0），＝（0，1，1），

∴＝＋，

∴∥平面PFB。

又∵D∉平面PFB，∴DE∥平面PFB。

（2）∵DE∥平面PFB，∴点E到平面PFB的距离等于点D到平面PFB的距离。

设平面PFB的一个法向量＝（x，y，z），

则

令x＝2，得y＝－1，z＝1。

∴＝（2，－1，1），＝（－1，0，0），

∴点D到平面PFB的距离，

∴点E到平面PFB的距离为。

巧用向量法求空间角同步练习

（答题时间：40分钟）

一、选择题

1. 若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于（　　）

A. 120°　　　　　　　　　　    B. 60°

C. 30°      D. 60°或30°

2. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为（　　）

A. 0      B. 

C. －     D. 

3. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为（　　）

A. －                    B. 

C. －                     D. 

二、填空题

4. 平面α的法向量为（1，0，－1），平面β的法向量为（0，－1，1），则平面α与平面β所成二面角的大小为________。

5. 已知在棱长为a的正方体ABCD­A′B′C′D′中，E是BC的中点。则直线A′C与DE所成角的余弦值为________。

三、解答题

6. 

如图所示，已知点P在正方体ABCD­A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°。

（1）求DP与CC′所成角的大小；

（2）求DP与平面AA′D′D所成角的大小。

巧用向量法求空间角同步练习参

1. 答案：C

解析：由题意得直线l与平面α的法向量所在直线的夹角为60°，∴直线l与平面α所成的角为90°－60°＝30°。

2. 答案：A

解析：

建立如图坐标系，则D1（0，0，3），B（2，2，0），A（2，0，0），

C（0，2，0），

∴＝（－2，－2，3），

＝（－2，2，0）。

∴cos〈，〉＝＝0。

∴〈，〉＝90°，其余弦值为0。

3. 答案：B

解析：

建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D（0，0，0），B（2，2，0），B1（2，2，2），E（0，2，1）。

∴＝（－2，－2，0），＝（0，0，2），＝（－2，0，1）。

设平面B1BD的法向量为＝（x，y，z）。

∵⊥，⊥，

∴∴

令y＝1，则＝（－1，1，0）。

∴cos〈，〉＝＝，设直线BE与平面B1BD所成角为θ，则

sin θ＝|cos〈，〉|＝。

4. 答案：4

解析：＝（4，5，3），点P到平面α的距离为＝＝＝4。

5. 答案：或

解析：设＝（1，0，－1），＝（0，－1，1），

则cos θ＝±|cos〈，〉|＝±||＝±。

∴θ＝或。

6. 答案：

解析：

如图所示建立空间直角坐标系，则A′（0，0，a），C（a，a，0），D（0，a，0），E，＝（a，a，－a），＝，∴

10. 解：

如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为1，

则＝（1，0，0），＝（0，0，1），连接BD、B′D′。

在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H。

设＝（m，m，1）（m>0），由已知〈，〉＝60°，

又由·＝||||cos〈，〉，可得2m＝，解得m＝。所以＝（，1）。

（1）因为cos〈，〉＝＝，

所以〈，〉＝45°，即DP与CC′所成的角为45°。

（2）平面AA′D′D的一个法向量是＝（0，1，0）。

因为cos〈，〉＝＝。

所以〈，〉＝60°，

可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°。