2017年山东省济南市市中区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）

1．（3分）﹣2的绝对值等于（　　）

A．﹣    B．    C．﹣2    D．2

2．（3分）数字3300用科学记数法表示为（　　）

A．0.33×104    B．3.3×103    C．3.3×104    D．33×103

3．（3分）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b相交，若∠1=56°，则∠2等于（　　）

A．24°    B．34°    C．56°    D．124°

4．（3分）若2（a+3）的值与4互为相反数，则a的值为（　　）

A．    B．﹣5    C．﹣    D．﹣1

5．（3分）如图所示的几何体是由一个圆柱体和一个长方形组成的，则这个几何体的俯视图是（　　）

A．    B．    C．    D．

6．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．x2+x3=x5    B．（x﹣2）2=x2﹣4    C．（x3）4=x7    D．2x2⋅x3=2x5

7．（3分）下面四个手机应用图标中是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

8．（3分）实验学校九年级一班十名同学定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：5，4，3，5，5，2，5，3，4，1，则这组数据的中位数，众数分别为（　　）

A．4，5    B．5，4    C．4，4    D．5，5

9．（3分）如图，在10×6的网格中，每个小方格的边长都是1个单位，将△ABC平移到△DEF的位置，下面正确的平移步骤是（　　）

A．先向左平移5个单位，再向下平移2个单位

B．先向右平移5个单位，再向下平移2个单位

C．先向左平移5个单位，再向上平移2个单位

D．先向右平移5个单位，再向下平移2个单位

10．（3分）化简÷是（　　）

A．m    B．﹣m    C．    D．﹣

11．（3分）如图，直线l经过第二、三、四象限，l的解析式是y=（m﹣2）x+n，则m的取值范围在数轴上表示为（　　）

A．    B．    C．    D．

12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则sin∠E的值是（　　）

A．    B．    C．    D．

13．（3分）已知关于x的二元一次方程组，若x+y＞3，则m的取值范围是（　　）

A．m＞1    B．m＜2    C．m＞3    D．m＞5

14．（3分）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]=4，[]=1，[﹣2.5]=﹣3．现对82进行如下操作：

82[]=9[]=3[]=1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

15．（3分）如图，直线y=与y轴交于点A，与直线y=﹣交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y=（x﹣h）2+k的顶点在直线y=﹣上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（　　）

A．﹣2    B．﹣2≤h≤1    C．﹣1    D．﹣1

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

16．（3分）因式分解：xy2﹣4x=　　．

17．（3分）计算 ﹣（﹣1）2=　　．

18．（3分）小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，完飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是　　．

19．（3分）方程=的解是　　．

20．（3分）如图，A．B是双曲线y=上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为　　．

21．（3分）如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为C′，再将所折得的图形沿EF折叠，使得点D和点A重合．若AB=3，BC=4，则折痕EF的长为　　．

三、解答题（本大题共8小题，共57分）

22．（7分）（1）先化简，再求值：（x+1）2+x（2﹣x），其中x=

（2）解不等式组，并把解集表示在数轴上．

23．（3分）如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．

24．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BD是直径，且BC=2，连接CD，求BD的长．

25．（8分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

26．（8分）商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同． 

（1）若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是多少？

（2）若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率．

27．（9分）如图1，已知双曲线y=（k＞0）与直线y=k′x交于A、B两点，点A在第一象限，试回答下列问题：

（1）若点A的坐标为（3，1），则点B的坐标为　　；当x满足：　　时，≤k′x；

（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y=（k＞0）于P，Q两点，点P在第一象限．

①四边形APBQ一定是　　；

②若点A的坐标为（3，1），点P的横坐标为1，求四边形APBQ的面积．

（3）设点A，P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，直接写出m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由．

28．（9分）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．

（1）求证：BD=CE；

（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，

①当∠EAC=90°时，求PB的长；

②直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值．

29．（9分）如图，二次函数y=x2+bx﹣的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．

（1）请直接写出点D的坐标：　　；

（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；

（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．

2017年山东省济南市市中区中考数学一模试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）

1．（3分）（2011•长春）﹣2的绝对值等于（　　）

A．﹣    B．    C．﹣2    D．2

【分析】根据绝对值的性质：一个负数的绝对值是它的相反数解答即可．

【解答】解：根据绝对值的性质，

|﹣2|=2．

故选D．

【点评】本题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，难度适中．

2．（3分）（2017•市中区一模）数字3300用科学记数法表示为（　　）

A．0.33×104    B．3.3×103    C．3.3×104    D．33×103

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．

【解答】解：3300用科学记数法可表示为：3.3×103，

故选：B．

【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．（3分）（2016•）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b相交，若∠1=56°，则∠2等于（　　）

A．24°    B．34°    C．56°    D．124°

【分析】根据对顶角相等求出∠3，根据平行线的性质得出∠2=∠3，即可得出答案．

【解答】解：

∵∠1=56°，

∴∠3=∠1=56°，

∵直线a∥b，

∴∠2=∠3=56°，

故选C．

【点评】本题考查了平行线的性质的应用，能根据平行线的性质得出∠2=∠3是解此题的关键，注意：两直线平行，同位角相等．

4．（3分）（2017•历城区二模）若2（a+3）的值与4互为相反数，则a的值为（　　）

A．    B．﹣5    C．﹣    D．﹣1

【分析】依据相反数的定义列出关于a的方程求解即可．

【解答】解：∵2（a+3）的值与4互为相反数，

∴2（a+3）=﹣4，解得：a=﹣5．

故选：B．

【点评】本题主要考查的是相反数的定义，依据相反数的定义列出关于a的方程是解题的关键．

5．（3分）（2015•衡阳）如图所示的几何体是由一个圆柱体和一个长方形组成的，则这个几何体的俯视图是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案．

【解答】解：从上面看外边是一个矩形，里面是一个圆，

故选：C．

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面看得到的图形．

6．（3分）（2017•市中区一模）下列运算正确的是（　　）

A．x2+x3=x5    B．（x﹣2）2=x2﹣4    C．（x3）4=x7    D．2x2⋅x3=2x5

【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方、单项式乘以单项式、完全平方公式分别求出每个式子的值，再判断即可．

【解答】解：A、x2和x3不能合并，故本选项不符合题意；

B、结果是x2﹣4x+4，故本选项不符合题意；

C、结果是x12，故本选项不符合题意；

D、结果是2x5，故本选项符合题意；

故选D．

【点评】本题考查了合并同类项法则、幂的乘方、单项式乘以单项式、完全平方公式等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键．

7．（3分）（2017•市中区一模）下面四个手机应用图标中是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．

【解答】解：A图形不是中心对称图形；

B图形是中心对称图形；

C图形不是中心对称图形；

D图形不是中心对称图形，

故选：B．

【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

8．（3分）（2014•呼伦贝尔）实验学校九年级一班十名同学定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：5，4，3，5，5，2，5，3，4，1，则这组数据的中位数，众数分别为（　　）

A．4，5    B．5，4    C．4，4    D．5，5

【分析】根据众数及中位数的定义，结合所给数据即可作出判断．

【解答】解：将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，4，5，5，5，5，

这组数据的众数为：5；

中位数为：4．

故选A．

【点评】本题考查了众数、中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义．

9．（3分）（2017•市中区一模）如图，在10×6的网格中，每个小方格的边长都是1个单位，将△ABC平移到△DEF的位置，下面正确的平移步骤是（　　）

A．先向左平移5个单位，再向下平移2个单位

B．先向右平移5个单位，再向下平移2个单位

C．先向左平移5个单位，再向上平移2个单位

D．先向右平移5个单位，再向下平移2个单位

【分析】根据网格结构，可以利用一对对应点的平移关系解答．

【解答】解：根据网格结构，观察对应点A、D，点A向左平移5个单位，再向下平移2个单位即可到达点D的位置，

所以平移步骤是：先把△ABC向左平移5个单位，再向下平移2个单位．

故选：A．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，利用对应点的平移规律确定图形的平移规律是解题的关键．

10．（3分）（2017•历城区二模）化简÷是（　　）

A．m    B．﹣m    C．    D．﹣

【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．

【解答】解：原式=﹣•=﹣m，

故选B．

【点评】此题考查了分式的乘除法，分式乘除法的关键是约分，约分的关键是找出分子分母的公因式．

11．（3分）（2014•河北）如图，直线l经过第二、三、四象限，l的解析式是y=（m﹣2）x+n，则m的取值范围在数轴上表示为（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】根据一次函数图象与系数的关系得到m﹣2＜0且n＜0，解得m＜2，然后根据数轴表示不等式的方法进行判断．

【解答】解：∵直线y=（m﹣2）x+n经过第二、三、四象限，

∴m﹣2＜0且n＜0，

∴m＜2且n＜0．

故选：C．

【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．也考查了在数轴上表示不等式的解集．

12．（3分）（2017•市中区一模）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则sin∠E的值是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠BOC=∠CDB=30°，再根据切线的性质得∠OCE=90°，所以∠E=30°，然后根据特殊角的三角函数值求解．

【解答】解：连接OC，如图，

∠BOC=∠CDB=30°，

∵CE为切线，

∴OC⊥CE，

∴∠OCE=90°，

∴∠E=30°，

∴sinE=sin30°=．

故选A．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和特殊角的三角函数值．

13．（3分）（2017•历城区二模）已知关于x的二元一次方程组，若x+y＞3，则m的取值范围是（　　）

A．m＞1    B．m＜2    C．m＞3    D．m＞5

【分析】将m看做已知数表示出x与y，代入x+y＞3计算即可求出m的范围．

【解答】解：，

①+②得：4x=4m﹣6，即x=，

①﹣②×3得：4y=﹣2，即y=﹣，

根据x+y＞3得：﹣＞3，

去分母得：2m﹣3﹣1＞6，

解得：m＞5．

故选D

【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

14．（3分）（2017•市中区一模）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]=4，[]=1，[﹣2.5]=﹣3．现对82进行如下操作：

82[]=9[]=3[]=1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

【分析】[x]表示不大于x的最大整数，依据题目中提供的操作进行计算即可．

【解答】解：121[]=11[]=3[]=1，

∴对121只需进行3次操作后变为1，

故选：C．

【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是明确[x]表示不大于x的最大整数．

15．（3分）（2017•张店区一模）如图，直线y=与y轴交于点A，与直线y=﹣交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y=（x﹣h）2+k的顶点在直线y=﹣上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（　　）

A．﹣2    B．﹣2≤h≤1    C．﹣1    D．﹣1

【分析】将y=与y=﹣联立可求得点B的坐标，然后由抛物线的顶点在直线y=﹣可求得k=﹣，于是可得到抛物线的解析式为y=（x﹣h）2﹣h，由图形可知当抛物线经过点B和点C时抛物线与菱形的边AB、BC均有交点，然后将点C和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得h的值，从而可判断出h的取值范围．

【解答】解：∵将y=与y=﹣联立得：，解得：．

∴点B的坐标为（﹣2，1）．

由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（h，k）．

∵将x=h，y=k，代入得y=﹣得：﹣h=k，解得k=﹣，

∴抛物线的解析式为y=（x﹣h）2﹣h．

如图1所示：当抛物线经过点C时．

将C（0，0）代入y=（x﹣h）2﹣h得：h2﹣h=0，解得：h1=0（舍去），h2=．

如图2所示：当抛物线经过点B时．

将B（﹣2，1）代入y=（x﹣h）2﹣h得：（﹣2﹣h）2﹣h=1，整理得：2h2+7h+6=0，解得：h1=﹣2，h2=﹣（舍去）．

综上所述，h的范围是﹣2≤h≤．

故选A．

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数的交点与一元二次方程组的关系、待定系数法求二次函数的解析式，通过平移抛物线探究出抛物线与菱形的边AB、BC均有交点时抛物线经过的“临界点”为点B和点C是解题解题的关键．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

16．（3分）（2013•益阳）因式分解：xy2﹣4x=　x（y+2）（y﹣2）　．

【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

【解答】解：xy2﹣4x，

=x（y2﹣4），

=x（y+2）（y﹣2）．

【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解．

17．（3分）（2017•市中区一模）计算 ﹣（﹣1）2=　4　．

【分析】先分别根据数的开方法则、有理数乘方的法则求出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．

【解答】解：原式=5﹣1=4．

故答案为：4．

【点评】本题考查的是实数的运算，熟知实数混合运算的法则是解答此题的关键．

18．（3分）（2017•市中区一模）小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，完飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是　　．

【分析】先根据平行四边形的性质求出平行四边形对角线所分的四个三角形面积相等，再求出S1=S2即可．

【解答】解：根据平行四边形的性质可得：平行四边形的对角线把平行四边形分成的四个面积相等的三角形，

根据平行线的性质可得S1=S2，

则阴影部分的面积占，

则飞镖落在阴影区域的概率是．

故答案为：．

【点评】此题主要考查了几何概率，以及中心对称图形，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比，关键是根据平行线的性质求出阴影部分的面积与总面积的比．

19．（3分）（2017•历城区二模）方程=的解是　x=6　．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：去分母得：3x﹣6=2x，

解得：x=6，

经检验x=6是分式方程的解．

故答案为：x=6

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．

20．（3分）（2017•历城区二模）如图，A．B是双曲线y=上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为　　．

【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，根据D为OB的中点可知CD是△OBE的中位线，即CD=BE，设A（x，），则B（2x，），故CD=，AD=﹣，再由△ADO的面积为1求出y的值即可得出结论．

【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E，

∵D为OB的中点，

∴CD是△OBE的中位线，即CD=BE．

设A（x，），则B（2x，），CD=，AD=﹣，

∵△ADO的面积为1，

∴AD•OC=1，（﹣）•x=1，解得k=，

故答案是：．

【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．

21．（3分）（2017•市中区一模）如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为C′，再将所折得的图形沿EF折叠，使得点D和点A重合．若AB=3，BC=4，则折痕EF的长为　　．

【分析】首先由折叠的性质与矩形的性质，证得△BND是等腰三角形，则在Rt△ABN中，利用勾股定理，借助于方程即可求得AN的长，又由△ANB≌△C′ND，易得：∠FDM=∠ABN，由三角函数的性质即可求得MF的长，又由中位线的性质求得EM的长，则问题得解．

【解答】解：设BC′与AD交于N，EF与AD交于M，

根据折叠的性质可得：∠NBD=∠CBD，AM=DM=AD，∠FMD=∠EMD=90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC=4，∠BAD=90°，

∴∠ADB=∠CBD，

∴∠NBD=∠ADB，

∴BN=DN，

设AN=x，则BN=DN=4﹣x，

∵在Rt△ABN中，AB2+AN2=BN2，

∴32+x2=（4﹣x）2，

∴x=，

即AN=，

∵C′D=CD=AB=3，∠BAD=∠C′=90°，∠ANB=∠C′ND，

∴△ANB≌△C′ND（AAS），

∴∠FDM=∠ABN，

∴tan∠FDM=tan∠ABN，

∴，

∴，

∴MF=，

由折叠的性质可得：EF⊥AD，

∴EF∥AB，

∵AM=DM，

∴ME=AB=，

∴EF=ME+MF=+=．

故答案为：．

【点评】此题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想与方程思想的应用．

三、解答题（本大题共8小题，共57分）

22．（7分）（2017•市中区一模）（1）先化简，再求值：（x+1）2+x（2﹣x），其中x=

（2）解不等式组，并把解集表示在数轴上．

【分析】（1）先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可；

（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．

【解答】解：（1）原式=x2+2x+1+2x﹣x2

=4x+1，

当x=时，原式=4+1；

（2）

∵解不等式①：x＜4，

解不等式②：x＜3，

∴原不等式组的解集是：x＜3，

原不等式组的解集在数轴上表示为：．

【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，也考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能正确根据整式的运算法则进行化简是解（1）的关键，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解（2）的关键．

23．（3分）（2013•常州）如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．

【分析】根据中点定义求出AC=BC，然后利用“SSS”证明△ACD和△BCE全等，再根据全等三角形对应角相等证明即可．

【解答】证明：∵C是AB的中点，

∴AC=BC，

在△ACD和△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE（SSS），

∴∠A=∠B．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，比较简单，主要利用了三边对应相等，两三角形全等，以及全等三角形对应角相等的性质．

24．（4分）（2017•市中区一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BD是直径，且BC=2，连接CD，求BD的长．

【分析】根据圆周角定理求出∠D=∠A=45°，BD是直径，根据勾股定理计算即可．

【解答】解：∵∠A和∠D所对的弧都是弧BC，

∴∠D=∠A=45°，

∵BD是直径，

∴∠DCB=90°，

∴∠D=∠DBC=45°，

∴CB=CD=2，

由勾股定理得：BD==2．

【点评】本题考查的是三角形的外接圆和外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键．

25．（8分）（2014•）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

【分析】设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．

【解答】解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．

根据题意得 （100﹣4x）x=400，

解得 x1=20，x2=5．

则100﹣4x=20或100﹣4x=80．

∵80＞25，

∴x2=5舍去．

即AB=20，BC=20．

答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

26．（8分）（2017•历城区二模）商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同． 

（1）若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是多少？

（2）若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率．

【分析】（1）由商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同，直接利用概率公式求解即可求得答案；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他恰好买到雪碧和奶汁的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：（1）∵商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同，

∴他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是：；

（2）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，他恰好买到雪碧和奶汁的有2种情况，

∴他恰好买到雪碧和奶汁的概率为：=．

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

27．（9分）（2017•历城区二模）如图1，已知双曲线y=（k＞0）与直线y=k′x交于A、B两点，点A在第一象限，试回答下列问题：

（1）若点A的坐标为（3，1），则点B的坐标为　（﹣3，﹣1）　；当x满足：　﹣3≤x＜0或x≥3　时，≤k′x；

（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y=（k＞0）于P，Q两点，点P在第一象限．

①四边形APBQ一定是　平行四边形　；

②若点A的坐标为（3，1），点P的横坐标为1，求四边形APBQ的面积．

（3）设点A，P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，直接写出m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由．

【分析】（1）根据正比例函数与反比例函数的图象的交点关于原点对称，即可解决问题，利用图象根据正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方，即可确定自变量x的范围．

（2）①利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．

②利用分割法求面积即可．

（3）根据矩形的性质、正方形的性质即可判定．

【解答】解：（1）∵A、B关于原点对称，A（3，1），

∴点B的坐标为（﹣3，﹣1）．

由图象可知，当﹣3≤x＜0或x≥3时，≤k′x．

故答案为（﹣3，﹣1），﹣3≤x＜0或x≥3

（2）①∵A、B关于原点对称，P、Q关于原点对称，

∴OA=OB，OP=OQ，

∴四边形APBQ是平行四边形．

故答案为：平行四边形；     

②∵点A的坐标为（3，1），

∴k=3×1=3，

∴反比例函数的解析式为y=，

∵点P的横坐标为1，

∴点P的纵坐标为3，

∴点P的坐标为（1，3），

由双曲线关于原点对称可知，点Q的坐标为（﹣1，﹣3），点B的坐标为（﹣3，﹣1），

如图2，过点A、B分别作y轴的平行线，过点P、Q分别作x轴的平行线，分别交于C、D、E、F，

则四边形CDEF是矩形，

CD=6，DE=6，DB=DP=4，CP=CA=2，

则四边形APBQ的面积=矩形CDEF的面积﹣△ACP的面积﹣△PDB的面积﹣△BEQ的面积﹣△AFQ的面积

=36﹣2﹣8﹣2﹣8

=16． 

（3）mn=k时，四边形APBQ是矩形，

不可能是正方形．

理由：当AB⊥PQ时四边形APBQ是正方形，此时点A、P在坐标轴上，由于点A，P可能达到坐标轴故不可能是正方形，即∠POA≠90°．

因为mn=k，易知P、A关于直线y=x对称，所以PO=OA=OB=OQ，所以四边形APBQ是矩形．

【点评】本题考查反比例函数综合题、平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会利用对称的性质解决问题，学会用分割法求面积，学会利用图象确定自变量的取值范围，属于中考压轴题．

28．（9分）（2016•三明）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．

（1）求证：BD=CE；

（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，

①当∠EAC=90°时，求PB的长；

②直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值．

【分析】（1）欲证明BD=CE，只要证明△ABD≌△ACE即可．

（2）①分两种情形a、如图2中，当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=1．由△PEB∽△AEC，得=，由此即可解决问题．b、如图3中，当点E在BA延长线上时，BE=3．解法类似．

②a、如图4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小．b、如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．分别求出PB即可．

【解答】（1）证明：如图1中，

∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，

∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE，

在△ADB和△AEC中，

∴△ADB≌△AEC，

∴BD=CE．

（2）①解：a、如图2中，当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=1．

∵∠EAC=90°，

∴CE==，

同（1）可证△ADB≌△AEC．

∴∠DBA=∠ECA．

∵∠PEB=∠AEC，

∴△PEB∽△AEC．

∴=，

∴=，

∴PB=

b、如图3中，当点E在BA延长线上时，BE=3．

∵∠EAC=90°，

∴CE==，

同（1）可证△ADB≌△AEC．

∴∠DBA=∠ECA．

∵∠BEP=∠CEA，

∴△PEB∽△AEC，

∴=，

∴=，

∴PB=，

综上，PB=或．

②解：a、如图4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小．

理由：此时∠BCE最小，因此PB最小，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最小，因此PB最小）

∵AE⊥EC，

∴EC===，

由（1）可知，△ABD≌△ACE，

∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE=，

∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，

∴四边形AEPD是矩形，

∴PD=AE=1，

∴PB=BD﹣PD=﹣1．

b、如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．

理由：此时∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最大，因此PB最大）

∵AE⊥EC，

∴EC===，

由（1）可知，△ABD≌△ACE，

∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE=，

∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，

∴四边形AEPD是矩形，

∴PD=AE=1，

∴PB=BD+PD=+1．

综上所述，PB长的最小值是﹣1，最大值是+1．

【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论的思想思考问题，学会利用图形的特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题．

29．（9分）（2013•徐州）如图，二次函数y=x2+bx﹣的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．

（1）请直接写出点D的坐标：　（﹣3，4）　；

（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；

（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将点A的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得点B的坐标即可求得正方形ABCD的边长，从而求得点D的纵坐标；

（2）PA=t，OE=l，利用△DAP∽△POE得到比例式，从而得到有关两个变量的二次函数，求最值即可；

（3）分点P位于y轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积．

【解答】解：（1）（﹣3，4）；

（2）设PA=t，OE=l

由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE

∴

∴l=﹣+=﹣（t﹣）2+

∴当t=时，l有最大值

即P为AO中点时，OE的最大值为；

（3）存在．

①点P点在y轴左侧时，DE交AB于点G，

P点的坐标为（﹣4，0），

∴PA=OP﹣AO=4﹣3=1，

由△PAD≌△EOP得OE=PA=1

∵△ADG∽△OEG

∴AG：GO=AD：OE=4：1

∴AG==

∴重叠部分的面积==

②当P点在y轴右侧时，P点的坐标为（4，0），

此时重叠部分的面积为

【点评】本题考查了二次函数的综合知识，与二次函数的最值结合起来，题目的难度较大．

参与本试卷答题和审题的老师有：HJJ；gbl210；zjx111；梁宝华；2300680618；王学峰；caicl；sks；gsls；szl；HLing；wdxwwzy；ZJX；sd2011；nhx600；zcx；星期八；知足长乐；dbz1018；三界无我；弯弯的小河；sjzx（排名不分先后）

菁优网

2017年4月30日