2020-2021长沙郡中学高三数学上期中一模试题含答案

一、选择题

1．已知首项为正数的等差数列的前项和为，若和是方程的两根，则使成立的正整数的最大值是（   ）

A．1008 ．1009 ．2016 ．2017

2．已知为等差数列，若，且数列的前n项和有最大值，则的最小正值为(    )

A． ． ． ．

3．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（      ）

A．一尺五寸 ．二尺五寸 ．三尺五寸 ．四尺五寸

4．已知数列满足，，则（  ）

A．1024 ．2048 ．1023 ．2047

5．设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前n项和，若成等比数列，则=（ ）

A．2 ．-2 ． ．

6．已知数列{an} 满足a1=1，且，且n∈N*），则数列{an}的通项公式为（ ）

A． ． ．an=n+2 ．an=（ n+2）·3n

7．在中，分别是角的对边,若,且，则的值为(  )

A．2 ． ． ．4

8．已知等比数列的各项均为正数，若，则＝（  ）

A．1 ．3 ．6 ．9

9．满足约束条件,若目标函数的最大值为12，则的最小值为 (　 　)

A． ． ． ．

10．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则的形状为（）

A．等腰三角形 ．直角三角形

C．等腰直角三角形 ．等腰三角形或直角三角形

11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知(a4－1)3＋2 016(a4－1)＝1，(a2 013－1)3＋2 016·(a2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是(　　)

A．S2 016＝－2 016，a2 013>a4

B．S2 016＝2 016，a2 013>a4

C．S2 016＝－2 016，a2 013D．S2 016＝2 016，a2 01312．在等差数列中，如果，那么（   ）

A．95 ．100 ．135 ．80

二、填空题

13．设等差数列的前项和为，，，.其中且，则______.

14．已知数列的前项和为，且,求 =.__________．

15．已知数列满足，，则数列的通项公式为________．

16．数列满足，则的前60项和为_____．

17．在△中，，，，则______；△的面积是______．

18．的内角的对边分别为，若，则 ________．

19．已知数列的通项，则其前15项的和等于_______.

20．设，，，则的最小值为______．

三、解答题

21．在等差数列中，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求的前项和.

22．在中，角所对的边分别为，且．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，,求的面积．

23．已知等差数列中，，且前10项和．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

24．已知数列满足.

（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和.

25．如图，中，.点分别在边和上，将沿翻折，使变为，且顶点落在边上,设

（1）用表示线段的长度，并写出的取值范围；

（2）求线段长度的最大值以及此时的面积，

26．已知在等比数列{an}中，＝2，＝128，数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且{}为等差数列．

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）求数列{bn}的前n项和

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．C

解析：C

【解析】

依题意知，数列的首项为正数，，，使成立的正整数的最大值是，故选C.

2．D

解析：D

【解析】

【分析】

由已知条件判断出公差，对进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求出结果.

【详解】

已知为等差数列，若，则，

由数列的前n项和有最大值，可得，

，

，，

则的最小正值为

故选

【点睛】

本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.

3．B

解析：B

【解析】

【分析】

从冬至日起各节气日影长设为，可得为等差数列，根据已知结合前项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解.

【详解】

由题知各节气日影长依次成等差数列，设为，

是其前项和，则尺，

所以尺，由题知，

所以，所以公差，

所以尺。

故选:B.

【点睛】

本题考查等差数列应用问题，考查等差数列的前项和与通项公式的基本量运算，属于中档题.

4．C

解析：C

【解析】

【分析】

根据叠加法求结果.

【详解】

因为，所以，

因此，选C.

【点睛】

本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.

5．D

解析：D

【解析】

【分析】

把已知用数列的首项和公差表示出来后就可解得．，

【详解】

因为成等比数列，所以，即

故选D.

【点睛】

本题考查等差数列的前项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．

6．B

解析：B

【解析】

试题分析：由题可知，将，两边同时除以，得出，运用累加法，解得，整理得；

考点：累加法求数列通项公式

7．A

解析：A

【解析】

【分析】

由正弦定理，化简求得，解得，再由余弦定理，求得，即可求解，得到答案．

【详解】

在中，因为,且，

由正弦定理得，

因为，则，

所以，即，解得，

由余弦定理得，

即，解得，故选A．

【点睛】

本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.

8．D

解析：D

【解析】

【分析】

首先根据对数运算法则，可知，再根据等比数列的性质可知，最后计算的值.

【详解】

由 ，

可得，进而可得 ，

 .

【点睛】

本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.

9．A

解析：A

【解析】

【分析】

先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数何时取最大值，进而找到之间的关系式然后可得，化简变形用基本不等式即可求解。

【详解】

不等式组表示的平面区域如图，由得点B坐标为B（4,6）.由图可知当直线经过点B（4,6）时，Z取最大值。因为目标函数的最大值为12，所以即 

所以。

当且仅当即时，上式取“=”号。

所以当时，取最小值。

故选A。

【点睛】

利用基本不等式可求最大（小）值，要注意“一正，二定，三相等”。当都取正值时，（1）若和取定值，则积有最大值；（2）若积取定值时，则和 有最小值。

10．D

解析：D

【解析】

【分析】

由正弦定理化简，得到，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案．

【详解】

由题意知，，

结合正弦定理，化简可得，

所以，则，

所以，得或，

所以三角形是等腰或直角三角形．

故选D．

【点睛】

本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．

11．D

解析：D

【解析】

∵(a4－1)3＋2 016(a4－1)＝1，(a2 013－1)3＋2 016(a2 013－1)＝－1，

∴(a4－1)3＋2 016(a4－1)＋(a2 013－1)3＋2 016(a2 013－1)＝0，

设a4－1＝m，a2 013－1＝n，

则m3＋2 016m＋n3＋2 016n＝0，

化为(m＋n)·(m2＋n2－mn＋2 016)＝0，

∵，

∴m＋n＝a4－1＋a2 013－1＝0，

∴a4＋a2 013＝2，

∴.

很明显a4－1>0，a2 013－1<0，∴a4>1>a2 013，

本题选择D选项.

12．B

解析：B

【解析】

【分析】

根据等差数列性质可知：，，构成新的等差数列，然后求出结果

【详解】

由等差数列的性质可知：，，构成新的等差数列，

故选

【点睛】

本题主要考查了等差数列的性质运用，等差数列中连续的、等长的、间隔相等的几项的和依然成等差，即可计算出结果。

二、填空题

13．5【解析】【分析】设等差数列的再由列出关于的方程组从而得到【详解】因为所以设因为所以故答案为：【点睛】本题考查等差数列前项和公式的灵活运用考查从函数的角度认识数列问题求解时要充分利用等差数列的前前项

解析：5

【解析】

【分析】

设等差数列的，再由，，列出关于的方程组，从而得到.

【详解】

因为，所以设，

因为，，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查等差数列前项和公式的灵活运用，考查从函数的角度认识数列问题，求解时要充分利用等差数列的前前项和公式必过原点这一隐含条件，从而使问题的计算量大大减少.

14．【解析】分析：根据可以求出通项公式；判断与是否相等从而确定的表达式详解：根据递推公式可得由通项公式与求和公式的关系可得代入化简得经检验当时所以所以点睛：本题考查了利用递推公式求通项公式的方法关键是最

解析：.

【解析】

分析：根据可以求出通项公式；判断与是否相等，从而确定的表达式。

详解：根据递推公式，可得 

由通项公式与求和公式的关系，可得 ，代入化简得

经检验，当时， 

        所以

所以 .

点睛：本题考查了利用递推公式求通项公式的方法，关键是最后要判断与是否相等，确定的表达式是否需要写成分段函数形式。

15．【解析】【分析】待定系数得到得到【详解】因为满足所以即得到所以而故是以为首项为公比的等比数列所以故故答案为：【点睛】本题考查由递推关系求数列通项待定系数法构造新数列求通项属于中档题

解析：

【解析】

【分析】

待定系数得到，得到

【详解】

因为满足，

所以，

即，得到，

所以，

而，

故是以为首项，为公比的等比数列，

所以，

故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查由递推关系求数列通项，待定系数法构造新数列求通项，属于中档题.

16．1830【解析】【分析】由题意可得…变形可得…利用数列的结构特征求出的前60项和【详解】解：∴…∴…从第一项开始依次取2个相邻奇数项的和都等于2从第二项开始依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项以1

解析：1830

【解析】

【分析】

由题意可得，，，，，，…，，变形可得，，，，，，，，…，利用数列的结构特征，求出的前60项和．

【详解】

解： ，

∴，，，，，，…，，

∴，，，，，，，，…，

从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，

的前60项和为，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查递推公式的应用，考查利用构造等差数列求数列的前项和，属于中档题．

17．；【解析】试题分析：由余弦定理得即得考点：余弦定理三角形面积公式

解析：；

【解析】

试题分析：由余弦定理得，即，得，，.

考点：余弦定理，三角形面积公式.

18．【解析】【分析】根据正弦定理将边化为角再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cosB的值即得B角【详解】由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理得2sinBcosB＝sinAcosC＋sin

解析： 

【解析】

【分析】

根据正弦定理将边化为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cosB的值，即得B角.

【详解】

由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.

∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．

又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.

又sinB≠0，∴cosB＝.∴B＝.

∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝.

又0【点睛】

解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：

第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.

第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.

第三步：求结果.

19．【解析】【分析】将通过分母有理化化简得出再利用裂项相消法求出前15项的和【详解】利用分母有理化得设数列的前项的和为所以前15项的和为：即：故答案为：3【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前项的和还

解析：

【解析】

【分析】

将通过分母有理化，化简得出，再利用裂项相消法求出前15项的和.

【详解】

利用分母有理化得，

设数列的前项的和为，所以前15项的和为：

即：.

故答案为：3.

【点睛】

本题考查利用裂项相消法求数列的前项的和，还运用分母有理化化简通项公式，属于基础题.

20．【解析】【分析】变形之后用基本不等式：求解即可【详解】原式可变形为：当且仅当时取等故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等

解析：

【解析】

【分析】

变形之后用基本不等式：求解即可.

【详解】

原式可变形为：

当且仅当，时取等．

故答案为：

【点睛】

本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

三、解答题

21．（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）依题意，从而.由此能求出数列的通项公式；

（2）由数列是首项为1，公比为2的等比数列，求出，再分组求和即可.

【详解】

（1）设等差数列的公差是.

由已知，

∴，

∴，

得 ，

∴数列的通项公式为.

（2）由数列是首项为1，公比为2的等比数列，

∴，

∴，

∴

，

.

【点睛】

本题考查数列的通项公式和前项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.

22．（1） ； （2）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）已知等式括号中第一项利用同角三角函数间基本关系化简，整理后求出cosB的值，确定出sinB的值，

（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosB，利用完全平方公式变形后，将a+b，b，cosB的值代入求出ac的值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

【详解】

（Ⅰ）由得，,   

，即， ，

又 , ．

（Ⅱ）由余弦定理得： ， 

又，，, 

．

【点睛】

本题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

23．(1)an＝2n－1(2)Tn＝

【解析】

【分析】

(1)本题首先可以对化简得到，再对化简得到，最后两式联立，解出的值，得出结果；

(2)可通过裂项相消法化简求出结果．

【详解】

(1)由已知得，

解得

所以的通项公式为

(2)，

所以数列的前项和．

【点睛】

裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）  ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．

24．（1）；（2）.

【解析】

分析：（1）两边取倒数可得，从而得到数列是等差数列，进而可得的通项公式；（2），利用错位相减法求和即可.

详解：（1）∵，∴，

∴是等差数列，

∴，

即；

（2）∵，

∴，

则，

两式相减得，

∴.

点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

25．  

【解析】

【分析】

（1）在直角中，得出与的关系，从而得出 与的不等式；

（2）在中，利用正弦定理求出，得出的最小值，从而得出的最大值.

【详解】

（1）设，则，

在直角中，，

解得，即，

因为在边上，所以.

（2）因为，可得，所以，

在中，由，可得，

又由，

根据正弦定理，可得，

所以，

令

，

因为，所以，

当且仅当时，即时，有最大值，

即当时，有最小值，

所以的最大值为，

当时，为等边三角形，面积为.

【点睛】

本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.

26．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

(1)根据等比数列的性质得到＝，＝2，进而求出公比，得到数列{an}的通项，再由等差数列的公式得到结果；（2）根据第一问得到通项，分组求和即可.

【详解】

（1）设等比数列{an}的公比为q．

由等比数列的性质得a4a5＝＝128，又＝2，所以＝．

所以公比．

所以数列{an}的通项公式为an＝a2qn－2＝2×2n－2＝2n－1．

设等差数列{}的公差为d．

由题意得，公差，

所以等差数列{}的通项公式为．

所以数列{bn}的通项公式为（n＝1，2，…）．

（2）设数列{bn}的前n项和为Tn．

由（1）知，（n＝1，2，…）．

记数列{}的前n项和为A，数列{2n－2}的前n项和为B，则

，．

所以数列{bn}的前n项和为．

【点睛】

这个题目考查了数列的通项公式的求法，以及数列求和的应用，常见的数列求和的方法有：分组求和，错位相减求和，倒序相加等.