高考数学真题：递推数列与数列求和含答案

第十七讲  递推数列与数列求和

2019年

1.（2019天津理19）设是等差数列，是等比数列.已知.

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足其中.

（i）求数列的通项公式；

（ii）求.

2010-2018年

一、选择题

1．（2013大纲）已知数列满足，则的前10项和等于

A．  B．  C．  D．

2．(2012上海)设，，在中，正数的个数是

A．25                B．50               C．75               D．100

二、填空题

3．(2018全国卷Ⅰ)记为数列的前项和，若，则_____．

4．（2017新课标Ⅱ）等差数列的前项和为，，，则 ．

5．（2015新课标Ⅱ）设是数列的前项和，且，则=__．

6．（2015江苏）数列满足，且（），则数列前10项的和为         ．

7．（2013新课标Ⅰ）若数列{}的前n项和为＝，则数列{}的通项公式是=______.

8．（2013湖南）设为数列的前n项和，则

（1）_____；

（2）___________．

9．（2012新课标）数列满足，则的前60项和为        ．

10．（2012福建）数列的通项公式，前项和为，则

=___________．

三、解答题

11．（2018浙江）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项．数列满足，数列的前项和为．

(1)求的值；

(2)求数列的通项公式．

12．(2018天津)设是等比数列，公比大于0，其前项和为，是等差数列．已知，，，．

(1)求和的通项公式；

(2)设数列的前项和为，

(i)求；

(ii)证明．

13．（2017江苏）对于给定的正整数，若数列满足

对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．

（1）证明：等差数列是“数列”；

（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列．

14．（2016年全国II）为等差数列的前n项和，且，．记，其中表示不超过x的最大整数，如，．

（Ⅰ）求，，；

（Ⅱ）求数列的前项和．

15．（2015新课标Ⅰ）为数列的前项和，已知，

（Ⅰ）求的通项公式：

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

16．（2015广东）数列满足：，．

（1）求的值；

（2）求数列的前项和；

（3）令，

证明：数列的前项和满足．

17．（2014广东）设各项均为正数的数列的前项和为，且满足

．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）证明：对一切正整数，有

18．（2013湖南）设为数列{}的前项和，已知，2，N

(Ⅰ)求，，并求数列｛｝的通项公式；

(Ⅱ)求数列｛｝的前项和．

19．（2011广东）设，数列满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：对于一切正整数，

专题六数列

第十七讲  递推数列与数列求和

答案部分

2019年 

1.解析 （Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

依题意得解得

故.

所以，的通项公式为的通项公式为.

（Ⅱ）（i）.

所以，数列的通项公式为.

（ii）

             .

2010-2018年 

1．【解析】∵，∴是等比数列

       又，∴，∴，故选C．

2．D 【解析】由数列通项可知，当，时，，当，

 时，，因为，∴都是

正数；当，同理也都是正数，所以正数的个

数是100.

3．【解析】通解  因为，所以当时，，解得；

当时，，解得；

当时，，解得；

当时，，解得；

当时，，解得；

当时，，解得．

所以．

优解  因为，所以当时，，解得，

当时，，所以，

所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，

所以．

4．【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，

解得，，

∴，所以，

所以．

5．【解析】当时，，所以，

因为，所以，即，

所以是以为首项，为公差的等差数列，

所以，所以．

6．【解析】由题意得：

所以．

7．【解析】当=1时，==，解得=1，

当≥2时，==－()=，即=，

∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=.

8．（1），（2）

【解析】(1)∵．

时，a1＋a2＋a3＝－a3－         ①

时，a1＋a2＋a3＋a4＝a4－，∴a1＋a2＋a3＝－.  ②

由①②知a3＝－．

(2)时，，∴

当n为奇数时，；

当n为偶数时，．

故，

∴

．

9．【解析】可证明：

 ．

10．3018【解析】因为的周期为4；由

∴，，…

∴．

11．【解析】(1)由是，的等差中项得，

所以，

解得．

由得，

因为，所以．

(2)设，数列前项和为．

由，解得．

由(1)可知，

所以，

故，，

．

设，，

所以，

因此，，

又，所以．

12．【解析】(1)设等比数列的公比为q．由可得．

因为，可得，故．

设等差数列的公差为d，由，可得由，

可得 从而 故 

所以数列的通项公式为，数列的通项公式为

(2)(i)由(1)，有，

故．

(ii)证明：因为

，

所以，

．

13．【解析】证明:（1）因为是等差数列，设其公差为，则，

从而，当时，

，

所以，

因此等差数列是“数列”.

（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，

当时，，①

当时，.②

由①知，，③

，④

将③④代入②，得，其中，

所以是等差数列，设其公差为.

在①中，取，则，所以，

在①中，取，则，所以，

所以数列是等差数列.

14．【解析】（Ⅰ）设的公差为，，

∴，∴，∴．

∴，，．

（Ⅱ）记的前项和为，则

．

当时，；

当时，；

当时，；

当时，．

∴．

15．【解析】（Ⅰ）当时，，因为，所以=3，

当时，，即，因为，所以=2，

所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，

所以=；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，

所以数列{}前n项和为

=

=.

16．【解析】（1）由题意知：

当时，；

当时，；

（2）当时，；

当时，由知

两式相减得， 此时．

经检验知也满足．故数列是以1为首项，为公比的公比数列，

故．

（3）由（1）（2）知，．

当时，

．

当时，，成立；

当时，

．

构造函数

，即

，则，

从而可得，，，，

将以上个式子同向相加即得

，

故

综上可知，．

17．【解析】（Ⅰ）

所以，

（Ⅱ）

（Ⅲ）

．

18．【解析】(Ⅰ) 

-

（Ⅱ）

上式错位相减：

．

19．【解析】（1）由

令，

当

①当时，

②当

（2）当时，（欲证）

，

当

综上所述