高中抛物线题型归纳最新版

必考点1： 抛物线的焦点及准线

1.平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．

图形

标准方程 y 2=2px （p ＞0） y 2=－2px （p ＞0） x 2=2py （p ＞0） x 2=－2py （p ＞0）

顶点 O （0，0） 范围 x≥0，y R ∈ x≤0，y R ∈

y≥0，x R ∈ y≤0，x R ∈

对称轴 x 轴

y 轴

焦点 ,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭

,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 0,2p F ⎛

⎫- ⎪⎝

⎭

离心率 e=1

准线方程 2

p

x =-

2

p x =

2

p y =-

2p y =

焦半径 0||2

p MF x =+

0||2

p

MF x =

- 0||2

p MF y =+

0||2

p

MF y =

-

例题1： （2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：2

2(0)

y px p =>交于D ，

E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ）

A ．1,04⎛⎫

⎪⎝⎭

B ．1

,02⎛⎫ ⎪⎝⎭

C ．(1,0)

D ．(2,0)

【解析】因为直线2x =与抛物线2

2(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4

DOx EOx π

∠=∠=

，所以()2,2D ，

代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2

，故选：B.

例题2： （2020·武威第六中学高三其他（理））已知抛物线()2

:,0C y mx m R m =∈≠过点()14P -,，则

抛物线C 的准线方程为______.

【解析】由题, ()2

414m m =⋅-⇒=,故2

2

1

:44

C y x x y =⇒=

.故抛物线C 的准线方程为116y =-.

【总结】求抛物线的焦点及准线方程的步骤：

(1)把抛物线解析式化为标准方程形式；(2)明确抛物线开口方向；

(3)求出抛物线标准方程中参数p 的值；(4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程．

必考点2： 抛物线的标准方程

例题3： （2020·全国高三课时练习（理））抛物线2

2(0)y px p =>焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线

上一点，且||4||MF OF =，MFO ∆ 的面积为43，则抛物线方程为（ ） A ．26y x = B ．28y x = C ．216y x = D ．2

15

2

y x =

例题4： 【解析】设),(11y x M ，则由OF MF 4=得2

421p

p x ⨯=+

，即p x 231=，则2213p y =，则

p y 31=，则3432

21=⨯⨯=∆p p

S OMF ，解得4=p ，即抛物线的方程为28y x =．

例题5： （2020·全国高三课时练习（理））已知抛物线2

2(0)y px p =>的焦点为F ，点P 为抛物线上的动

点，点M 为其准线上的动点，若FPM 为边长是6的等边三角形，则此抛物线的方程为________.

【解析】因为FPM 为等边三角形，所以PM PF =，由抛物线的定义可得PM 垂直于抛物线的准线，设

2(,

)2m P m p ，则点,2p M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为焦点,02p F ⎛⎫

⎪⎝⎭

，FPM 是等边三角形， 所以222

622

()622

m p

p p p m ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得2273m p ⎧=⎨

=⎩.因此抛物线方程为26y x =.故答案为：26y x = 抛物线定义的应用

例题6： （上海高考真题（文））抛物线

上的动点

到焦点的距离的最小值为1，则

. 【解析】设点点的坐标为，根据抛物线的定义，可得，

当

时，

取得最小值

，解得

.

例题7： （2017·全国高考真题（理））已知F 是抛物线C:2

8y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线

交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N =____________．

【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点'F ，作MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线

'

32

AN FF BM +=

=，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．

【总结】

1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．

2.抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用．

3.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．

(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解． (2)将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决． 提醒：利用抛物线定义进行距离转化的同时，要注意平面几何知识在其中的重大运用．

必考点3： 抛物线的实际应用

例题8： （2020·全国高一课时练习）如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.

【解析】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为2x my =，将A （2，-2）代入2

x my =，得m=-2， ∴2

2x y =-，代入B ()0,3x -得06x =，故水面宽为26米，故答案为26米．

例题9： 如图(1)所示，花坛水池有一喷泉，水管O ′P ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，P 距抛物线的对称轴1 m ，则水池的直径至少应设计多少米？(精确到1 m)

图(1) 图(2)

【分析】图(2)是图(1)中位于直线O ′P 右边的部分，故O ′B 为水池的半径，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴建立平面直角坐标系，则易得P 点坐标，再由P 在抛物线上求出抛物线方程，再由B 点纵坐标求出B 点的横坐标即可获解．

【解析】如图(2)所示，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)． 依题意有P (－1，－1)在此抛物线上，代入得p ＝1

2．故抛物线方程为x 2＝－y ．

又B 在抛物线上，将B (x ，－2)代入抛物线方程得x ＝2，即|AB |＝2，则|O ′B |

＝|O ′A |＋|AB |＝2＋1， 因此所求水池的直径为2(1＋2)m ，约为5 m ，即水池的直径至少应设计为5 m ．

【总结】抛物线的实际应用问题，关键是建立坐标系，将题目中的已知条件转化为抛物线上点的坐标，从而求得抛物线方程，再把待求问题转化为抛物线的几何量讨论．

必考点4： 抛物线的对称性

例题10： （2019·天山 实验高二开学考试）已知抛物线的方程为2

2(0)y px p =>， O 为坐标原点，

A ，

B 为抛物线上的点，若OAB 为等边三角形，且面积为483，则p 的值为__________．

【解析】设11(,)B x y ，22(,)A x y ，∵||||OA OB =，∴2222

1122x y x y +=+．

又2112y px =，2222y px =，∴22

21212()0x x p x x -+-=，即2112()(2)0x x x x p -++=．

又1x 、2x 与p 同号，∴1220x x p +=≠．∴210x x -=，即12x x =． 根据抛物线对称性可知点B ，A 关于x 轴对称， 由OAB 为等边三角形，不妨设直线OB 的方程为3

y x =

， 由23

32y x y px ⎧=

⎪⎨⎪=⎩

，解得(6,23)B p p ，∴22(6)(23)43OB p p p =+=． ∵OAB 的面积为483，∴23(43)483p =，解得2

4p =，∴2p =．

例题11： 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形边长.

【解析】设正三角形OAB 顶点A 、B 在抛物线上，且它们坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)则：y 21＝2px 1，

y 2

2＝2px 2．

又|OA |＝|OB |，∴x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即x 21－x 2

2＋2px 1－2px 2＝0，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0．

∵x 1>0，x 2>0,2p >0，∴x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|，

即线段AB 关于x 轴对称．由于AB 垂直于x 轴，且∠AOx ＝30°． ∴y 1x 1＝tan30°＝33，而y 21＝2px 1，∴ y 1＝23p ．于是|AB |＝2y 1＝43p ． 【总结】

1.为了简化解题过程，有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标，有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论．

2．不能把抛物线看作是双曲线的一支．虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴，但抛物线却越来越接近于对称轴的平行线．

必考点5： 抛物线的焦点弦

1.通径

过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为__2

p __． 2．焦半径

抛物线上一点与焦点F 连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A (x 0，y 0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为

标准方程

y 2＝2px

(p >0)

y 2＝－2px

(p >0)

x 2＝2py

(p >0)

x 2＝－2py

(p >0)

焦半径|AF |

|AF |＝__x 0＋p

2__

|AF |＝__p

2－x 0__

|AF |＝__y 0＋p

2__

|AF |＝__p

2－y 0__

3．焦点弦问题

如图所示：AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，抛物线的准线为l ．

(1)以AB 为直径的圆必与准线l __相切__； (2)|AB |＝2(x 0＋p

2)＝x 1＋x 2＋__p __；

(3)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝p 2

4，y 1·y 2＝－p 2．

例题12： （2020·3C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．

【解析】∵抛物线的方程为2

4y x ，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，

又∵直线AB 过焦点F 且斜率为3，∴直线AB

的方程为：3(1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x =

= ，所以212116||1||13|3|33

AB k x x =+-=+⋅-=

解法二：100360∆=-=>，设1122(,),(,)A x y B x y ，则1210

3

x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.

12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216

+2=3x x =+

例题13： （2020·全国高三其他（文））已知抛物线()2

:20E y px p =>恰好经过等腰梯形ABCD 的四个顶

点，//AB DC ，AD 的延长线与抛物线E 的准线的交点1,02M ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

. （1）求抛物线E 的方程；

（2）证明：BD 经过抛物线E 的焦点. 【解析】（1）根据题意，1,02M ⎛⎫

-

⎪⎝⎭

为抛物线E 的准线上的点，所以122p =，即1p =，

所以抛物线E 的方程为2

2y x =.

（2）抛物线E 的焦点为1,02⎛⎫

⎪⎝⎭

，设()11,A x y ，()11,B x y -，()22,D x y ， 设直线AD 的方程为12y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，联立方程组2122y k x y x

⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝

⎭⎨⎪=⎩

，得()2

222

204k k x k x +-+=， 则121

4x x =

，且120x x <<，所以1212

x x <<， 设BD 与x 轴的交点坐标为()(),00n n >，直线BD 的方程为()1

1y y x n x n

-=

--，

与方程2

2y x =联立得

()

()()2

2222

12

2

111121

220y y n y n x x x n x n x n ⎡⎤-++=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦

， 则()()

212

12

1

212

2

2

1y n x n x x n y x n -==-，即214n =

，解得12n =，即BD 经过点1,02⎛⎫

⎪⎝⎭

，所以BD 经过抛物线E 焦点.

【总结】

解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．

必考点6： 抛物线的最值问题

例题14： （2019·河南高考模拟（理））已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上的两个动点，以AB 为直径的圆

C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线C

D ，垂足为D ，则||CD 的

最大值为（ ） A.2

D.

12

【解析】根据题意，2

22AB ππ⎛⎫= ⎪

⎝⎭

，∴

AB =设||||AF a BF b ==，

，过点A 作AQ l ⊥于Q ，过点B 作BP l ⊥于P ， 由抛物线定义，得AF AQ BF BP ==，在梯形ABPQ 中，∴2CD AQ BP a b =+=+， 由勾股定理得，228a b =+，

∵2

22

2282244a b a b ab CD ab ++++⎛⎫==== ⎪⎝⎭

2222424ab a b +++=， 所以2CD ≤（当且仅当a b =时，等号成立）.

例题15： （2019·贵州高三开学考试（文））已知抛物线2

4,y x =上一点P 到准线的距离为1d ，到直线

l :43110x y -+=为2d ，则12d d +的最小值为（ ）

A.3

B.4

【解析】抛物线上的点P 到准线的距离等于到焦点F 的距离，

所以过焦点F 作直线43110x y -+=的垂线，则该点到直线的距离为12d d +最小值，如图所示；

由(1,0)F ，直线43110x y -+=，所以122

2

4011343

d d -++==+，故选：A.

【总结】

1.求抛物线最值的常见题型是求抛物线上一点到定点距离的最值、求抛物线上一点到定直线距离的最值，解有关抛物线的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与准线的距离的转化，数形结合，利用几何意决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，用目标函数最值的求法解决．

2. 常见题型及处理方法：

(1)求抛物线上一点到定直线的最小距离．可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离，再利用函数求最值的方法求解，亦可转化为抛物线的切线与定直线平行时两直线间的距离问题．

(2)求抛物线上一点到定点的最值问题．可以利用两点间的距离公式表示出所求距离，再利用函数求最值的方法求解，要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围．

(3)方法：设P (x 0，y 0)是抛物线y 2

＝2px (p >0)上一点，则x 0＝y 202p ，即P (y 20

2p ，y 0)．由两点间距离公式，点到直线的距离公式表示出所求距离，再用函数求最值的方法求解．

(4)此类问题应注意抛物线几何性质的应用，尤其范围的应用．如：y 2＝2px (p >0)，则x ≥0，y 2≥0．

必考点7： 与抛物线有关的综合问题

例题16： （2020·河北桃城�衡水中学高三其他（理））已知圆22

1x y +=与抛物线()2

20y px p =>交于A ，

B 两点，与抛物线的准线交于

C ，

D 两点，且坐标原点O 是AC 的中点，则p 的值等于_________________. 【解析】因为抛物线的准线方程为2p x =-

，所以由对称性得点,2p A p ⎛⎫

± ⎪⎝⎭

，

代入圆的方程得()2

212p p ⎛

⎫+±= ⎪⎝⎭

，解得25p =.

例题17： （湖南高考真题）过抛物线2

2(0)x py p =＞的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于,A B 两点，

,A B 在x 轴上的正射影分别为,D C ．若梯形ABCD 的面积为122，则p = ．

【解析】依题意知，焦点(0,

)2

p F ，则过抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点且斜率为1的直线方程为2p

y x =+.

设11(,)A x y 、22(,)B x y .则易知1(,0)D x 、2(,0)C x ，所以21DC x x =-.又易知10y >，20y >.所以

112p AD y x ==+

、222

p

BC y x ==+.所以梯形ABCD 的面积12212222p p

x x AD BC S DC x x +++

+=⋅=⋅-2122112()41222

x x p x x x x ++=+-=联立2222{202

x py

x px p p y x =⇒--==+

，

所以122x x p +=，212x x p =-.代入S 中，可得2

312p =，又0p >，所以2p =.

1．（2020·浙江鄞州 宁波华茂外国语学校高三一模）设抛物线2

2y px =(0p >)的焦点为F ，若F 到直线

3y x =3p 为（ ）

A ．2

B ．4

C ．23

D ．3【解析】依题意得，(

,0)2

p

F ， 因为F 到直线3y x =3|3|

2331

p =+||4p =，

因为0p >，所以4p =.故选：B.

2.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线21:4C y x =和圆22

2:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，

自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为（ ）

A ．

1

4

B ．

12

C ．1

D ．2

【解析】因为抛物线2

1:4C y x =的焦点为(1,0)F ，

又直线l 经过1C 的焦点F ，设直线:(1)l y k x =-，由24(1)

y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222

(24)0k x k x k -++=，

设1122(,),(,)A x y B x y ，则121=x x

由题意可得：1111=-=+-=AB AF BF x x ，同理2=CD x ， 所以12cos01︒

⋅=⋅⋅==AB CD AB CD x x .故选C

3．（2020·湖北武汉 高三其他（文））已知抛物线C ：()2

20y px p =>的准线l 平分圆M ：

()()

22

234x y +++=的周长，则p =（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．6

【解析】抛物线C ：()2

20y px p =>的准线l 的方程为2

p

x =-， 圆M ：()()2

2

234x y +++=的圆心(2,3)M --，

因为抛物线C ：()2

20y px p =>的准线l 平分圆M ：()()2

2

234x y +++=的周长，

所以准线l 过圆心(2,3)M --，所以22

p

-=-，解得4p =，故选：C

4．（2020·安徽黄山 高三二模（文））已知双曲线22

2(0)x ky k k -=>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点

重合，则该双曲线的离心率是（ ） A

B ．2

C

D

【解析】由抛物线2

8y x =的焦点坐标(2,0)，双曲线2

2

2(0)x ky k k -=>，

得22

122

x y k -=，则2222k +=，得1k =，故焦距24c =

，实轴长2a =

，则离心率c e a ==

5．（2019·宁波市第四中学高二期中）设抛物线212y x =的焦点为F ，点P 在此抛物线上且横坐标为5，则||PF 等于（ ）．

A ．4

B ．6

C ．8

D ．10

【解析】因为抛物线方程212y x =，所以6P =，由抛物线的定义可得：6

||5822

P P PF x =+

=+=．故选C ． 6．（2020·黑龙江南岔 伊春二中高二月考（理））抛物线y ＝2x 2上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－

1

2

，则m 等于( ) A ．

32 B ．2 C ．52

D ．3

【解析】∵A,B 两点关于直线y ＝x ＋m 对称，∴可设直线AB 的方程为y ＝－x ＋b ， 由2

2y x b y x

⎧⎨

⎩＝－＋＝消去y 整理得2x 2

＋x －b ＝0，∵直线AB 与抛物线交于两点，∴Δ＝1＋8b ＞0，解得18b >-． 又由题意得12121,22b x x x x +=-=-，∵121

2

x x =-，∴b ＝1，满足题意． 设A ，B 的中点为P (x 0，y 0)，则1

20124x x x +==-，∴0015

1144

y x =-+=+=， 又点15(,)44-在直线y ＝x ＋m 上，∴5144m =-+，解得3

2

m =．

7．（2018·北京高考真题（文））已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线2

4y ax =截得的线段长

为4，则抛物线的焦点坐标为

_________.

【解析】由题意可得，点(1,2)P 在抛物线上，将(1,2)P 代入24y ax =中，解得：1a =，2

4y x ∴=， 由抛物线方程可得：24,2,

12

p

p p ===，∴ 焦点坐标为(1,0). 8．（2020·绍兴鲁迅中学高二期中）抛物线x 2＝y 的焦点F 的坐标为__________，若该抛物线上有一点P 满足|PF|＝

5

4

，且P 在第一象限，则点P 的坐标为___________. 【解析】抛物线的焦点F 的坐标为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭

，其准线方程为y ＝－1

4

， 设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，根据抛物线定义，得y 0＋14＝54

，∴y 0＝1，代入2

0=x y ， 由于x 0＞0，∴x 0＝1.

9．（2020·宝山 上海交大附中高三其他）抛物线2y

x 的准线方程为_______.

【解析】由抛物线的标准方程为x 2=y ，得抛物线是焦点在y 轴正半轴的抛物线，2p =1， ∴其准线方程是y=2

p -

，14y =-．

10．（2020·江苏泰州 高三三模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2

4y x =上一点P 到焦点F 的距离是它

到y 轴距离的3倍，则点P 的横坐标为_______．

【解析】设点P 的坐标为()00,x y ，则00x >，抛物线的准线方程为1x =-， 由于点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则0013x x +=，解得012

x =

.因此，点P 的横坐标为1

2.

11.（2018·全国高考真题（理））已知点()11M ，

-和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________． 【解析】设()()1122A ,,B ,x y x y 则211222

4{

4y x y x ==所以2

2

1

21244y y x x -=-，所以121212

4

k y y x x y y -=

=-+

取AB 中点()00M'x y ，,分别过点A,B 作准线x 1=-的垂线，垂足分别为A ,B'' 因为AMB 90∠︒=,

()()'111

MM '222

AB AF BF AA BB ∴=

=+=+'， 因为M’为AB 中点，所以MM’平行于x 轴 因为M(-1,1)，所以01y =，则122y y +=即k 2=

12．（2020·安徽相山 淮北一中高三月考（理））点A ，B 是抛物线2

:2(0)C y px p =>上的两点，F 是抛物

线C 的焦点，若120,AFB AB ︒

∠=中点D 到抛物线C 的准线的距离为d ，则22

||d AB 的最大值为_________.

【解析】设||AF a =，||BF b =，则||||||||222

AC BE AF BF a b

d +++=

==，

在三角形ABF 中，由余弦定理得222222cos AB a b ab AFB a b ab =+-∠=++， ∴22222()113

11||4()223d a b ab ab AB a b ab a b ab ab +=++=++++， 当且仅当a b =时取等号，所以22||d AB 的最大值为

1

3

.

13．（2017·浙江）抛物线2

y ax =的焦点为()0,1F ，P 为该抛物线上的动点，则a =________；线段FP 中

点M 的轨迹方程为________．

【解析】因为2

y ax =，所以2

1x y a =

，其焦点坐标是10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭

， 又因为抛物线2

y ax =的焦点为()0,1F ，所以

114a

=，解得1

4a =．

设点()00,P x y ， (),M x y ，所以2

0014

y x =

， 因为线段FP 中点为M ，所以00

2

12x x y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩

，解得00221x x y y =⎧⎨=-⎩，

代入2

0014

y x =，化简得2210x y -+=．所以线段FP 中点M 的轨迹方程是2210x y -+=.

14．（2020·山东聊城 高三二模）【多选题】已知抛物线2

:2C y px =过点(1,1)P 则下列结论正确的是( )

A ．点P 到抛物线焦点的距离为

32

B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则△OPQ 的面积为532

C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为210x y -+=

D ．过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M ，N 点则直线MN 的斜率为定值

【解析】因为抛物线2

:2C y px =过点(1,1)P ，所以12

p =

， 所以抛物线方程为：2y x =，焦点坐标为1,04F ⎛⎫

⎪⎝⎭

对于A ，15

144PF =+

=，故A 错误. 对于B ，43PF k =，所以41:()34PF l y x =-，与2y x =联立得：2

4310y y --=，

所以121231

,44y y y y +==-，

所以

12111522432

OPQ S OF y y =⋅-=⨯=，故B 正确.

对于C ，依题意斜率存在，设直线方程为1(x 1)y k -=-，与2y x =联立得：2

10ky y k -+-=，

()1410k k ∆=--=24410k k -+=，解得12

k =

， 所以切线方程为210x y -+=，故C 正确.

对于D ， 依题意斜率存在，设:PM l 1(x 1)y k -=-，与2y x =联立得：2

10ky y k -+-=，

所以11M y k +=，即11M y k =-，则2

11M x k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

，

所以点2111,1M k k ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理2111,1N k k ⎛⎫

⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，

所以22

112111421111MN

k k k k k k k ⎛⎫---- ⎪

⎝⎭===-⎛⎫⎛⎫-

---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，故D 正确.，故选：BCD 15．（2020·琼山 海南中学高三月考）【多选题】已知抛物线2

:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的

直线与抛物线交于两点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则 （ ） A ．若126x x +=，则

8PQ =

B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切

C ．设()0,1M

，则1PM PP +≥D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条 【解析】对于选项A,因为2p =,所以122x x PQ ++=,则

8PQ =,故A 正确；

对于选项B,设N 为PQ 中点,设点N 在l 上的射影为1N ,点Q 在l 上的射影为1Q ,则由梯形性质可得

11

1222

PP QQ PF QF PQ NN ++=

==

,故B 正确； 对于选项C,因为()1,0F ,

所以1PM PP PM PF MF +=+≥=

故C 正确； 对于选项D,显然直线0x =,1y =与抛物线只有一个公共点,设过M 的直线为1y kx =+, 联立2

14y kx y x

=+⎧⎨

=⎩,可得()22

2410k x k x +-+=,令0∆=,则1k =,所以直线1y x =+与抛物线也只有一个公共点,此时有三条直线符合题意,故D 错误；故选：ABC 16．（2020·山东高三零模）【多选题】设A ，B 是抛物线2y x 上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的

是（ ）

A ．若OA O

B ⊥，则2OA OB ≥ B ．若OA OB ⊥，直线AB 过定点(1,0)

C ．若OA OB ⊥，O 到直线AB 的距离不大于1

D ．若直线AB 过抛物线的焦点F ，且1

3

AF =

，则||1BF =

【解析】B.设直线AB 方程为y kx b =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 将直线AB 方程代入抛物线方程2y

x ，得20x kx b --=，则12x x k +=，12x x b =-，

OA OB ⊥，1OA OB k k b ∴=-=-，1b =．

于是直线AB 方程为1y kx =+，该直线过定点(0,1)．故B 不正确； C.O 到直线AB

的距离1d =

，即C 正确；

A.||||OA OB =

=．||||2OA OB ∴

正确； D.由题得11111,4312y y +

=∴=,

所以211==12x x ∴±

，

x =.

所以113k -

==-，所以直线AB

的方程为134

y x =-+，所以14b =.

212121211111||()2244222AB y y y y k x x b k b =+++=++=+++=++=1114

++=3223.

所以41

||133

BF =-=.所以D 正确.故选：ACD ．