圆锥曲线小题强化突破(中档题较难题)

1.已知1F 、2F 分别是双曲线()22

2210,0y x a b a b

-=>>的上、下焦点，过点2F 的直线与双

曲线的上支交于点P ，若过原点O 作直线2PF 的垂线，垂足为M ，OM a =，

23PM

F M

=，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. 53

y x =± B. 35

y x =±

C. 43

y x =±

D. 4

3y x =±

34

y x

2.已知双曲线()22

2

2:10,0x y C a b a b

-=>>的右焦点为F ，关于原点对称的两点A 、B 分别在双曲线的左、右两支上，0AF FB ⋅=，3BF FC =且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A. 2

B.

10

2

C.

3

D. 2

3．如图，双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心，12F F 为

半径的圆与两条渐近线交于A ，B ，C ，D 四点，90ACB ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）

A ．2

B ．

52

C 5

D ．3

4．斜线段AB 与平面α所成的角为15︒，点B 在平面α内，平面α内的动点P 满足15PAB ∠=︒，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线的一支

5.第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD （如图），且两切线斜率之积等于9

16

-

，则椭圆的离心率为（ ）

A. 34

B.

7 C.

916

D.

3

6.已知24y x =抛物线，焦点记为F ，过点F 作直线l 交抛物线于,A B 两点，则2AF BF

-的最小值为（ ） A ．222

B ．

56

C ．3322

-

D ．32

二、多项选择题：

7.已知12,F F 是双曲线()22

22:10,0x y E a b a b

-=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为3π的直

线分别交y 轴与双曲线右支于点,M P ，1PM MF =，下列判断正确的是（ ）

A. 216

PF F π

∠=

B. 211

2

MF PF =

C. E 的离心率等于23+

D. E 的渐近线方程为2y x =±

8.设A ，B 是抛物线2y

x 上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的是（ ）

A. 若OA OB ⊥，则2OA OB ≥

B. 若OA OB ⊥，直线AB 过定点(1,0)

C. 若OA OB ⊥，O 到直线AB 的距离不大于1

D. 若直线AB 过抛物线的焦点F ，且1

3

AF =，则||1BF =

三、填空题：

9.已知点M 在圆2

2

(6)(4)1x y -+-=上，点P 在椭圆22

12516

x y +

=上，(3,0)F -，则PM PF -的最小值为__________．

10.抛物线2:4C y x =的焦点为F ，动点P 在抛物线C 上，点()1,0PF A PA

-，当

取得最小

值时，直线AP 的方程为__________． 11．已知,A B 为抛物线2:4C x y =上两点，2()1,M -，AM MB =，则直线AB 方程为_______．

12．数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为r 的小圆在一个半径为4r 的大圆内部，沿着圆的圆周滚动，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线．如图，已知星形线C 的方程为222

333x y a +=，周长为6a ，有如下结论：

①曲线:||||D x y a +=的周长大于星形线的周长； ②曲线C 上任意两点距离的最大值为2a ； ③曲线C 与圆2

2

2

4

a x y +=有且仅有4个公共点； ④从曲线C 上任一点作x ，y 轴的垂线，

垂线与x ，y 轴所围成图形的面积最大值为2

4

a ．

其中所有正确结论的序号是________．

圆锥曲线小题强化突破

1.已知1F 、2F 分别是双曲线()22

2210,0y x a b a b

-=>>的上、下焦点，过点2F 的直线与双

曲线的上支交于点P ，若过原点O 作直线2PF 的垂线，垂足为M ，OM a =，

23PM

F M

=，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. 53

y x =±

B. 35

y x =±

C. 43

y x =±

D. 4

3y x =±

34

y x 【答案】D

【解析】由题意，在直角2OMF ∆中，可得2F M b =

=，所以

21cos b

PF F c

∠=

， 又因为

23PM F M

=，所以3PM b =，所以24PF b =，且142PF b a =-，

在12PF F ∆中，由余弦定理可得

2

2

2

212121212cos 2PF F F PF b PF F c PF F F +-∠==⨯⨯()()()222

4242242b c b a b c

+--=⨯⨯， 代入222+=a b c ，解得

3

4

a b =， 所以双曲线的渐近线方程为43y

x =±34

y x . 故选：D .

2.已知双曲线()22

2

2:10,0x y C a b a b

-=>>的右焦点为F ，关于原点对称的两点A 、B 分别在双曲线的左、右两支上，0AF FB ⋅=，3BF FC =且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）

A.

B.

2

C.

D. 2

【答案】B

【解析】由点A 、B 关于原点对称，设(),B x y ，则(),A x y --

(),0F c ，设(),C m n ，

3BF FC =，()43333m c x c x m c n y y n =-⎧-=-⎧∴⇒⎨

⎨=--=⎩⎩

，即()43,3C c x y -- 0AF FB ⋅=，利用向量数量积公式得：()(),,0c x y c x y +⋅--=，即222

c x y =+①

又点C 、B 均在双曲线上，

22221x y a b ∴-=②，()()2

2

22

4331c x y a b ---=③

由①②③可得：2223a c +=

两边同时除以2a 可得：212e +=

两边同时平方得；()

()

2

2

212921e e +=-，即()()4222

27502510e e e e -+=⇒--=

又双曲线的离心率1e >，则2

52e =，即51022

e ==， 故选：B.

3．如图，双曲线22

22

:

1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心，12F F 为半径的圆与两条渐近线交于A ，B ，C ，D 四点，90ACB ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）

A ．2

B ．

5

2

C ．5

D ．3

【答案】C

【解析】如图，连接AB

因为90ACB ∠=︒，故AB 为2F 的直径，故A ，2F ，B 三点共线且12AB F F ⊥. 又2122BF F F c ==，2OF c =，故22

2OB

BF b k a OF ===，故2

15b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭

.故选C.

4．斜线段AB 与平面α所成的角为15︒，点B 在平面α内，平面α内的动点P 满足15PAB ∠=︒，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线的一支 【答案】C 【解析】

当P 点运动时，在空间中，满足条件的AP 绕AB 旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成15角的平面截圆锥，所得图形为抛物线， 故选：C.

5.第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD （如图），且两切线斜率之积等于9

16

-

，则椭圆的离心率为（ ）

A.

34

B.

7 C.

916

D.

3 【答案】B

【解析】若内层椭圆方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>，由离心率相同，可设外层椭圆方程为

22

22

1(1)()()x y m ma mb +=>， ∴(,0),(0,)A ma B mb -，设切线AC 为1()y k x ma =+，切线BD 为2y k x mb =+，

∴1222

2()1y k x ma x y a

b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22223224222

111()20a k b x ma k x m a k a b +++-=，由0∆=知：

32222224222111(2)4()()0ma k a k b m a k a b -+-=，整理得22

12211

b k a m =⋅-，

同理，222221

y k x mb x y

a

b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得22222(1)b k m a =⋅-， ∴42

21249()()16b k k a ==-，即22916b a =，故222

7

4

c a b e a a -===. 故选：B.

6.已知2

4y x =抛物线，焦点记为F ，过点F 作直线l 交抛物线于,A B 两点，则2

AF BF

-

的最小值为（ ） A ．222 B ．

56

C ．3322

-

D ．32

【答案】A

【解析】因为()1,0F ，设直线():1AB y k x =-，代入2

4y x =可得

()

2222240k x k x k -++=，

设

()()1122,,,A x y B x y ，则

121x x =，由抛物线的定义可得

1212222

111

x x AF x BF x x +-

=+-=++， 则2AF BF -＝2

22

222

2

211111

x x x x x +=-+++，令21x t -=，则21x t =+， 所以221122

AF t BF t t -=+++＝11

11

1122222t t

≥

+++++＝(

)

221=-，故选：A ．

二、多项选择题：

6.已知12,F F 是双曲线()22

22:10,0x y E a b a b

-=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为3π的直

线分别交y 轴与双曲线右支于点,M P ，1PM MF =，下列判断正确的是（ ）

A. 216

PF F π

∠=

B. 211

2

MF PF =

C. E 的离心率等于23+

D. E 的渐近线方程为2y x =±

【答案】BC 【解析】

1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，2//OM PF ∴，

12OM F F ⊥，212PF F F ∴⊥，212

PF F π∴∠=，211

2MF PF =，A 错误，B 正确；

由212PF F F ⊥知：2

2b PF a

=，又122F F c =，123PF F π∠=，

2

23b c a

∴=，即2223c a ac -=，22310e e ∴--=，解得：32e =，C 正确； 23c e a ==+，(22

223c a ∴=+，

(22223b c a a ∴=-=+，3b a

∴=+， E ∴的渐近线方程为3y x =+，D 错误. 故选：BC.

7.设A ，B 是抛物线2y x 上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的是（ ）

A. 若OA OB ⊥，则2OA OB ≥

B. 若OA OB ⊥，直线AB 过定点(1,0)

C. 若OA OB ⊥，O 到直线AB 的距离不大于1

D. 若直线AB 过抛物线的焦点F ，且1

3

AF =

，则||1BF =

【答案】ACD

【解析】B.设直线AB 方程为y kx b =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 将直线AB 方程代入抛物线方程2y x ，得20x kx b --=，

则12x x k +=，12x x b =-，

OA OB ⊥，1OA OB k k b ∴=-=-，1b =．

于是直线AB 方程为1y kx =+，该直线过定点(0,1)．故B 不正确；

C.O 到直线AB 的距离2

111d k

=

+，即C 正确；

A.22222424221122112212||||()()()()(1)(1)OA OB x y x y x x x x x x =++=++=++ 222222212121212124()x x x x x x x x =+++=++=++．||||2OA OB ∴

正确； D.由题得11111,4312y y +=∴=,所以2113==126x x ∴±

，不妨取3

6x =. 所以113124336

k -

==-，所以直线AB 的方程为3134

y x =-+，所以14b =.

由题得2

12121211111||()2244222

AB y y y y k x x b k b =+++=++=+++=++

=1114++=3223

.

三、填空题：

9.已知点M 在圆2

2

(6)(4)1x y -+-=上，点P 在椭圆22

12516

x y +

=上，(3,0)F -，则PM PF -的最小值为__________． 【答案】6-

【解析】根据题意，当,,P C F '三点共线时PM PF -.

()1211115116PM PF PC a PF PC PF CF -==---=+'''-≥-=-=-

10.抛物线2:4C y x =的焦点为F ，动点P 在抛物线C 上，点()1,0PF A PA

-，当取得最小

值时，直线AP 的方程为__________．

【答案】1

0x y ++＝或10x y -+＝， 【解析】设P 点的坐标为244t t ，

2

2224241161681PF t t t t +++＝（﹣）＝

2

22242411616241PA t t t t ＝（）＝++++

2

4224242221681161611116241162411624

PF t t t PA t t t t t t

⎛⎫++∴==-=-≥ ⎪ ⎪++++⎝⎭++ 2216163

11,

4051

21624

t t

-=-=⋅+ 当且仅当2

2116t t ＝，即12

t ＝±时取等号，此时点P 坐标为()1,2或()1,2-，

此时直线AP 的方程为1y x ±+＝（），即10x y ＝++或10x y -+＝， 故答案为：1

0x y ＝++或10x y -+＝

11．已知,A B 为抛物线2:4C x y =上两点，2()1,M -，AM MB =，则直线AB 方程为_______． 【答案】230x y +-=

【解析】设()()1122,,,A x y B x y 又(

)1,2M -，因为AM MB =，所以1212

2

4x x y y +=-⎧⎨+=⎩， 又2211224,4x y x y ==，则2

21

21244x x y y -=-，得12

1212

442y y x x x x -+=

=--

则直线AB 的斜率为1

2k =-，故直线AB 的方程为()1212

y x -=-+，

化简为230x y +-=．

联立24230

x y x y ⎧=⎨+-=⎩，可得2260x x +-=

280∆=>，直线与抛物线有两个交点，成立 故答案为：230x y +-=．

12．数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为r 的小圆在一个半径为4r 的大圆内部，沿着圆的圆周滚动，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线．如图，已知星形

线C 的方程为222

333x y a +=，周长为6a ，有如下结论：

①曲线:||||D x y a +=的周长大于星形线的周长； ②曲线C 上任意两点距离的最大值为2a ； ③曲线C 与圆2

2

2

4

a x y +=有且仅有4个公共点； ④从曲线C 上任一点作x ，y 轴的垂线，

垂线与x ，y 轴所围成图形的面积最大值为24

a ． 其中所有正确结论的序号是________．

【答案】②③

【解析】曲线:||||D x y a +=的周长为6a <，所以①错误；

曲线C 上左右两端点(,0)a -，(,0)a 或上下两端点(0,)a ，(0,)a -距离最远，等于2a ，②正确；

曲线C 上一点到原点的最短距离为12a ，此类点共有4个，故曲线C 与圆222

4

a x y +=有且仅

有4个公共点，③正确；

不妨设点(),P x y 为第一象限上的点则22211333332x y a x y +=≥=⋅，2

8

a xy ∴≤，

④错误． 故答案为：②③