全国卷文科数学模拟试题一

第Ⅰ卷

一选择题：本题共12题，每小题5分，共60.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的.

1．不等式的解集是().

    A．B．∪C．D．∪

2．向量a=(1,2)，b=(x,1)，c=a+b，d=a-b，若c//d，则实数x的值等于().

A．B．C．D．

3．已知下列命题(其中为直线，为平面)：

①若一条直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；

②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；

③若，，则；

④若，则过有唯一与垂直.

上述四个命题中，真命题是().

    A．①，②B．②，③C．②，④D．③，④

4.在的展开中，的系数是（）

ABCD

5.设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝（）

A．    B．C．    D．

6.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）

A．B．C．D．

7．设复数，则的展开式（按升幂排列）的第5项是().

    A．B．C．D．

8.设动点A,B（不重合）在椭圆上，椭圆的中心为O，且，

则O到弦AB的距离OH等于().

A．B．C．．

9.函数的一条对称轴方程是,则直线的倾斜角为()

    A.    B.    C.    D.

10.已知函数则下列结论正确的是

A．B．

C．函数在上单调递增D．函数的值域是

11.射击比赛中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互，则该同学通过测试的概率为

    （A）0.8    （B）0.432        （C）0.36        （D）0.312

12．如图，P是正方体ABCD—A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若△PBD的面积为f(x)，则f(x)的图象大致是

本卷包括必考题和选考题两部分。第13第21必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23,24考生根据要求作答。

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）

13.已知等比数列满足，且，则当时，.       

14若实数满足则的最大值为      .

15.在半径为13的球面上有A,B,C三点，AB=6，BC=8，CA=10，则

球心到平面ABC的距离为         ；

16.椭圆的焦点在轴上，则该椭圆的离心率取值范围为         

三．解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)．

17．（本小题满分12分）

已知函数（）的图象在轴右侧的第一个最高点为

，与轴在原点右侧的第一个交点为.

(1)求函数的解析式；

(2)函数的图象是由的图象通过怎样的变换而得到的？

18．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：

(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；

(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．

19.（本小题满分12分）

如图,在三棱柱中，侧棱底面,为的中点,

,.

（1）求证：平面；

(2)求四棱锥的体积.

20．（本小题满分12分）

已知函数的图象为曲线E.

(1)若曲线E上存在点P，使曲线E在P点处的切线与x轴平行，求a,b的关系；

(2)说明函数可以在和时取得极值，并求此时a,b的值；

(3)在满足(2)的条件下，在恒成立，求c的取值范围.

21.已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点且斜率不为的直线交椭圆于A，B两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

（本小题满分10）请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分

如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC＝CB.

(1)求证：直线AB是⊙O的切线；

(2)若AD＝2，且tan∠ACD＝，求⊙O的半径r的长．

23．选修4-2：极坐标参数方程选讲（本小题满分10分）

过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，

23.坐标系与参数方程（本小题满分10分）

已知曲线，直线（为参数）

（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；

（2）过曲线上任意一点作与夹角为30°的直线，交于点，求的最大值与最小值.

24.选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）

若，且.

(Ⅰ)求的最小值；

（Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由.

全国卷文科数学模拟试题一参

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1-5DADDA6-10DACBD11-12AA

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.14.715.1216.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.

17．解：(1)根据题意，可知，即.

于是.将点代入，得

即.满足的最小正数.从而所求的函数解析式是.

(2)略.

18.解　(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用频率估计相应的概率为0.44.

(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为

∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1.

同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，

P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B1)＜P(B2)，∴乙应选择L2.

19.（1）证明:连接,设与相交于点,连接,

∵四边形是平行四边形,∴点为的中点.

∵为的中点，∴为△的中位线,

∴.∵平面,平面,∴平面.

(2)∵平面,平面,

∴平面平面，且平面平面.

作，垂足为，则平面，

∵，

在Rt△中，，

∴四棱锥的体积

.

∴四棱锥的体积为.

20．解：(1)根据题意，有解，

∴即.(2)若函数可以在和时取得极值，

则有两个解和，且满足.

易得.(3)由(2)，得.

根据题意，()恒成立.…

∵函数（）在时有极大值（用求导的方法），

且在端点处的值为.

∴函数（）的最大值为.所以.

21（1）解：由，得.依题意△是等腰直角三角形，从而，故.所以椭圆的方程是.

（2）解：设，直线的方程为.

将直线的方程与椭圆的方程联立，

消去得.所以，.若平分，则直线，的倾斜角互补，

所以.设，则有.

将，代入上式，整理得，

所以.将，代入上式，

整理得.由于上式对任意实数都成立，所以.

综上，存在定点，使平分.

22解：(1)证明：∵AB∥DE，∴＝，

又OD＝OE，∴OA＝OB.

如图，连接OC，∵AC＝CB，∴OC⊥AB.

又点C在⊙O上，∴直线AB是⊙O的切线．

(2)如图，延长DO交⊙O于点F，连接FC.

由(1)知AB是⊙O的切线，∴弦切角∠ACD＝∠F，

∴△ACD∽△AFC.

∴tan∠ACD＝tan∠F＝，又∠DCF＝90°，∴＝.

∴＝＝，而AD＝2，得AC＝4.

又AC2＝AD·AF，∴2·(2＋2r)＝42，于是r＝3.

    23.（1）曲线的参数方程为（为参数）

直线的普通方程为

（2）曲线上任意一点到的距离为

则，其中为锐角，且

当时，取得最大值，最大值为

当时，取得最小值，最小值为

24(Ⅰ)由，得，且当时等号成立，

故，且当时等号成立，

∴的最小值为.

（Ⅱ）由，得，又由(Ⅰ)知，二者矛盾，

所以不存在，使得成立.