2017年高考数学分类汇编导数大题试题与答案解析精校电子版

（1）求a；

（2）证明：存在唯一的极大值点，且.

（1）的定义域为

设，则等价于

因为

若a=1，则.当0＜x＜1时，单调递减；当x＞1时，＞0，单调递增.所以x=1是的极小值点，故

综上，a=1

（2）由（1）知

设

当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增

又，所以在有唯一零点x0，在有唯一零点1，且当时，；当时，，当时，.

因为，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点

由

由得

因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由得

所以

（2017海南文）设函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，，求的取值范围.

（1）f ’(x)=(1-2x-x2)ex

令f’(x)=0得x=-1- ，x=-1+

当x∈（-∞，-1-）时，f’(x)<0；当x∈（-1-，-1+）时，f’(x)>0；当x∈（-1-，+∞）时，f’(x)<0

所以f(x)在（-∞，-1-），（-1+，+∞）单调递减，在（-1-，-1+）单调递增

(2) f (x)=(1+x)（1-x）ex

当a≥1时，设函数h(x)=（1-x）ex，h’(x)= -xex＜0（x＞0），因此h(x)在[0，+∞)单调递减，而h(0)=1，

故h(x)≤1，所以

f(x)=（x+1）h(x)≤x+1≤ax+1

当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex-x-1，g’（x）=ex-1＞0（x＞0），所以g（x）在在[0，+∞)单调递增，而g(0)=0，故ex≥x+1

当0＜x＜1，，，取

则

当 

综上，a的取值范围[1，+∞） 

（2017江苏）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点。（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）

（1）求 关于 的函数关系式，并写出定义域；

（2）证明：

（3）若， 这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围。

解：本小题主要考查利用导数研究初等函数的单调性、极值及零点问题, 考查综合运用数学思 想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16 分.

解：（1）由，得.

当时，有极小值.

因为的极值点是的零点.

所以，又，故.

因为有极值，故有实根，从而，即.

时，，故在R上是增函数，没有极值；

时，有两个相异的实根，.

列表如下

从而，

因此，定义域为.

（2）由（1）知，.

设，则.

当时，，从而在上单调递增.

因为，所以，故，即.

因此.

（3）由（1）知，的极值点是，且，.

从而

记，所有极值之和为，

因为的极值为，所以，.

因为，于是在上单调递减.

因为，于是，故.

因此a的取值范围为.

（2017山东理）已知函数，，其中是自然对数的底数.

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.

解：（Ⅰ）由题意

又，

所以，

因此  曲线在点处的切线方程为

，

即  .

（Ⅱ）由题意得 ，

因为

，

令

则

所以在上单调递增.

因为

所以 当时，

当时，

(1)当时，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以 当时取得极小值，极小值是 ；

(2)当时，

由 得 ，

①当时，，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

所以 当时取得极大值.

极大值为，

当时取到极小值，极小值是 ；

②当时，，

所以 当时，，函数在上单调递增，无极值；

③当时，

所以 当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以 当时取得极大值，极大值是；

当时取得极小值.

极小值是.

综上所述：

当时，在上单调递减，在上单调递增，

函数有极小值，极小值是；

当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，

极大值是

极小值是；

当时，函数在上单调递增，无极值；

当时，函数在和上单调递增，

在上单调递减，函数有极大值，也有极小值， 

极大值是；

极小值是.

（2017山东文）已知函数.

（1）当a=2时,求曲线在点处的切线方程；

（2）设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.

解：（Ⅰ）由题意，

所以，当时，，，

所以，

因此，曲线在点处的切线方程是，

即.

（Ⅱ）因为  ，

所以 

令  ,

则    ，

所以  h（x）在R上单调递增.

因为  h（0）=0.

所以  当x＞0时，h（x）＞0；

      当x＜0时，h（x）＜0.

（1）当时，，

当时，，，单调递增；

当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增.

所以，当时，取到极大值，极大值是，

当时，取到极小值，极小值是.

（2）当时，，

当时，，单调递增；

所以，在上单调递增，无极大值也无极小值.

（3）当时，，

当时，，，单调递增；

当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增.

所以，当时，取到极大值，极大值是；

当时，取到极小值，极小值是.

综上所述：

当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.

当时，函数在上单调递增，无极值；

当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.

（2017天津理）设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）设，函数，求证：；

（Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且 满足.

（Ⅰ）解：由，可得，

进而可得.令，解得，或.

当x变化时，的变化情况如下表：

（Ⅱ）证明：由，得，

.

令函数，则.由（Ⅰ）知，当时，，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.因此，当时，，可得.

令函数，则.由（Ⅰ）知，在上单调递增，故当时，，单调递增；当时，，单调递减.因此，当时，，可得.

所以，.

（III）证明：对于任意的正整数 ，，且，

令，函数.

由（II）知，当时，在区间内有零点；

当时，在区间内有零点.

所以在内至少有一个零点，不妨设为，则.

由（I）知在上单调递增，故，

于是.

因为当时，，故在上单调递增，

所以在区间上除外没有其他的零点，而，故.

又因为，，均为整数，所以是正整数，

从而.

所以.所以，只要取，就有.

（2017天津文）设，.已知函数，.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点处有相同的切线，

（i）求证：在处的导数等于0；

（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.

（I）由，可得

，

令，解得，或.由，得.

当变化时，，的变化情况如下表：

（II）（i）因为，由题意知，

所以，解得.

所以，在处的导数等于0.

（ii）因为，，由，可得.

又因为，，故为的极大值点，由（I）知.

另一方面，由于，故，

由（I）知在内单调递增，在内单调递减，

故当时，在上恒成立，从而在上恒成立.

由，得，.

令，，所以，

令，解得（舍去），或.

因为，，，故的值域为.

所以，的取值范围是.

（2017浙江）已知函数

（）求的导函数

（）求在区间上的取值范围

所以

=.

（Ⅱ）由

解得

或.

因为

所以f（x）在区间[）上的取值范围是.

（2017北京理）已知函数

（Ⅰ）求曲线在点（0，f（0））处的切线方程；

（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值.

解：（Ⅰ）因为，所以.

又因为，所以曲线在点处的切线方程为.

（Ⅱ）设，.

当时，，

所以在区间上单调递减.

所以对任意有，即.

所以函数在区间上单调递减.

因此在区间上的最大值为，最小值为.

（2017北京文）已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．

解：（Ⅰ）因为，所以.

又因为，所以曲线在点处的切线方程为.

（Ⅱ）设，.

当时，，

所以在区间上单调递减.

所以对任意有，即.

所以函数在区间上单调递减.

因此在区间上的最大值为，最小值为.

（2017新课标1理）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求a的取值范围.

解：（1）的定义域为，，

（ⅰ）若，则，所以在单调递减.

（ⅱ）若，则由得.

当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.

（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.

（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.

①当时，由于，故只有一个零点；

②当时，由于，即，故没有零点；

③当时，，即.

又，故在有一个零点.

设正整数满足，则.

由于，因此在有一个零点.

综上，的取值范围为

（2017新课标2理）已知函数且.

（1）求a；

（2）证明：存在唯一的极大值点，且.

（1）的定义域为

设，则等价于

因为

若a=1，则.当0＜x＜1时，单调递减；当x＞1时，＞0，单调递增.所以x=1是的极小值点，故

综上，a=1

（2）由（1）知

设

当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增

又，所以在有唯一零点x0，在有唯一零点1，且当时，；当时，，当时，.

因为，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点

由

由得

因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由得

所以

（2017新课标3理已知函数．

（1）若 ，求a的值；

（2）设m为整数，且对于任意正整数n，﹤m，求m的最小值．

解：（1）的定义域为.

若，因为，所以不满足题意；

若，由知，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故x=a是在的唯一最小值点.

由于，所以当且仅当a=1时，.

故a=1

（2）由（1）知当时，

令得，从而

故

而，所以m的最小值为3.

（2017新课标1文）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若，求a的取值范围．

（1）函数的定义域为，，

①若，则，在单调递增.

②若，则由得.

当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.

③若，则由得.

当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增.

（2）①若，则，所以.

②若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时，.

③若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时.

综上，的取值范围为.

（2017新课标2文）设函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，，求的取值范围.

（1）f ’(x)=(1-2x-x2)ex

令f’(x)=0得x=-1- ，x=-1+

当x∈（-∞，-1-）时，f’(x)<0；当x∈（-1-，-1+）时，f’(x)>0；当x∈（-1-，+∞）时，f’(x)<0

所以f(x)在（-∞，-1-），（-1+，+∞）单调递减，在（-1-，-1+）单调递增

(2) f (x)=(1+x)（1-x）ex

当a≥1时，设函数h(x)=（1-x）ex，h’(x)= -xex＜0（x＞0），因此h(x)在[0，+∞)单调递减，而h(0)=1，

故h(x)≤1，所以

f(x)=（x+1）h(x)≤x+1≤ax+1

当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex-x-1，g’（x）=ex-1＞0（x＞0），所以g（x）在在[0，+∞)单调递增，而g(0)=0，故ex≥x+1

当0＜x＜1，，，取

则

当 

综上，a的取值范围[1，+∞） 

（2017新课标3文）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当a﹤0时，证明．

解：

（1）f（x）的定义域为（0，+），.

若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.

若a＜0，则当x∈时，；当x∈时，.故f（x）在单调递增，在单调递减.

（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为

.

所以等价于，即

设g（x）=lnx-x+1，则

当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0,.从而当a＜0时，，即.