人教版七年级数学上册第四章 几何图形初步 知识点总结及精选题

1、几何图形

从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。

立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。

平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。

2、点、线、面、体

（1）几何图形的组成

点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。

线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。

面：包围着体的是面，分为平面和曲面。

体：几何体也简称体。

（2）点动成线，线动成面，面动成体。

3、生活中的立体图形      圆柱

                     柱体        

棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、正方体）、五棱柱、……

生活中的立体图形     球体    

(按名称分)                圆锥

                         椎体

棱锥

4、棱柱及其有关概念：  

棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。

侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。

n棱柱有两个底面，n个侧面，共（n+2）个面；3n条棱，n条侧棱；2n个顶点。

棱柱的所有侧棱长都相等，棱柱的上下两个底面是相同的多边形，直棱柱的侧面是长方形。棱柱的侧面有可能是长方形，也有可能是平行四边形。

5、正方体的平面展开图：11种

6、截一个正方体：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。

7、三视图

物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。

主视图：从正面看到的图，叫做主视图。

左视图：从左面看到的图，叫做左视图。

俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。

平面图形的认识

线段，射线，直线 

在几何里，我们常用字母表示图形。

一个点可以用一个大写字母表示，如点A

一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示，如直线l,或者直线AB

一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面），如射线l,射线AB

一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示，如线段l,线段AB

点和直线的位置关系有两种：

①点在直线上，或者说直线经过这个点。

②点在直线外，或者说直线不经过这个点。

线段的性质

（1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。

（2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。

（3）线段的中点到两端点的距离相等。

（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。

（5）线段的比较：1.目测法 2.叠合法 3.度量法

线段的中点：

点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点。

M是线段AB的中点

AM=BM=AB（或者AB=2AM=2BM）

直线的性质

（1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。

（2）过一点的直线有无数条。

（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。

（4）直线上有无穷多个点。

（5）两条不同的直线至多有一个公共点。

角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。

平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。

角的表示：

①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。

②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。

③用一个大写英文字母表示一个（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。

④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。

注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。

用一副三角板，可以画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°

角的度量

角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。

把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。 1°=60’

把1’ 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。 1’=60”

角的性质

（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。

（2）角的大小可以度量，可以比较         

（3）角可以参与运算。

角的平分线

从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

OB平分∠AOC

∠AOB=∠BOC=∠AOC（或者∠AOC=2∠AOB=2∠BOC）

余角和补角

①如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β互余；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90°

②如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180°

③同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。

对顶角

1一对角，如果它们的顶点重合，两条边互为反向延长线，我们把这样的两个角叫做互为对顶角，其中一个角叫做另一个角的对顶角。

注意：对顶角是成对出现的，它们有公共的顶点；只有两条直线相交时才能形成对顶角。

②对顶角的性质：对顶角相等

如图，∠1和∠4是对顶角，∠2和∠3是对顶角

∠1=∠4，∠2=∠3

平行线：

在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。

注意：（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。

（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。

平行线公理及其推论

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

补充平行线的判定方法：

（1）平行于同一条直线的两直线平行。

（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。

（3）平行线的定义。

垂直：

两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。

垂线的性质：

性质1：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。

点到直线的距离：过A点作l的垂线，垂足为B点，线段AB的长度叫做点A到直线l的距离。  

同一平面内，两条直线的位置关系：相交或平行。

线段与角习题精选

1、如图，,,点B、O、D在同一直线上，则的度数为（      ）

（A）      （B）      （C）      （D）

2、如图，已知AOB是一条直线，∠1=∠2，∠3=∠4，OF⊥AB．则

（1）∠AOC的补角是                ；

（2）            是∠AOC的余角；

（3）∠DOC的余角是              ；

（4）∠COF的补角是              ．

3、如图，点A、O、E在同一直线上，∠AOB=40°，∠EOD=28°46’，OD平分∠COE，

 求∠COB的度数（7分）

1如图10，已知直线和相交于点，是直角，平分，，求

   的度数．

5、如图9，点O是直线AB上的一点，OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线，若∠AOD=14°，      

   求∠DOE、∠BOE的度数．

6、如图10，将长方形纸片沿ＡＣ对折，使点Ｂ落在Ｂ′，ＣＦ平分∠Ｂ′ＣＥ，求∠ＡＣＦ的度数．

7、把一张正方形纸条按图中那样折叠后，若得到∠AOB/＝700，则∠B/OG＝______．

8、如图所示，已知∠AOB=165°，∠AOC=∠BOD=90°，求∠COD．

9、如图14，将一副三角尺的直角顶点重合在一起．

（1）若∠DOB与∠DOA的比是2∶11，求∠BOC的度数．

（2）若叠合所成的∠BOC=n°(010、如图，点C在线段AB上，AC = 8厘米，CB = 6厘米，点M、N分别是AC、BC的中点。

（1）求线段MN的长； 

11、如图，已知C点为线段AB的中点，D点为BC的中点，AB＝10cm，求AD的长度。

12、如图9，ＡＤ＝ＢＤ，Ｅ是ＢＣ的中点，ＢＥ＝２ｃｍ，ＡＣ＝１０ｃｍ，求线段ＤＥ的长．

13、有一张地图（如图），有A、B、C三地，但地图被墨迹污损，C地具体位置看不清楚了，但知道C地在A  

    地的北偏东30°，在B地的南偏东45°，你能确定C地的位置吗？

14、如图8，东西方向的海岸线上有A、B两个观测站，在A地发现它的北偏东30°方向上有一条渔船，同 

   一时刻，在B地发现这条渔船在它的北偏西60°方向上，试画图说明这条渔船的位置．

15、如图，OA的方向是北偏东15°,OB的方向是西偏北50°。

（1）若∠AOC=∠AOB，则OC的方向是___________;

（2）OD是OB的反向延长线,OD的方向是_________;

（3）∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD,

作∠BOD的平分线OE,并用方位角表示OE的方向是_____________。

（4）在(1)、（2）、（3）的条件下，求∠COE。

16、如图,三角形ABC中,AB=AC,延长CA,用量角器量∠B、∠C、∠BAD。 

     (1)你能得出什么结论,猜想∠BAD、∠B、∠C的关系(可多画几个类似图形尝试)

     (2)用你得出的结论和猜想的关系解决下列问题:

一暗礁边缘有一标志C在灯塔B北偏西80°的方向上,与灯塔B的距离为30海里, 轮船从灯塔正南方30海里的A处出发,若航行方向是北偏西45°, 轮船能避开暗礁吗?说明理由.

17、如图，分别从正面、左面、上面观察这个图形，请画出你看到的平面图形。

18、（1）棱长为a的正方体，摆成如图所示的上下三层．请求出该物体的表面积．

（2）若依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下10层，你能求出该物体的表面积吗？

19、如下图，在已知角内画射线，画1条射线，图有         个角；画2条射线，图有         个角；画3条射线，图有          个角，求画n条射线所得的角的个数                。

20、任意画一个三角形ABC，取三边中点依次为D、E、F（如图16），连结DE、EF、FD得到三角形DEF．

（1） 分别量出三角形ABC的周长与三角形DEF的周长，你会发现什么？

（2）用量角器量一下三角形ABC中∠A、∠B、∠C的度数之和；再量一下三角形DEF中的∠1、∠2、∠3的度数之和，你会发现什么？

（3）多画几个试一试，你会得到哪些猜想？

21、已知：如图（6）∠ABC＝30°，∠CBD＝70°BE是∠ABD的平分线，求∠DBE的度数。                 

图（6）

22、已知：如图（7），B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD＝2：4：3，M是AD的中点，CD＝6㎝，求线段MC的长。

图（7）