2021年新高考数学 高三冲刺模拟卷02(江苏专用)(原卷+解析)

2021年新高考数学 高三冲刺模拟卷02（江苏专用）数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A＝{x|x2+x﹣2＜0}，B＝{x|2x+3＞0}，则A∩B＝（　　）

A．    B．    C．    D．

2．棣莫弗公式（i为虚数单位，r＞0）是由法国数学家棣莫弗（1667﹣1754）发现的．根据棣莫弗公式，在复平面内复数对应的点位于（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

3．在一次数学实验中，某同用图形计算器采集到如下一组数据：

   A．       B．        C．   D．

4.《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，否则得0分．若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得2分的概率（　　）

A．    B．    C．    D．

5.函数的图象大致为（　　）

A．   B．   C．   D．

6．函数且）的图象恒过定点A，若点A在椭圆上，则的最小值为（　　）

A．12    B．14    C．16    D．18

7．定义在R上的偶函数f（x）满足f（2+x）＝f（2﹣x），当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝x+2，设函数h（x）＝e﹣|x﹣2|（﹣2＜x＜6）（e为自然对数的底数），则f（x）与h（x）的图象所有交点的横坐标之和为（　　）

A．5    B．6    C．7    D．8

8．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{xn}满足xn+1＝xn﹣，则称数列{xn}为牛顿数列．如果函数f（x）＝x2﹣x﹣2，数列{xn}为牛顿数列，设且a1＝1，xn＞2，数列{an}的前n项和为Sn，则S2021＝（　　）

A．        B．        C．（）        D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分。部分选对的特2分，有选错的得0分。 

9．已知函数与（）在的图象恰有三个不同的交点P，M，N．若△PMN为直角三角形，则（　　）

A．

B．△PMN的面积S＝π    

C．

D．两函数图象必在处有交点

10．已知Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝a2＝1，an＝an﹣1+2an﹣2（n≥3），则下列结论正确的是（　　）

A．数列{an+an+1}为等比数列    

B．数列{an+1﹣2an}为等比数列    

C．

D．

11．已知实数x，y，z满足x＋y＋z＝1，且，则下列结论正确的是

A．   

B．z的最大值为  

C．z的最小值为

D．xyz的最小值为

12.透明塑料制成的正方体密闭容器ABCD﹣A1B1C1D1的体积为8，注入体积为x（0＜x＜8）的液体．如图，将容器下底面的顶点A置于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，则下列说法正确的是（　　）

A．液面始终与地面平行    

B．x＝4时，液面始终呈平行四边形    

C．当x∈（0，1）时，有液体的部分可呈正三棱锥    

D．当液面与正方体的对角线AC1垂直时，液面面积最大值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为　  　．

14.如图，在平面四边形ABCD中，已知AD＝3，BC＝4，E，F为AB，CD的中点，P，Q为对角线AC，BD的中点，则的值为　    　．

15．已知函数，若对任意x1，x2，x3∈R，总有f（x1），f（x2），f（x3）为某一个三角形的边长，则实数a的取值范围是　    　．

16.过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l，交抛物线C的准线于点A，与抛物线C的一个交点为B，且，若l与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线离心率的取值范围是　       ．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分10分）

在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且．

（1）若∠ABD＝，求BC的长；

（2）若AC＝3，求cos∠BAD．

18．（本题满分12分）

在①已知数列{an}满足：an+1﹣2an＝0，a3＝8，②等比数列{an}中，公比q＝2，前5项和为62，这两个条件中任选一个，并解答下列问题．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，若2Tn＞m﹣2022对n∈N*恒成立，求正整数m的最大值．

19.（本题满分12分）

如图，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，∠A＝45°，AD＝4BC＝4，AB＝，现沿CN将△CDN折起使△ADN为正三角形，且平面ADN⊥平面ABCN，过BM的平面与线段DN、DC分别交于E、F．

（1）求证：EF⊥DA；

（2）在棱DN上（不含端点）是否存在点E，使得直线DB与平面BMEF所成角的正弦值为，若存在，请确定E点的位置；若不存在，说明理由．

20.（本题满分12分）

某市为了了解本市初中生周末运动时间，随机调查了3000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如图所示的频率分布直方图．

（1）按照分层抽样，从[40，50）和[80，90）中随机抽取了9名学生．现从已抽取的9名学生中随机推荐3名学生参加体能测试．记推荐的3名学生来自[40，50）的人数为X，求X的分布列和数学期望；

（2）由频率分布直方图可认为：周末运动时间t服从正态分布N（μ，σ2），其中，μ为周末运动时间的平均数，σ近似为样本的标准差s，并已求得s≈14.6．可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初中生中随机抽取12名学生，记周末运动时间在（43.9，87.7]之外的人数为Y，求P（Y＝3）（精确到0.001）．

参考数据1：当t～N（（μ，σ2）时，P（μ﹣σ＜t≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜t≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜t≤μ+3σ）＝0.9974；

参考数据2：0.81859＝0.19；0.18153＝0.0060．

21.（本题满分12分）

已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点在椭圆上；直线AF1交y轴于点B，且，其中O为坐标原点．

（1）求椭圆C1的方程；

（2）直线l斜率存在，与椭圆C1交于D，E两点，且与椭圆有公共点，求△DOE面积的最大值．

22．（本题满分12分）

已知函数(aR)．

（1）若曲线在点(，)处的切线经过坐标原点，求实数a；

（2）当a＞0时，判断函数在x(0，)上的零点个数，并说明理由．

绝密★启用前

2021年新高考数学 高三冲刺模拟卷02（江苏专用）数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A＝{x|x2+x﹣2＜0}，B＝{x|2x+3＞0}，则A∩B＝（　　）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】∵，∴故选：A．

2．棣莫弗公式（i为虚数单位，r＞0）是由法国数学家棣莫弗（1667﹣1754）发现的．根据棣莫弗公式，在复平面内复数对应的点位于（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

【答案】A

【解析】由题意得，其对应的点位于第一象限．故选：A．

3．在一次数学实验中，某同用图形计算器采集到如下一组数据：

   A．       B．        C．   D．

【答案】D

【解析】由于x可以取负数，排除C，再根据，可确定A，B均错误，故选D．

4.《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，否则得0分．若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得2分的概率（　　）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】由于每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，否则得0分．设田忌的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C，

齐王的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，

所有的基本事件有6种，分别为：（Aa，Bb，Cc），（Aa，Bc，Cb），（Ab，Ba，Cb），（Ab，Bc，Cb），（Ac，Bb，ca），（Ac，Ba，Cb），

比赛结束时，田忌得2分的基本事件为：（Ab，Bc，Ca），只有1种，

∴比赛结束时，田忌得2分的概率P＝．故选：C．

5.函数的图象大致为（　　）

A．   B．   C．   D．

【答案】B

【解析】，则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，

排除A，

当x→+∞时，y→0，排除D，

故选：B．

6．函数且）的图象恒过定点A，若点A在椭圆上，则的最小值为（　　）

A．12    B．14    C．16    D．18

【答案】C

【解析】由题意可知A（3，1），∴，即，

∴，当且仅当，即m＝3n＝12时取到等号．故选：C．

7．定义在R上的偶函数f（x）满足f（2+x）＝f（2﹣x），当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝x+2，设函数h（x）＝e﹣|x﹣2|（﹣2＜x＜6）（e为自然对数的底数），则f（x）与h（x）的图象所有交点的横坐标之和为（　　）

A．5    B．6    C．7    D．8

【答案】D

【解析】由f（2+x）＝f（2﹣x）且f（x）是偶函数，可知函数f（x）的周期为4，

由题意可知f（x）和h（x）的图象都是关于x＝2对称，因此四个交点的横坐标也都关于直线x＝2对称，

所以四个交点的横坐标之和为8，

故选：D．

8．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{xn}满足xn+1＝xn﹣，则称数列{xn}为牛顿数列．如果函数f（x）＝x2﹣x﹣2，数列{xn}为牛顿数列，设且a1＝1，xn＞2，数列{an}的前n项和为Sn，则S2021＝（　　）

A．        B．        C．（）        D．

【答案】A

【解析】∵f（x）＝x2﹣x﹣2，∴f′（x）＝2x﹣1，

又∵xn+1＝xn﹣＝xn﹣，

∴xn+1+1＝xn﹣+1＝，

xn+1﹣2＝xn﹣2﹣＝，

∴，

∵且a1＝1，xn＞2，

∴，

∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，

∴S2021＝＝22021﹣1，

故选：A．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分。部分选对的特2分，有选错的得0分。 

9．已知函数与（）在的图象恰有三个不同的交点P，M，N．若△PMN为直角三角形，则（　　）

A．

B．△PMN的面积S＝π    

C．

D．两函数图象必在处有交点

【答案】ACD

【解析】∵两图象恰有三个交点P，M，N，且△PMN为直角三角形，

    则△PMN的高为，且是等腰直角三角形，

∴斜边长为2，即周期T＝2，∴＝2，解得ω＝π，故A正确．

∵△PMN的面积为S＝××2＝2，故B错误．

   当时，，

  由正弦，余弦函数的图象可得：且，

  又，所以，故C正确．

 当时，，故D正确．

 故选：ACD．

10．已知Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝a2＝1，an＝an﹣1+2an﹣2（n≥3），则下列结论正确的是（　　）

A．数列{an+an+1}为等比数列    

B．数列{an+1﹣2an}为等比数列    

C．

D．

【答案】ABD

【解析】an＝an﹣1+2an﹣2，an+an﹣1＝2an﹣1+2an﹣2＝2（an﹣1+an﹣2）（n≥3），

因为a1＝a2＝1，所以a3＝a1+2a2＝3，

a3+a2＝4＝2（a2+a1），

所以数列{an+an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，

所以an+an+1＝2•2n﹣1＝2n，故选项A正确；

an＝an﹣1+2an﹣2，

an﹣2an﹣1＝2an﹣2﹣an﹣1＝﹣（an﹣1﹣2an﹣2），

a3﹣2a2＝3﹣2＝1，a2﹣2a1＝1﹣2＝﹣1，

所以{an+1﹣2an}是首项为﹣1，公比为﹣1的等比数列，

an+1﹣2an＝﹣1•（﹣1）n﹣1＝（﹣1）n，故选项B正确；

，所以，故选项C错误；

S20＝a1+a2+…+an＝++…+

＝

＝×[﹣]

＝（220﹣1）＝（410﹣1），故选项D正确．故选：ABD．

11．已知实数x，y，z满足x＋y＋z＝1，且，则下列结论正确的是

A．   B．z的最大值为   C．z的最小值为D．xyz的最小值为

【答案】ACD

【解析】∵，∴，又∵，∴，A正确；

∵，，又，∴≤z≤1，故B错误，C正确；

根据选项A得，又，故，

∴，∴0≤≤，

，令，0≤≤，

∴，求导后发现或时，xyz的最小值为，D正确．

综上选ACD．

12.透明塑料制成的正方体密闭容器ABCD﹣A1B1C1D1的体积为8，注入体积为x（0＜x＜8）的液体．如图，将容器下底面的顶点A置于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，则下列说法正确的是（　　）

A．液面始终与地面平行    

B．x＝4时，液面始终呈平行四边形    

C．当x∈（0，1）时，有液体的部分可呈正三棱锥    

D．当液面与正方体的对角线AC1垂直时，液面面积最大值为

【答案】ACD

【解析】液面始终是水平面，与场地是平行的，故选项A正确；

当x＝4时，体积是正方体的一半，如液面正好过棱A1B1，B1B，BC，CD，DD1，D1A1的中点，此时液面是正六边形，不是平行四边形，故选项B错误；

液面过AA1，AB，AD的中点时，此时，有液体的部分是正三棱锥，故选项C正确；

当液面与正方体的对角线AC垂直时，液面面积的最大时就是选项B中所列举的正六边形（此时液体条件是正方体体积的一半），面积为，故选项D正确．

故选：ACD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. （x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为　  　．

【答案】30

【解析】

解法一：（x2+x+y）5可看作5个（x2+x+y）相乘，从中选2个y，有种选法；

再从剩余的三个括号里边选出2个x2，最后一个括号选出x，有•种选法；

∴x5y2的系数为•＝30；

解法二：∵（x2+x+y）5＝[（x2+x）+y]5，其展开式的通项公式为Tr+1＝•（x2+x）5﹣r•yr，

令r＝2，得（x2+x）3的通项公式为•（x2）3﹣m•xm＝•x6﹣m，

再令6﹣m＝5，得m＝1，

∴（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为•＝30．

故答案为：30．

14.如图，在平面四边形ABCD中，已知AD＝3，BC＝4，E，F为AB，CD的中点，P，Q为对角线AC，BD的中点，则的值为　    　．

【答案】

【解析】如图，连接FP，FQ，EP，EQ，

∵E，F为AB，CD的中点，P，Q为对角线AC，BD的中点，

∴四边形EPFQ为平行四边形，

∴＝，，且AD＝3，BC＝4，

∴．

故答案为：．

15．已知函数，若对任意x1，x2，x3∈R，总有f（x1），f（x2），f（x3）为某一个三角形的边长，则实数a的取值范围是　    　．

【答案】[3，6]

【解析】因为f（x1），f（x2），f（x3）为某一个三角形的边长，

所以f（x1）+f（x2）＞f（x3），对任意x1，x2，x3∈R，恒成立，

函数＝＝3+，

当a＝3时，f（x）＝3，满足题意；

当a＞3，f（x）在R上单调递减，所以函数的值域为（3，a），

所以f（x1）+f（x2）＞6且f（x3）＜a，所以3＜a≤6，

综上可得，3≤a≤6，即实数a的取值范围是[3，6]．故答案为：[3，6]．

16.过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l，交抛物线C的准线于点A，与抛物线C的一个交点为B，且，若l与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线离心率的取值范围是　       ．

【答案】

【解析】如图，∵k≥，且＝k，∴，

要使，则B应在离A点较远的一端，过B作准线的垂线，垂足为C，

∵，|BF|＝|BC|，∴|AB||BC|，

在△ABC中，sinA＝，∴sinA，∴0＜∠A≤45°，45°≤∠B＜90°，

∵直线l的斜率k＝tanB，∴k≥1；

∵l与双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线垂直，

∴，则0＜，即0＜，解得1．故答案为：（1，]．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分10分）

在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且．

（1）若∠ABD＝，求BC的长；

（2）若AC＝3，求cos∠BAD．

【解析】（1）在△ABD中，由余弦定理知，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos∠ABD，

∴8＝16+BD2﹣2•4•BD•cos，化简得BD2﹣4BD+8＝0，

解得BD＝2，

∵E是BD的中点，∴BE＝BD＝，

在△ABE中，由余弦定理知，AE2＝AB2+BE2﹣2AB•BE•cos∠ABD＝16+2﹣2×4××＝10，

∴AE＝，

∵＝2，∴AC＝AE＝，

由余弦定理知，cos∠BAC＝＝＝，

在△ABC中，由余弦定理知，BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠BAC＝16+﹣2×4××＝，

∴BC＝．

（2）∵AC＝3，＝2，∴AE＝2，

∵∠AEB+∠AED＝π，

∴cos∠AEB＝﹣∠AED，

设BE＝DE＝x，

则＝﹣，即＝﹣，

解得x＝2，

∴BD＝2BE＝4，

在△ABD中，由余弦定理知，cos∠BAD＝＝＝﹣．

18．（本题满分12分）

在①已知数列{an}满足：an+1﹣2an＝0，a3＝8，②等比数列{an}中，公比q＝2，前5项和为62，这两个条件中任选一个，并解答下列问题．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，若2Tn＞m﹣2022对n∈N*恒成立，求正整数m的最大值．

【解析】（1）选①已知数列{an}满足：an+1﹣2an＝0，a3＝8，

设等比数列{an}的公比为q，

由an+1＝2an，可得q＝2，

又a3＝8，即4a1＝8，解得a1＝2，

所以an＝2n；

选②等比数列{an}中，公比q＝2，前5项和为62，

则q＝2，＝62，

解得a1＝q＝2，

所以an＝2n；

（2）＝，

Tn＝+++…+，

Tn＝+++…+，

上面两式相减可得Tn＝+++…+﹣

＝﹣，

化简可得Tn＝2﹣，

因为Tn+1﹣Tn＝2﹣﹣2+＝＞0，

所以{Tn}递增，T1最小，且为，所以2×＞m﹣2022，

解得m＜2023，

则m的最大值为2022．

19.（本题满分12分）

如图，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，∠A＝45°，AD＝4BC＝4，AB＝，现沿CN将△CDN折起使△ADN为正三角形，且平面ADN⊥平面ABCN，过BM的平面与线段DN、DC分别交于E、F．

（1）求证：EF⊥DA；

（2）在棱DN上（不含端点）是否存在点E，使得直线DB与平面BMEF所成角的正弦值为，若存在，请确定E点的位置；若不存在，说明理由．

【解析】（1）证明：∵BM⊥AD，CN⊥AD，∴BM∥CN，

在四棱锥D﹣ABCN中，CN⊂平面CDN，

BM⊄平面CDN，∴BM∥平面CDN，

又平面BMEF∩平面CDN＝EF，

∴BM∥EF，

∵平面ADN⊥平面ABCN且交于AN，BM⊥AN，

∴BM⊥平面ADN，即EF⊥平面ADN，

又DA⊂平面ADN，∴EF⊥DA；

（2）解：存在，E为棱DN上靠近N点的四等分点．

∵DA＝DN，AM＝MN＝1，

连接DM，∴DM⊥AN，又平面ADN⊥平面ABCN，且平面ADN∩平面ABCN＝AN，

∴DM⊥平面ABCN．

如图，以M为坐标原点，分别以MA，MB，MD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则D（0，0，），B（0，1，0），M（0，0，0），N（﹣1，0，0），

，，，

设，（0＜λ＜1），则E（λ﹣1，0，），＝（λ﹣1，0，），

设平面BMEF的一个法向量为，则

，

不妨令x＝，则z＝1﹣λ，，

设直线DB与平面BMEF所成角为α，则有

sinα＝|cos＜＞|＝＝，

解得或（舍）．

∴，即在棱DN上存在点E，使得直线DB与平面BMEF所成角的正弦值为，

E为棱DN上靠近N点的四等分点．

20.（本题满分12分）

某市为了了解本市初中生周末运动时间，随机调查了3000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如图所示的频率分布直方图．

（1）按照分层抽样，从[40，50）和[80，90）中随机抽取了9名学生．现从已抽取的9名学生中随机推荐3名学生参加体能测试．记推荐的3名学生来自[40，50）的人数为X，求X的分布列和数学期望；

（2）由频率分布直方图可认为：周末运动时间t服从正态分布N（μ，σ2），其中，μ为周末运动时间的平均数，σ近似为样本的标准差s，并已求得s≈14.6．可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初中生中随机抽取12名学生，记周末运动时间在（43.9，87.7]之外的人数为Y，求P（Y＝3）（精确到0.001）．

参考数据1：当t～N（（μ，σ2）时，P（μ﹣σ＜t≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜t≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜t≤μ+3σ）＝0.9974；

参考数据2：0.81859＝0.19；0.18153＝0.0060．

【解析】（1）根据分层抽样，从[40，50）中抽取6人，在[80，90）中抽取3人，

随机变量X的可能取值为0，1，2，3，

P（X＝0）＝＝，

P（X＝1）＝＝，

P（X＝2）＝＝，

P（X＝3）＝＝，

则X的分布列为：

（2）μ＝＝35×0.01×10+45×0.02×10+55×0.03×10+65×0.015×10+75×0.015×10+85×0.01×10＝58.5，

又因为43.9＝58.5﹣14.6＝μ﹣σ，87.7＝58.5+2×14.6＝μ+2σ，

所以P（43.9＜t≤87.7）＝P（μ﹣σ＜t≤μ+2σ）＝＝0.8185，

所以P（t≤43.9或t＞87.7）＝1﹣0.8185＝0.1815，

则Y～B（12，0.1815），

所以P（Y＝3）＝×0.18153×0.81859＝220×0.0060×0.19≈0.218．

21.（本题满分12分）

已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点在椭圆上；直线AF1交y轴于点B，且，其中O为坐标原点．

（1）求椭圆C1的方程；

（2）直线l斜率存在，与椭圆C1交于D，E两点，且与椭圆有公共点，求△DOE面积的最大值．

【解析】（1）由＝﹣2，可得F2（，0），即c＝，

因为A（，）在椭圆上，

所以+＝1，

即+＝1，解得a2＝4或a2＝（舍去），

所以椭圆C1的方程为+y2＝1．

（2）设直线l的方程为y＝kx+m，

原点到直线l的距离为d＝，

联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，

设D（x1，y1），E（x2，y2），

则x1+x2＝，x1x2＝，

所以|DE|＝＝，

所以S△DOE＝d•|DE|＝|m|

＝

＝2，

由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4λ＝0，

所以（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4λ）≥0，即λ≥，

故①当0＜λ＜时，则≤λ＜，故＝λ＜，

即直线与椭圆C2：+＝λ相切时，面积最大为2，

②当≤λ＜1时，＝时，△DOE的面积最大为1，

综上可得（S△DOE）max＝．

22．（本题满分12分）

已知函数(aR)．

（1）若曲线在点(，)处的切线经过坐标原点，求实数a；

（2）当a＞0时，判断函数在x(0，)上的零点个数，并说明理由．

【解析】（1）

        所以在点处的切线方程为，

        所以，即

   （2）因为，所以，

        所以可转化为，

        设，则，

        当时，，

        所以在区间上单调递增，

        当时，设，

        此时，

        所以在时单调递增，

        又，

        所以存在使得且时单调递减，

        时单调递增，

        综上，对于连续函数，在时，单调递减，

        在时，单调递增，

        又因为，

        所以当，即时，函数有唯一零点在区间上，

        当，即时，函数在区间上无零点，

        综上可知，当时，函数在上有1个零点；

        当时，函数在上没有零点．