【2011-2014】高考浙江理科数学真题及答案详解(精校版)

数学（理科）试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设函数,则实数=

    A．-4或-2        B．-4或2        C．-2或4        D．-2或2

2．把复数的共轭复数记作，i为虚数单位，若=

    A．3-i        B．3+i        C．1+3i      D．3

3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是

4．下列命题中错误的是        

    A．如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面

    B．如果平面α不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面

    C．如果平面，平面，，那么

    D．如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面

5．设实数满足不等式组若为整数，则的最小值是

    A．14         B．16        C．17        D．19

6．若，，，，则

    A．        B．        C．       D． 

7．若为实数，则“”是的

    A．充分而不必要条件             B．必要而不充分条件

    C．充分必要条件                 D．既不充分也不必要条件

8．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则

    A．       B．       C．       D． 

9．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率

    A．              B．             C．               D

10．设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）．记集合S=若，分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论不可能的是

    A． =1且=0              B． 

    C． =2且=2                D． =2且=3

非选择题部分（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分

11．若函数为偶函数，则实数  =        。

12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是        。

13．设二项式（x-）6（a>0）的展开式中X的系数为A,常数项为B，

若B=4A，则a的值是        。

14．若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的

平行四边形的面积为，则α与β的夹角的取值范围是        。

15．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙丙公司面试的概率为，且三个公司是否让其面试是相互的。记X为该毕业生得到面试得公司个数。若，则随机变量X的数学期望

16．设为实数，若则的最大值是          ．。

17．设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若;则点的坐标是        ．

三、解答题;本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本题满分14分）在中，角所对的边分别为a,b,c．

已知且．

（Ⅰ）当时，求的值；

（Ⅱ）若角为锐角，求p的取值范围；

19．（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项为a（）,设数列的前n项和为，且，，成等比数列

（1）求数列的通项公式及

（2）记，，当时，试比较与的大小．

20．（本题满分15分）

如图，在三棱锥中，，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2

（Ⅰ）证明：AP⊥BC；

（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。

21．（本题满分15分）

已知抛物线:＝，圆:的圆心为点M

（Ⅰ）求点M到抛物线的准线的距离；

（Ⅱ）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，交抛物线于A，B两点，若过M，P两点的直线垂直于AB，求直线的方程

22．（本题满分14分）

    设函数

   （I）若的极值点，求实数；

   （II）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立，注：为自然对数的底数。

参

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。

BADDBCACBD

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。

11．0  12．5  13．2  14．  15．  16．  17． 

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

18．本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。

   （I）解：由题设并利用正弦定理，得

解得

   （II）解：由余弦定理， 

因为，

由题设知

19．本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想。满分14分。

   （I）解：设等差数列的公差为d，由

得

因为，所以所以

（II）解：因为，所以

因为，所以

当，

即

所以，当

当

20．本题主要考查空是点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。

方法一：

   （I）证明：如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，

建立空间直角坐标系O—xyz

则，

，由此可得，所以

，即

（II）解：设

设平面BMC的法向量，

平面APC的法向量

由

得

即

由即

得

由

解得，故AM=3。

综上所述，存在点M符合题意，AM=3。

方法二：

（I）证明：由AB=AC，D是BC的中点，得

又平面ABC，得

因为，所以平面PAD，

故

（II）解：如图，在平面PAB内作于M，连CM，

由（I）中知，得平面BMC，

又平面APC，所以平面BMC平面APC。

在

在，

在

所以

在

又

从而PM，所以AM=PA-PM=3。

综上所述，存在点M符合题意，AM=3。

21．本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。

   （I）解：由题意可知，抛物线的准线方程为： 

所以圆心M（0，4）到准线的距离是

（II）解：设，

则题意得，

设过点P的圆C2的切线方程为，

即        ①

则

即，

设PA，PB的斜率为，则是上述方程的两根，所以

将①代入

由于是此方程的根，

故，所以

由，得，

解得

即点P的坐标为，

所以直线的方程为

22．本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用，不等式等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论分析问题和解决问题的能力。满分14分。

   （I）解：求导得

因为的极值点，

所以

解得经检验，符合题意，

所以

（II）解：①当时，对于任意的实数a，恒有成立；

②当时，由题意，首先有，

解得，

由（I）知

令

且

又内单调递增

所以函数内有唯一零点，

记此零点为

从而，当时， 

当

当时， 

即内单调递增，在内单调递减，

在内单调递增。

所以要使恒成立，只要

成立。

由，知

        （3）

将（3）代入（1）得

又，注意到函数内单调递增，

故。

再由（3）以及函数内单调递增，可得

由（2）解得， 

所以

综上，a的取值范围是

2012浙江省高考数学（理科）试卷word版(含答案)

2012年普通高等学校招生全国统一考试

数    学（理科）

选择题部分（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。

1．设集合，集合，则

   A．      B．      C．      D． 

2．已知是虚数单位，则

   A．      B．      C．      D． 

3．设，则“”是“直线：与直线：平行”的

   A．充分不必要条件            B．必要不充分条件

   C．充分必要条件              D．既不充分也不必要条件

4．把函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是

5．设，是两个非零向量

   A．若，则

   B．若，则

   C．若，则存在实数，使得

   D．若存在实数，使得，则

6．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有

   A．60种        B．63种        C．65种        D．66种

7．设是公差为（）的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是

   A．若，则数列有最大项

   B．若数列有最大项，则

   C．若数列是递增数列，则对任意，均有

   D．若对任意，均有，则数列是递增数列

8．如图，，分别是双曲线：的

左、右两焦点，是虚轴的端点，直线与的两条渐近

线分别交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点

．若，则的离心率是

   A．        B．        C．        D． 

9．设， 

   A．若，则        B．若，则

   C．若，则        D．若，则

10．已知矩形，，．将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，

   A．存在某个位置，使得直线与直线垂直

   B．存在某个位置，使得直线与直线垂直

   C．存在某个位置，使得直线与直线垂直

   D．对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直

非选择题部分（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．已知某三棱锥的三视图（单位：）如图所示，则该三棱锥

的体积等于      ．

12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是      ．

13．设公比为的等比数列的前项和为．

若，，则      ．

14．若将函数表示为

，

其中，，，…，为实数，则      ．

15．在中，是的中点，，，

则        ．

16．定义：曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线

的距离．已知曲线：到直线：的距离等于曲线

：到直线：的距离，则实数      ．

17．设，若时均有，

则      ．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本题满分14分）在中，内角，，的对边分别为，，．已知，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求的面积．

19．（本题满分14分）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从箱中任取（无放回，且每球取道的机会均等）3个球，记随机变量为取出此3球所得分数之和．

（Ⅰ）求的分布列；

（Ⅱ）求的数学期望．

20．（本题满分15分）如图，在四棱锥中，底面是

边长为的菱形，，且平面，

，，分别为，的中点．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）过点作，垂足为点，求二面角

的平面角的余弦值．

21．（本题满分15分）如图，椭圆：的

离心率为，其左焦点到点的距离为，不过原点的

直线与相交于，两点，且线段被直线平分．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求面积取最大值时直线的方程．

22．（本题满分14分）已知，，函数．

（Ⅰ）证明：当时，

      （i）函数的最大值为；

      （ii）；

（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围．

数学（理科）试题参

一、选择题：本题考察基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。

1．B      2．D      3．A      4．A      5．C

6．D      7．C      8．B      9．A      10．B

二、填空题：本题考察基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。

11．1      12．      13．      14．10

15．-16     16．      17． 

三、解答题：本题共小题，满分72分。

18．本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等知识，同时考查运算求解能力。满分14分。

（Ⅰ）因为，，得

      又    

      所以

（Ⅱ）由，得

            ，，

      于是

            ．

      由及正弦定理，得

                     ．

      设的面积为，则

                     ．

19．本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分14分。

（Ⅰ）由题意得取3，4，5，6，且

      ，      ，

      ，   ．

      所以的分布列为

            ．

20．本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想像能力和运算求解能力。满分15分。

（Ⅰ）因为，分别是，的中点，所以是的中位线，所以

      又因为平面，所以

                          平面．

（Ⅱ）方法一：

      连结交于，以为原点，，所在直线为，轴，建立空间直角坐标系，如图所示

      在菱形中，，得

      ，．

      又因为平面，所以

      ．

      在直角中，，，，得

      ，．

      由此知各点坐标如下，

          ，，

          ，，

          ，，

          ，．

      设为平面的法向量．

      由，知

      取，得

      设为平面的法向量．

      由，知

      取，得

      于是

          ．

      所以二面角的平面角的余弦值为．

      方法二：

      在菱形中，，得

          ，，

      有因为平面，所以

          ，，，

      所以．

      所以．

      而，分别是，的中点，所以

          ，且．

      取线段的中点，连结，，则

          ，，

      所以为二面角的平面角．

      由，，故

      在中，，，得

          ．

      在直角中，，得

          ，，，

      在中，，得

          ．

      在等腰中，，，得

          ．

      在中，，，，得

          ．

      所以二面角的平面角的余弦值为．

21．本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解体能力。满分15分。

（Ⅰ）设椭圆左焦点为，则由题意得

            ，

      得

            所以椭圆方程为

      ．

（Ⅱ）设，，线段的中点为．

当直线与轴垂直时，直线的方程为，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线的方程为

，

由消去，整理得

，      （1）

则

， 

所以线段的中点，

因为在直线上，所以

，

得

（舍去）或，

此时方程（1）为，则

， 

所以

，

设点到直线距离为，则

，

设的面积为，则

，

其中，

令， 

，

所以当且仅当，取到最大值，

故当且仅当，取到最大值．

综上，所求直线方程为．

22．本题主要考查利用导函数研究函数的性质、线性规划等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识。满分14分。

（Ⅰ）（i）

          当时，有，此时在上单调递增

          所以当时，

      （ii）由于，故

            当时，

            当时，

            设，则

                        ，

            于是

            所以

                        当时， 

            故

      （Ⅱ）由（i）知，当，，所以

            若，则由（ii）知

            所以对任意恒成立的充要条件是

                        ，

            即，或（1）

            在直角坐标系中，（1）所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段，

            作一组平行直线，得

                        ．

            所以的取值范围是．

浙江卷数学（理）试题答案与解析

选择题部分（共50分）

一、选择题：每小题5分，共50分．

1．已知i是虚数单位，则(−1+i)(2−i)=

A．−3+i    B．−1+3i     C．−3+3i     D．−1+i

【命题意图】本题考查复数的四则运算，属于容易题

【答案解析】B

2．设集合S={x|x>−2}，T={x|x2+3x−4≤0}，则(RS)∪T=

A．(−2，1]    B．(−∞，−4]    C．(−∞，1]    D．[1，+∞)

【命题意图】本题考查集合的运算，属于容易题

【答案解析】C 因为(RS)={x|x≤−2}，T={x|−4≤x≤1}，所以(RS)∪T=(−∞，1].

3．已知x，y为正实数，则

A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy        B．2lg(x+y)=2lgx ∙ 2lgy    

C．2lgx ∙ lgy=2lgx+2lgy         D．2lg(xy)=2lgx ∙ 2lgy

【命题意图】本题考查指数和对数的运算性质，属于容易题

【答案解析】D 由指数和对数的运算法则，易知选项D正确

4．已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0，φR)，则“f(x)是奇函数”是“φ=”的

A．充分不必要条件        

B．必要不充分条件

C．充分必要条件    

D．既不充分也不必要条件

【命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性，属于中档题

【答案解析】B 由f(x)是奇函数可知f(0)=0，即cosφ=0，解出φ=+kπ，kZ，所以选项B正确

5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则

A．a=4        B．a=5    

C．a=6        D．a=7

【命题意图】本题考查算法程序框图，属于容易题

【答案解析】A

6．已知αR，sin α+2cos α=，则tan2α=

A．    B．    

C．−    D．−

【命题意图】本题考查三角公式的应用，解法多样，属于中档题

【答案解析】C 由(sin α+2cos α)2=可得=，进一步整理可得3tan2α−8tan α−3=0，解得tan α=3或tan α=−，于是tan2α==−.

7．设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=AB，且对于AB上任一点P，恒有∙≥∙，则

A．ABC=90    B．BAC=90    C．AB=AC    D．AC=BC

【命题意图】本题考查向量数量积的几何意义，不等式恒成立的有关知识，属于中档题

【答案解析】D 由题意，设||=4，则||=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得， ∙=||||=( −(a+1))| |， ∙=−||||=−a，于是∙≥∙恒成立，相当于(−(a+1))| |≥−a恒成立，整理得||2−(a+1)| |+a≥0恒成立，只需∆=(a+1)2−4a=(a−1)2≤0即可，于是a=1，因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形，所以AC=BC

8．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)=(ex−1)(x−1)k(k=1，2)，则

    A．当k=1时，f(x)在x=1处取到极小值

    B．当k=1时，f(x)在x=1处取到极大值

    C．当k=2时，f(x)在x=1处取到极小值

D．当k=2时，f(x)在x=1处取到极大值

【命题意图】本题考查极值的概念，属于中档题

【答案解析】C 当k=1时，方程f(x)=0有两个解，x1=0，x2=1，由标根法可得f(x)的大致图象，于是选项A，B错误；当k=2时，方程f(x)=0有三个解，x1=0，x2=x3=1，其中1是二重根，由标根法可得f(x)的大致图象，易知选项C正确。

9．如图，F1，F2是椭圆C1：与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率为

A．    B．

C．     D．

【命题意图】本题考查椭圆和双曲线的定义和几何性质，属于中档题

【答案解析】D 由题意，c=，|AF2|+|AF1|=4……①，|AF2|−|AF1|=2a……②，①+②得|AF2|=2+a，①−②得|AF1|=2−a，又|AF1|2+|AF2|2=| F1F2|2，所以a=，于是e==.

10．在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ(A)．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1=fβ[fα(P)]，Q2=fα[fβ(P)]，恒有 PQ1= PQ2，则

A．平面α与平面β垂直    B．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45

C．平面α与平面β平行    D．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60

【命题意图】本题考查新定义问题的解决，重在知识的迁移，属于较难题

【答案解析】A 用特殊法立即可知选项A正确

非选择题部分（共100分）

二、填空题：每小题4分，共28分．

11．设二项式的展开式中常数项为A，则A=        ．

   【命题意图】考查二项式定理，属于容易题

   【答案解析】−10

12．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的     

体积等于      cm3．

   【命题意图】本题考查三视图和体积计算，属于容易题

   【答案解析】24  由题意，该几何体为一个直三棱柱截去一个     

三棱锥所得

13．设z=kx+y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k=       ．

   【命题意图】本题考查线性规划，属于容易题

   【答案解析】2  作出平面区域即可

14．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法有        种（用数字作答）．

   【命题意图】本题考查排列组合，属于中档题

   【答案解析】480  第一类，字母C排在左边第一个位置，有A种；第二类，字母C排在左边第二个位置，有AA种；第三类，字母C排在左边第三个位置，有AA+ AA种，由对称性可知共有2( A+ AA+ AA+ AA)=480种。

15．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F(−1，0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点．若|FQ|=2，则直线l的斜率等于        ．

【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题

【答案解析】±1  设直线l的方程为y=k(x+1)，联立消去y得k2x2+(2k2−4)x+k2=0，由韦达定理，xA+ xB =−，于是xQ==，把xQ带入y=k(x+1)，得到yQ=，根据|FQ|=，解出k=±1．

16．在△ABC，C=90，M是BC的中点．若sinBAM=，则sinBAC=        ．

【命题意图】本题考查解三角形，属于中档题

【答案解析】  设BC=2a，AC=b，则AM=，AB=，sinABM= sinABC==，在△ABM中，由正弦定理=，即=，解得2a2=b2，于是sinBAC===．

17．设e1，e2为单位向量，非零向量b=xe1+ye2，x，yR．若e1，e2的夹角为，则的最大值等于      ．

   【命题意图】本题以向量为依托考查最值问题，属于较难题

   【答案解析】2  =====，所以的最大值为2

三、解答题：本大题共5小题，共72分．

18．（本小题满分14分）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列

   （Ⅰ）求d，an；

（Ⅱ）若d<0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|．

   【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力。

   【答案解析】

（Ⅰ）由题意

5a3 a1=(2a2+2)2，

即

d2−3d−4=0．

    故

d=−1或d=4．

所以

an=−n+11，nN*或an=4n+6，nN*

（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn．因为d<0，由（Ⅰ）得d=−1，an=−n+11．则

当n11时，

|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=−n2+n

当n12时，

|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=−Sn+2S11=n2−n+110

    综上所述，

|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=

19．（本题满分14分）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．

   （Ⅰ）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；

（Ⅱ）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若   Eη=，Dη=，求a∶b∶c．

   【命题意图】本题考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、数学方差等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。

   【答案解析】

   （Ⅰ）由题意得

ξ=2，3，4，5，6

    故

P(ξ=2)= =，

P(ξ=3)= =，

P(ξ=4)= =，

P(ξ=5)= =，

P(ξ=6)= =，

所以ξ的分布列为

Eη=++=

Dη=++=

化简得

解得a=3c，b=2c，故

a∶b∶c=3∶2∶1

20．（本题满分15分）如图，在四面体A−BCD中，AD平面BCD，BCCD，AD=2，BD=2．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．

（Ⅰ）证明：PQ∥平面BCD；

（Ⅱ）若二面角C−BM−D的大小为60，求BDC的大小．

   【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。

   【答案解析】

（Ⅰ）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3FC，连接OP，OF，FQ．

因为AQ=3QC，所以

QF∥AD，且QF=AD

因为O，P分别为BD，BM的中点，所以OP是△BDM的中位线，所以

OP∥DM，且OP=DM

又点M是AD的中点，所以

OP∥AD，且OP=AD

从而

OP∥FQ，且OP=FQ

所以四边形OPQF是平行四边形，故

PQ∥OF

又PQ平面BCD，OF平面BCD，所以

PQ∥平面BCD．

   （Ⅱ）作CGBD于点G，作GHBM于点HG，连接CH，则CHBM，所以CHG为二面角的平面角。设BDC=θ．

   在Rt△BCD中，

CD=BDcos θ=2cos θ，

CG=CDsin θ=2cos θsin θ，

BG=BCsin θ=2sin2θ

   在Rt△BDM中，

HG==

    在Rt△CHG中，

tanCHG=

    所以

tan =

    从而

=60

即BDC=60．

21．（本题满分15分）如图，点P(0，−1)是椭圆C1： (a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D．

（Ⅰ）求椭圆C1的方程；

（Ⅱ）求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．

  【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力

  【答案解析】

  （Ⅰ）由题意得

   所以椭圆C的方程为

．

  （Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为

y=kx−1．

   又圆C2：x2+y2=4，故点O到直线l1的距离

d=，

   所以

|AB|=2=2．

   又l1l2，故直线l2的方程为

x+ky+k=0．

   由

　 消去y，整理得

(4+k2)x2+8kx=0

   故

x0=−．

   所以

|PD|=．

   设△ABD的面积为S，则

S=|AB||PD|=，

所以

S==，

当且仅当k=±时取等号

所以所求直线l1的方程为

y=±x−1

22．（本题满分14分）已知aR，函数f(x)=x3−3x2+3ax−3a+3

（Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

（Ⅱ）当x[0，2]时，求|f(x)|的最大值．

  【命题意图】本题考查导数的几何意义，导数应用等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等分析问题和解决问题的能力

  【答案解析】

（Ⅰ）由题意f (x)=3x2−6x+3a，故f (1)=3a−3．又f(1)=1，所以所求的切线方程为

y=(3a−3)x−3a+4

（Ⅱ）由于f (x)=3(x−1)2+3(a−1)，0x2．故

（ⅰ）当a0时，有f (x) 0，此时f(x)在[0，2]上单调递减，故

|f(x)|max=max{|f(0)|，|f(2)|}=3−3a

（ⅱ）当a1时，有f (x) 0，此时f(x)在[0，2]上单调递增，故

|f(x)|max=max{|f(0)|，|f(2)|}= 3a−1

（ⅲ）当00< x1< x2<2，f (x)=3(x− x1)(x− x2)

列表如下：

f(x1)=1+2(1−a)，f(x2)=1−2(1−a)，

故

f(x1)+f(x2)=2>0，f(x1)f(x2)=4(1−a) >0

从而

f(x1)>| f(x2)|．

所以

|f(x)|max=max{f(0)，|f(2)|，f(x1)}

（1）当0|f(2)|．

又

f(x1)− f(0)=2(1−a) −(2−3a)= >0

故

|f(x)|max= f(x1)=1+2(1−a)．

（2）当a<1时，|f(2)|=f(2)，且f(2)f(0)．

又

f(x1)− |f(2)|=2(1−a) −( 3a −2)= 

所以

①当a<时，f(x1)> |f(2)|．故

|f(x)|max= f(x1)=1+2(1−a)．

②当a<1时，f(x1)  |f(2)|．故

|f(x)|max=| f(2)|= 3a−1．

   综上所述，

|f(x)|max=

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学（理科）

1．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出学科网的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）设全集，集合，zxxk则（   ）

A.         B.        C.        D. 

（2）已知是虚数单位，,则“”是“”的（   ）

A. 充分不必要条件        B. 必要不充分条件     

C. 充分必要条件            D. 既不充分也不必要条件 

（3）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的学科网表面积是

A. 90       B. 129        C. 132        D. 138

4.为了得到函数zxxk的图像，可以将函数的图像（    ）

A.向右平移个单位      B.向左平移个单位   

C.向右平移个单位     D.向左平移个单位 

5.在的展开式中，记项的系数为，则                                      （    ）

A.45              B.60             C.120            D. 210

6.已知函数（    ）

A.            B.            C.            D. 

7.在同意直角坐标系中，函数的图像可能是（    ）

8.记，，设为平面向量，则（    ）

 A. 

 B. 

 C. 

 D. 

9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个篮球学科网，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中.

（a）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；

（b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为zxxk.

则

A.                B. 

C.                D. 

10.设函数， ，，记，则

A.        B.        C.        D. 

2、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.

11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的学科网结果是________.

12.随机变量的取值为0,1,2，若，，则________.

13.当实数，满足时，zxxk恒成立，则实数的取值范围是________.

14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.

15.设函数若，则实数的取值范围是______

16.设直线与双曲线（）两条渐近线分别交于点，若点满足,则该双曲线的离心率是__________

17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练. 学科网已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值        

三．解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.（本题满分14分）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知，，

(I)求角C的大小；

(II)若求ABC的面积。

19（本题满分14分）

已知数列和满足.zxxk若为学科网等比数列，且

（1）求与；

（2）设。记数列的前项和为.

（i）求；

（ii）求正整数，使得对任意，均有.

20.  （本题满分15分）如图，在四棱锥中，zxxk平面平面.

（1）证明：平面;

（2）求二面角的大小

21(本题满分15分)

如图，设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点，学科网且点在第一象限.

（1）已知直线的斜率为，用表示点的坐标；

（2）若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离学科网的最大值为.

22.（本题满分14分）已知函数

（1）若在上的最大值和最小值分别记为，求；

（2）设若对恒成立，zxxk求的取值范围.