2019-2020学年浙江省杭州市上城区八年级上学期期末数学试卷 (解析版)

一、选择题（共10小题）.

1．已知两条线段a＝2cm，b＝3.5cm，下列能和a、b构成三角形的是（　　）

A．5.5cm    B．3.5cm    C．1.3cm    D．1.5cm

2．下列图形为轴对称图形的为（　　）

A．    B．    

C．    D．

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AB＝10，则CD的长为（　　）

A．5    B．6    C．8    D．10

4．表示实数a与1的和不大于10的不等式是（　　）

A．a+1＞10    B．a+1≥10    C．a+1＜10    D．a+1≤10

5．已知△ABC为直角坐标系中任意的一个三角形，现将△ABC的各顶点横坐标乘以﹣1，得到△A1B1C1，则它与△ABC的位置关系是（　　）

A．关于x轴对称    B．关于y轴对称    

C．关于原点对称    D．关于直线y＝x对称

6．一次函数y＝﹣2x﹣1的图象大致是（　　）

A．    B．    

C．    D．

7．把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本．则共有学生（　　）

A．4人    B．5人    C．6人    D．5人或6人

8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的中垂线交AC于D，P是BD的中点，若BC＝4，AC＝8，则S△PBC为（　　）

A．3    B．3.3    C．4    D．4.5

9．若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是（　　）

A．5＜m＜6    B．5＜m≤6    C．5≤m≤6    D．6＜m≤7

10．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，O是△ABC外一点，O到三边的垂线段分别为OD，OE，OF，且OD：OE：OF＝1：4：4，则AO的长度为（　　）

A．10    B．9    C．    D．

二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）

11．已知一次函数y＝﹣2x+3，当y＝﹣1时，x＝　   　．

12．命题“如果a+b＞0，则a＞0，b＞0”的逆命题是　   　．

13．已知等腰三角形的一个外角的度数为108°，则顶角的度数为　   　．

14．如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A、B，其中A的位置可以表示成（60°，6），那么B可以表示为　   　，A与B的距离为　   　．

15．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝30°，把△ADC沿着直线AD翻折，点C落在点E的位置，如果BC＝2，那么线段BE的长度为　   　．

16．已知△ABC是边长为6的等边三角形，过点B作AC的垂线l，垂足为D，点P为直线l上的点，作点A关于CP的对称点Q，当△ABQ是等腰三角形时，PD的长度为　   　．

三、解答题（本大题有7个小题，共66分，解答题要有文字说明、证明或演算过程）

17．解不等式（组）：

（1）2（x+1）﹣1＞x；

（2）．

18．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，4），B（1，1），（3，2）．

（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，并判断三角形的形状（不写理由）；

（2）平移△ABC，使点A与点O重合，写出点B、点C平移后的所得点的坐标，并描述这个平移过程．

19．在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②AE＝AD；③OB＝OC．

（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）

（2）请选择（1）中的一种情况，写出证明过程．

20．已知3m+n＝1，且m≥n，

（1）求m的取值范围．

（2）设y＝3m+4n，求y的最大值．

21．大伟老师购买了一辆轿车，加满油后，经过一段时间的试驾，得到了一组行驶里程与剩余油量的数据，行驶里程x（km）和剩余油量y（L）的部分关系如表：

（2）大伟老师到4158公里外的拉萨，在途中至少需要加几次油？

22．已知一次函数的表达式是y＝（m﹣4）x+12﹣4m（m为常数，且m≠4）．

（1）当图象与x轴交于点（2，0）时，求m的值；

（2）当图象与y轴交点位于原点下方时，判定函数值y随着x的增大而变化的趋势；

（3）在（2）的条件下，当函数值y随着自变量x的增大而减小时，求其中任意两条直线与y轴围成的三角形面积的取值范围．

23．已知△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，其中CA＝CB，连接AB'，交直线l于点D（点D与点C不重合）．

（1）如图1，若∠ACB＝40°，∠1＝30°，求∠2的度数；

（2）若∠ACB＝40°，且0°＜∠BCD＜110°，求∠2的度数；

（3）如图2，若∠ACB＝60°，0°＜∠BCD＜120°，求证：BD＝AD+CD．

参

一、选择题

1．已知两条线段a＝2cm，b＝3.5cm，下列能和a、b构成三角形的是（　　）

A．5.5cm    B．3.5cm    C．1.3cm    D．1.5cm

解：第三边c的范围是：3.5cm﹣2cm＜c＜3.5cm+2cm．即1.5cm＜c＜5.5cm．符合条件的只有3.5cm．

故选：B．

2．下列图形为轴对称图形的为（　　）

A．    B．    

C．    D．

解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D、是轴对称图形，故此选项符合题意．

故选：D．

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AB＝10，则CD的长为（　　）

A．5    B．6    C．8    D．10

解：∵∠ACB＝90°，AD＝DB，

∴CD＝AB＝5，

故选：A．

4．表示实数a与1的和不大于10的不等式是（　　）

A．a+1＞10    B．a+1≥10    C．a+1＜10    D．a+1≤10

解：表示实数a与1的和不大于10的不等式是a+1≤10，

故选：D．

5．已知△ABC为直角坐标系中任意的一个三角形，现将△ABC的各顶点横坐标乘以﹣1，得到△A1B1C1，则它与△ABC的位置关系是（　　）

A．关于x轴对称    B．关于y轴对称    

C．关于原点对称    D．关于直线y＝x对称

解：∵△ABC各顶点的横坐标乘以﹣1，得到△A1B1C1，

∴△ABC与△A1B1C1的各顶点纵坐标相同，横坐标互为相反数，

∴△A1B1C1与△ABC的位置关系是关于y轴对称．

故选：B．

6．一次函数y＝﹣2x﹣1的图象大致是（　　）

A．    B．    

C．    D．

解：在y＝﹣2x﹣1中，

∵﹣2＜0，﹣1＜0，

∴此函数的图象经过二、三、四象限，

故选：D．

7．把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本．则共有学生（　　）

A．4人    B．5人    C．6人    D．5人或6人

解：假设共有学生x人，根据题意得出：

5（x﹣1）+3＞3x+8≥5（x﹣1），

解得：5＜x≤6.5．

故选：C．

8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的中垂线交AC于D，P是BD的中点，若BC＝4，AC＝8，则S△PBC为（　　）

A．3    B．3.3    C．4    D．4.5

解：∵点D在线段AB的垂直平分线上，

∴DA＝DB，

在Rt△BCD中，BC2+CD2＝BD2，即42+（8﹣BD）2＝BD2，

解得，BD＝5，

∴CD＝8﹣5＝3，

∴△BCD的面积＝×CD×BC＝×3×4＝6，

∵P是BD的中点，

∴S△PBC＝S△BCD＝3，

故选：A．

9．若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是（　　）

A．5＜m＜6    B．5＜m≤6    C．5≤m≤6    D．6＜m≤7

解：解不等式x﹣m＜0，得：x＜m，

解不等式7﹣2x≤1，得：x≥3，

则不等式组的解集为3≤x＜m，

∵不等式组的整数解有3个，

∴不等式组的整数解为3、4、5，

则5＜m≤6．

故选：B．

10．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，O是△ABC外一点，O到三边的垂线段分别为OD，OE，OF，且OD：OE：OF＝1：4：4，则AO的长度为（　　）

A．10    B．9    C．    D．

解：连接AO，OB，OC，

∵O是△ABC外一点，O到三边的垂线段分别为OD，OE，OF，且OD：OE：OF＝1：4：4，

∴O在∠BAC的角平分线上，

∵AB＝AC，

∴AO过D，且AD⊥BC，

∵BC＝12，

∴BD＝CD＝6，

在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD＝＝＝8，

即BD＝8，

设OD＝x，则OE＝OF＝4x，

∵S△ABC+S△OBC＝S△ABO+S△ACO，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，

∴＝+，

∴＝，

解得：x＝，

即OD＝，

∴AO＝AD+OD＝8+＝，

故选：D．

二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）

11．已知一次函数y＝﹣2x+3，当y＝﹣1时，x＝　2　．

解：当y＝﹣1时，﹣2x+3＝﹣1，

解得：x＝2．

故答案为：2．

12．命题“如果a+b＞0，则a＞0，b＞0”的逆命题是　如果a＞0，b＞0，那么a+b＞0　．

解：命题“如果a+b＞0，则a＞0，b＞0”的逆命题是：如果a＞0，b＞0，那么a+b＞0，

故答案为：如果a＞0，b＞0，那么a+b＞0．

13．已知等腰三角形的一个外角的度数为108°，则顶角的度数为　72°或36°　．

解：∵一个外角为108°，

∴三角形的一个内角为72°，

当72°为顶角时，其他两角都为54°、54°，

当72°为底角时，其他两角为72°、36°，

所以等腰三角形的顶角为72°或36°．

故答案为：72°或36°．

14．如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A、B，其中A的位置可以表示成（60°，6），那么B可以表示为　（150°，4）　，A与B的距离为　2　．

解：B可以表示为（150°，4），

由题意可得：＝2．

故答案为：（150°，4），2．

15．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝30°，把△ADC沿着直线AD翻折，点C落在点E的位置，如果BC＝2，那么线段BE的长度为　　．

解：如图，过D作DF⊥BE于F，

∵AD是△ABC的中线，

∴BD＝CD＝1，

由折叠可得，DE＝DC＝1，∠CDE＝2∠CDA＝60°，

∴BD＝ED，∠BDE＝120°，

∴BE＝2BF，∠DBE＝30°，

∴Rt△BDF中，DF＝BD＝，

∴BF＝＝，

∴BE＝2BF＝，

故答案为：．

16．已知△ABC是边长为6的等边三角形，过点B作AC的垂线l，垂足为D，点P为直线l上的点，作点A关于CP的对称点Q，当△ABQ是等腰三角形时，PD的长度为　3或6﹣3或或3+6　．

解：如图1中，达不到点与B重合时，△ABQ是等腰三角形，此时PD＝AB•sin60°＝6×＝3．

如图2中，当点Q落在线段AB的垂直平分线上时，QA＝QB，△ABQ是等腰三角形，此时∠PCD＝∠PCQ＝15°，

在CD上取一点J，使得JC＝PJ，则∠JPC＝∠JCP＝15°，

∴∠PJD＝∠JPC+∠JCP＝30°，设PD＝x，则DJ＝x．PJ＝CP＝2x，

∴x+2x＝3，

∴x＝6﹣3，

∴PD＝6﹣3．

如图3中，当点Q落在直线BD上时，△ABQ是等腰三角形，此时PD＝CD•tan30°＝．

如图4中，当点Q落在线段AB的垂直平分线上时，∠DCP∠PCQ＝75°，可得∠CPJ＝15°，

在PD上取一点J，使得JC＝JP，同法可得∠DJC＝30°，DJ＝3，CJ＝JP＝6，

∴PD＝DJ+JP＝3+6，

综上所述，满足条件的PD的值为3或6﹣3或或3+6．

三、解答题（本大题有7个小题，共66分，解答题要有文字说明、证明或演算过程）

17．解不等式（组）：

（1）2（x+1）﹣1＞x；

（2）．

解：（1）2（x+1）﹣1＞x，

2x+2﹣1＞x，

2x﹣x＞﹣2+1，

x＞﹣1；

（2），

解不等式①得：x＜﹣2，

解不等式②得：x≤2，

∴不等式组的解集为x＜﹣2．

18．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，4），B（1，1），（3，2）．

（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，并判断三角形的形状（不写理由）；

（2）平移△ABC，使点A与点O重合，写出点B、点C平移后的所得点的坐标，并描述这个平移过程．

解：（1）如图，△ABC即为所求，△ABC 等腰直角三角形．

（2）平移后的△OB′C′即为所求，B′（﹣1，﹣3），C′（1，﹣2），△ABC向下平移4个单位，向左平移2个单位得到△OB′C′．

19．在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②AE＝AD；③OB＝OC．

（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）

（2）请选择（1）中的一种情况，写出证明过程．

解：（1）由①②或①③可以判定△ABC是等腰三角形；

（2）①③判定△ABC是等腰三角形；

理由如下：

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

又∵∠EBO＝∠DCO，

∴∠OBC+∠EBO＝∠OCB+∠DCO，

即：∠ABC＝∠ACB，

∴AB＝AC，

即△ABC是等腰三角形；

①②判定△ABC是等腰三角形；

理由如下：

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（AAS），

∴AB＝AC，

即△ABC是等腰三角形；

20．已知3m+n＝1，且m≥n，

（1）求m的取值范围．

（2）设y＝3m+4n，求y的最大值．

解：（1）∵3m+n＝1，

∴n＝﹣3m+1，

又∵m≥n，

∴m≥﹣3m+1，

∴m≥．

（2）y＝3m+4n＝3m+4（﹣3m+1）＝﹣9m+4．

∵﹣9＜0，

∴y值随x值的增大而减小，

∴当m＝时，y取得最大值，最大值＝﹣9×+4＝．

21．大伟老师购买了一辆轿车，加满油后，经过一段时间的试驾，得到了一组行驶里程与剩余油量的数据，行驶里程x（km）和剩余油量y（L）的部分关系如表：

（2）大伟老师到4158公里外的拉萨，在途中至少需要加几次油？

解：（1）根据表格中的变化规律可知：y与x成一次函数，

设y与x的关系式为y＝kx+b，

将x＝100时y＝43，x＝200时y＝36代入关系式得，

解得，

∴y＝﹣0.07x+50（x≥0）；

（2）当y＝0时，﹣0.07x+50＝0，

解得x＝，

4158÷≈5.8，

答：大伟老师到4158公里外的拉萨，在途中至少需要加9次油．

22．已知一次函数的表达式是y＝（m﹣4）x+12﹣4m（m为常数，且m≠4）．

（1）当图象与x轴交于点（2，0）时，求m的值；

（2）当图象与y轴交点位于原点下方时，判定函数值y随着x的增大而变化的趋势；

（3）在（2）的条件下，当函数值y随着自变量x的增大而减小时，求其中任意两条直线与y轴围成的三角形面积的取值范围．

解：（1）将（2，0）代入y＝（m﹣4）x+12﹣4m中，得

2（m﹣4）+12﹣4m＝0，

解得，m＝2；

（2）∵图象与y轴交点位于原点下方，

∴12﹣4m＜0，

∴m＞3，

∴当3＜m＜4时，有m﹣4＜0，则函数y＝（m﹣4）x+12﹣4m的函数值y随着x的增大而减小，

当m＞4时，有m﹣4＞0，则函数y＝（m﹣4）x+12﹣4m的函数值y随着x的增大而增大；

（3）设3＜m1＜m2＜4，则两直线y＝＝（m1﹣4）x+12﹣4m1和直线y＝＝（m2﹣4）x+12﹣4m2分别与y轴的交点坐标为M1（0，12﹣4m1）和M2（0，12﹣4m2），

∴M1M2＝4（m2﹣m1），

∵直线y＝＝（m1﹣4）x+12﹣4m1和直线y＝＝（m2﹣4）x+12﹣4m2的交点坐标为N（4，﹣4），

∴在（2）的条件下，当函数值y随着自变量x的增大而减小时，任意两条直线与y轴围成的三角形面积的为：

S＝，

∵3＜m1＜m2＜4，

∴0＜m2﹣m1＜1，

∴0＜S＜8，

∴在（2）的条件下，当函数值y随着自变量x的增大而减小时，其中任意两条直线与y轴围成的三角形面积的取值范围0＜S＜8．

23．已知△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，其中CA＝CB，连接AB'，交直线l于点D（点D与点C不重合）．

（1）如图1，若∠ACB＝40°，∠1＝30°，求∠2的度数；

（2）若∠ACB＝40°，且0°＜∠BCD＜110°，求∠2的度数；

（3）如图2，若∠ACB＝60°，0°＜∠BCD＜120°，求证：BD＝AD+CD．

解：（1）∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，其中CA＝CB，

∴AC＝CB＝A'C＝B'C，∠BCD＝∠B'CD，

∴∠1＝∠CB'D＝30°，

∴∠ACB'＝120°，

∵∠ACB＝40°，

∴∠BCB'＝80°，

∴∠BCD＝40°，

∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠ACD＝70°；

（2）∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，其中CA＝CB，

∴AC＝CB＝A'C＝B'C，∠BCD＝∠B'CD，

∴∠1＝∠CB'D＝＝70°﹣∠BCD，

∴∠2＝∠CB'D+∠DCB'＝70°；

（3）如图2，在BD上截取DH＝CD，连接CH，

∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，其中CA＝CB，

∴AC＝CB＝A'C＝B'C，∠BCD＝∠B'CD，

∴∠1＝∠CB'D＝＝60°﹣∠BCD，

∴∠2＝∠CB'D+∠DCB'＝60°，

又∵CD＝DH，

∴△CDH是等边三角形，

∴CH＝CD，

∵∠BCA＝∠HCD＝60°，

∴∠BCH＝∠ACD，

在△BCH和△ACD中，

，

∴△BCH≌△ACD（SAS），

∴AD＝BH，

∴BD＝BH+DH＝AD+CD．