天津市和平区2017年中考数学一模试卷(含解析)

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．cos45°的值等于（　　）

A．    B．    C．    D．1

2．点（2，﹣4）在反比例函数y=的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　）

A．（2，4）    B．（﹣1，﹣8）    C．（﹣2，﹣4）    D．（4，﹣2）

3．如图是某体育馆内的颁奖台，其主视图是（　　）

A．    B．    C．    D．

4．如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=（　　）

A．    B．    C．    D．1

5．下列四组图形中，一定相似的图形是（　　）

A．各有一个角是30°的两个等腰三角形

B．有两边之比都等于2：3的两个三角形

C．各有一个角是120°的两个等腰三角形

D．各有一个角是直角的两个三角形

6．布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二个球，这时得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是（　　）

A．    B．    C．    D．

7．如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上的点作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，若∠A=25°，则∠D的大小是（　　）

A．25°    B．40°    C．50°    D．65°

8．如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为（　　）

A．2    B．3    C．4    D．5

9．下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（　　）

A．    B．    C．    D．

10．已知A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是反比例函数y=上的三点，若x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，则下列关系式不正确的是（　　）

A．x1•x2＜0    B．x1•x3＜0    C．x2•x3＜0    D．x1+x2＜0

11．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．若=，则的值为（　　）

A．    B．    C．1    D．

12．对于下列结论：

①二次函数y=6x2，当x＞0时，y随x的增大而增大．

②关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1．

③设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是c≥3．

其中，正确结论的个数是（　　）

A．0个    B．1个    C．2个    D．3个

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分）.

13．从 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是 　　

14．如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是　　．

15．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），计划安排15场比赛，应邀请　　支球队参加比赛．

16．如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为　　．

17．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N，若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为　　．

18．如图，是由边长相等的小正方形组成的网格，点A，B，C均在格点上，连接BC．

（1）tan∠ABC的值等于　　；

（2）在网格中，用无刻度直尺，画出∠CBD，使tan∠CBD=．

三、解答题：本大题共7小题，共66分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．

19．解下列方程．

（1）x（x﹣2）﹣（x﹣2）=0；

（2）x2+x=1．

20．已知二次函数y=5x2﹣12x+7．

（1）求自变量x=1时的函数值；

（2）求该二次函数的图象与x轴公共点的坐标．

21．已知，点B是半径OA的中点，过点B作BC⊥OA交⊙O于点C．

（1）如图①，若BC=，求⊙O的直径；

（2）如图②，点D是上一点，求∠ADC的大小．

22．如图，A，B两地之间有条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．已知BC=11km，∠A=45°，∠B=37°，桥DC和AB平行，桥DC与桥EF的长相等．

（1）求点D到直线AB的距离；

（2）现在从A地到B地可比原来少走多少路程？

（结果保留小数点后一位．参考数据：≈1.41，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）．

23．某超市在五十天内试销一款成本为40元/间的新型商品，此款商品在第x天的销售量p（件）与销售的天数x的关系为p=120﹣2x，销售单价q（元/件）与x满足：当1≤x＜25时，q=x+60；当25≤x≤50时，q=40+．

（1）求该超市销售这款商品第x天获得的利润y（元）关于x的函数关系式；

（2）这五十天，该超市第几天获得的利润最大？最大利润为多少？

24．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，8），点B（m，0），且m＞0．把△AOB绕点A逆时针旋转90°，得△ACD，点O，B旋转后的对应点为C，D．

（1）点C的坐标为　　；

（2）①设△BCD的面积为S，用含m的式子表示S，并写出m的取值范围；

②当S=6时，求点B的坐标（直接写出结果即可）．

25．已知抛物线C：y=x2﹣4x．

（1）求抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（2）将抛物线C向下平移，得抛物线C′，使抛物线C′的顶点落在直线y=﹣x﹣7上．

①求抛物线C′的解析式；

②抛物线C′与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧），抛物线C′的对称轴于x轴的交点为N，点M是线段AN上的一点，过点M作直线MF⊥x轴，交抛物线C′于点F，点F关于抛物线对称轴的对称点为D，点P是线段MF上一点，且MP=MF，连接PD，作PE⊥PD交x轴于点E，且PE=PD，求点E的坐标．

2017年天津市和平区中考数学一模试卷

参与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．cos45°的值等于（　　）

A．    B．    C．    D．1

【考点】特殊角的三角函数值．

【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．

【解答】解：cos45°=．

故选B．

2．点（2，﹣4）在反比例函数y=的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　）

A．（2，4）    B．（﹣1，﹣8）    C．（﹣2，﹣4）    D．（4，﹣2）

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】由点（2，﹣4）在反比例函数图象上结合反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k值，再去验证四个选项中横纵坐标之积是否为k值，由此即可得出结论．

【解答】解：∵点（2，﹣4）在反比例函数y=的图象上，

∴k=2×（﹣4）=﹣8．

∵A中2×4=8；B中﹣1×（﹣8）=8；C中﹣2×（﹣4）=8；D中4×（﹣2）=﹣8，

∴点（4，﹣2）在反比例函数y=的图象上．

故选D．

3．如图是某体育馆内的颁奖台，其主视图是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．

【解答】解：从颁奖台正面看所得到的图形为A．

故选A．

4．如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=（　　）

A．    B．    C．    D．1

【考点】平行线分线段成比例．

【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解．

【解答】解：∵a∥b∥c，

∴==．

故选B．

5．下列四组图形中，一定相似的图形是（　　）

A．各有一个角是30°的两个等腰三角形

B．有两边之比都等于2：3的两个三角形

C．各有一个角是120°的两个等腰三角形

D．各有一个角是直角的两个三角形

【考点】相似图形．

【分析】利用相似图形的定义逐一判断后即可确定正确的选项．

【解答】解：A、各有一顶角或底角是30°的两个等腰三角形相似，故错误，不符合题意；

B、有两边之比为2：3的两个三角形不一定相似，故错误，不符合题意；

C、各有一个角是120°的两个等腰三角形相似，正确，符合题意；

D、两个直角三角形不一定相似，故错误，不符合题意；

故选C．

6．布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二个球，这时得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】列表法与树状图法．

【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．

【解答】解：画树状图如下：

一共有6种情况，“一红一黄”的情况有2种，

∴P（一红一黄）==．

故选C．

7．如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上的点作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，若∠A=25°，则∠D的大小是（　　）

A．25°    B．40°    C．50°    D．65°

【考点】切线的性质．

【分析】由OA=OC，∠A=25°，推出∠A=∠OCA=25°，推出∠DOC=∠A+∠OCA=50°，由CD是⊙O的切线，推出OC⊥CD，推出∠OCD=90°，推出∠D=90°﹣∠DOC=40°．

【解答】解：∵OA=OC，∠A=25°，

∴∠A=∠OCA=25°，

∴∠DOC=∠A+∠OCA=50°，

∵CD是⊙O的切线，

∴OC⊥CD，

∴∠OCD=90°，

∴∠D=90°﹣∠DOC=40°，

故选B．

8．如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为（　　）

A．2    B．3    C．4    D．5

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的性质．

【分析】根据点A在反比例函数图象上结合反比例函数系数k的几何意义，即可得出关于k的含绝对值符号的一元一次方程，解方程求出k值，再结合反比例函数在第一象限内有图象即可确定k值．

【解答】解：∵点A是反比例函数y=图象上一点，且AB⊥x轴于点B，

∴S△AOB=|k|=2，

解得：k=±4．

∵反比例函数在第一象限有图象，

∴k=4．

故选C．

9．下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．

【解答】解：A、主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，故A错误；

B、主视图是第一层两个小正方形，第二层中间一个小正方形，第三层中间一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小正方形，故B错误；

C、主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故C正确；

D、主视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层左边一个小正方形，故D错误；

故选：C．

10．已知A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是反比例函数y=上的三点，若x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，则下列关系式不正确的是（　　）

A．x1•x2＜0    B．x1•x3＜0    C．x2•x3＜0    D．x1+x2＜0

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】根据反比例函数y=和x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，可得点A，B在第三象限，点C在第一象限，得出x1＜x2＜0＜x3，再选择即可．

【解答】解：∵反比例函数y=中，1＞0，

∴在每一象限内，y随x的增大而减小，

∵x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，

∴点A，B在第三象限，点C在第一象限，

∴x1＜x2＜0＜x3，

∴x1•x2＞0，

故选A．

11．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．若=，则的值为（　　）

A．    B．    C．1    D．

【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理；圆周角定理．

【分析】由E为线段AB中点，AD=DF找出ED=BF，再由同弦的圆周角相等和对顶角相等得出△AED∽△CEB，由相似三角形的性质即可得出结论．

【解答】解：∵点E为线段AB中点，AD=DF，

∴DE为△ABF的中位线，

∴ED=BF．

∵∠DAE=∠BCE（同弦的圆周角相等），∠AED=∠CEB，

∴△AED∽△CEB，

∴=，

又∵=，ED=BF，

∴=．

故选D．

12．对于下列结论：

①二次函数y=6x2，当x＞0时，y随x的增大而增大．

②关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1．

③设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是c≥3．

其中，正确结论的个数是（　　）

A．0个    B．1个    C．2个    D．3个

【考点】二次函数的性质；一元二次方程的解．

【分析】①根据二次函数的性质即可得出抛物线y=6x2的对称轴为y轴，结合a=6＞0即可得出当x＞0时，y随x的增大而增大，结论①正确；

②将x=﹣2和1代入一元二次方程可得出x+m的值，再令x+m+2=该数值可求出x值，从而得出结论②正确；

③由“当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0”可得出当x=1时y=0且抛物线的对称轴≥2，解不等式即可得出b≤﹣4、c≥3，结论③正确．综上即可得出结论．

【解答】解：①∵在二次函数y=6x2中，a=6＞0，b=0，

∴抛物线的对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而增大，

∴①结论正确；

②∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，

∴x+m=﹣2+m或1+m，

∴方程a（x+m+2）2+b=0中，

x+m+2=﹣2+m或x+m+2=1+m，

解得：x1=﹣4，x2=﹣1，

∴②结论错误；

③∵二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，

∴，

解得：b≤﹣4，c≥3，

∴结论③正确．

故选C．

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分）.

13．从 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是 　　

【考点】概率公式．

【分析】从该组数据中找出3的倍数，根据概率公式解答即可．

【解答】解：3的倍数有3，6，9，

则十个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是．

故答案为：．

14．如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是　60°　．

【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．

【分析】根据等边三角形的性质以及旋转的性质得出旋转角，进而得出∠EAF的度数．

【解答】解：∵将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，

∴旋转角为60°，E，F是对应点，

则∠EAF的度数为：60°．

故答案为：60°．

15．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），计划安排15场比赛，应邀请　6　支球队参加比赛．

【考点】一元二次方程的应用．

【分析】设邀请x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球队和其他球队打（x﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．

【解答】解：设邀请x个球队参加比赛，

依题意得1+2+3+…+x﹣1=15，

即=15，

∴x2﹣x﹣30=0，

∴x=6或x=﹣5（不合题意，舍去）．

即应邀请6个球队参加比赛．

故答案为：6．

16．如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为　2　．

【考点】正多边形和圆．

【分析】连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，先求出圆的半径，在RT△OEM中利用30度角的性质即可解决问题．

【解答】解；连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=4，∠ABC=90°，

∴AC是直径，AC=4，

∴OE=OF=2，∵OM⊥EF，

∴EM=MF，

∵△EFG是等边三角形，

∴∠GEF=60°，

在RT△OME中，∵OE=2，∠OEM=∠GEF=30°，

∴OM=，EM=OM=，

∴EF=2．

故答案为2．

17．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N，若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为　a2　．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解．

【解答】解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°，

又∵∠EPM=∠EQN=90°，

∴∠PEQ=90°，

∴∠PEM+∠MEQ=90°，

∵三角形FEG是直角三角形，

∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，

∴∠PEM=∠NEQ，

∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°，

∴EP=EQ，四边形PCQE是正方形，

在△EPM和△EQN中，

，

∴△EPM≌△EQN（ASA）

∴S△EQN=S△EPM，

∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，

∵正方形ABCD的边长为a，

∴AC=a，

∵EC=2AE，

∴EC=a，

∴EP=PC=a，

∴正方形PCQE的面积=a×a=a2，

∴四边形EMCN的面积=a2，

故答案为： a2．

18．如图，是由边长相等的小正方形组成的网格，点A，B，C均在格点上，连接BC．

（1）tan∠ABC的值等于　　；

（2）在网格中，用无刻度直尺，画出∠CBD，使tan∠CBD=．

【考点】解直角三角形．

【分析】（1）根据三角函数的定义即刻得到结论；

（2）根据三角函数值作出图形即可．

【解答】解：（1）如图，在Rt△BCE中，tan∠ABC=，

故答案为：；

（2）如图所示，tan∠CBD=．

三、解答题：本大题共7小题，共66分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．

19．解下列方程．

（1）x（x﹣2）﹣（x﹣2）=0；

（2）x2+x=1．

【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣公式法．

【分析】（1）利用因式分解法解方程；

（2）先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程．

【解答】解：（1）（x﹣2）（x﹣1）=0，

所以x1=2，x2=1；．

（2）x2+x﹣1=0，

△=12﹣4×1×（﹣1）=5，

x=，

所以x1=，x2=．

20．已知二次函数y=5x2﹣12x+7．

（1）求自变量x=1时的函数值；

（2）求该二次函数的图象与x轴公共点的坐标．

【考点】抛物线与x轴的交点．

【分析】（1）将x=1代入二次函数y=5x2﹣12x+7即可；

（2）令有y=0，可得二次函数的图象与x轴公共点的坐标．

【解答】解：（1）当x=1时，y=5﹣12+7=0，

∴自变量x=1时的函数值是0；

（2）令y=0，得5x2﹣12x+7=0，

解得x1=1，x2=，

∴该二次函数的图象与x轴公共点的坐标为（1，0）和（，0）

21．已知，点B是半径OA的中点，过点B作BC⊥OA交⊙O于点C．

（1）如图①，若BC=，求⊙O的直径；

（2）如图②，点D是上一点，求∠ADC的大小．

【考点】圆周角定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆内接四边形的性质．

【分析】（1）连接OC，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可；

（2）在⊙O上取一点E，连接AC，CE，连接OC，解直角三角形求出∠AOC，根据圆周角定理求出∠E，根据圆内接四边形的性质求出即可．

【解答】解：（1）

连接OC，

设OA=OC=R，则OB=AB=R，

∵BC⊥OA，

∴∠CBO=90°，

由勾股定理得：OC2=BC2+OB2，

即R2=（）2+（R）2，

解得：R=2，

即⊙O的直径是4；

（2）在⊙O上取一点E，连接AC，CE，连接OC，

由（1）可知：sin∠BOC==，

∴∠BOC=60°，

∴∠E=∠AOC=30°，

∵A、E、C、D四点共圆，

∴∠ADC+∠E=180°，

∴∠ADC=150°．

22．如图，A，B两地之间有条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．已知BC=11km，∠A=45°，∠B=37°，桥DC和AB平行，桥DC与桥EF的长相等．

（1）求点D到直线AB的距离；

（2）现在从A地到B地可比原来少走多少路程？

（结果保留小数点后一位．参考数据：≈1.41，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）．

【考点】解直角三角形的应用．

【分析】（1）过点D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G，根据平行四边形的判定得出DCBG为平行四边形，在Rt△DGH中，根据DH=DG•sin37，即可求出点D到直线AB的距离；

（2）根据（1）先求出GH、AD和AH的长，再根据两条路线路程之差为AD+DG﹣AG，代值计算即可得出答案．

【解答】解：（1）如图，过点D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G，

∵DC∥AB，

∴四边形DCBG为平行四边形．

∴DC=GB，GD=BC=11．

在Rt△DGH中，

DH=DG•sin37°≈11×0.60=6.60，

∴点D到直线AB的距离是6.60km；

（2）根据（1）得：

GH=DG•cos37°≈11×0.80≈8.80，

在Rt△ADH中，

AD=DH≈1.41×6.60≈9.31．

AH=DH≈6.60，

∵两条路线路程之差为AD+DG﹣AG，

∴AD+DG﹣AG=（9.31+11）﹣（6.60+8.80）≈4.9（km）．

即现在从A地到B地可比原来少走约4.9km．

23．某超市在五十天内试销一款成本为40元/间的新型商品，此款商品在第x天的销售量p（件）与销售的天数x的关系为p=120﹣2x，销售单价q（元/件）与x满足：当1≤x＜25时，q=x+60；当25≤x≤50时，q=40+．

（1）求该超市销售这款商品第x天获得的利润y（元）关于x的函数关系式；

（2）这五十天，该超市第几天获得的利润最大？最大利润为多少？

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）根据y=p（q﹣40），根据1≤x＜25时，q=x+60；25≤x≤50时，q=40+分别代入可得；

（2）根据二次函数的性质和反比例函数的性质分别求得最大值，比较可得．

【解答】解：（1）y=p（q﹣40），

当1≤x＜25时，y=（x+60﹣40）=﹣2x2+80x+2400；

当25≤x≤50时，y=（40+﹣40）=﹣2250；

（2）当1≤x＜25时，y=﹣2x2+80x+2400=﹣2（x﹣20）2+3200，

∴当x=20时，y取得最大值3200；

当25≤x≤50时，y=﹣2250，

当x=25时，y取得最大值为3150；

答：该超市第20天获得的利润最大，最大利润为3200元．

24．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，8），点B（m，0），且m＞0．把△AOB绕点A逆时针旋转90°，得△ACD，点O，B旋转后的对应点为C，D．

（1）点C的坐标为　（8，8）　；

（2）①设△BCD的面积为S，用含m的式子表示S，并写出m的取值范围；

②当S=6时，求点B的坐标（直接写出结果即可）．

【考点】三角形综合题．

【分析】（1）由旋转的性质得出AC=AO=8，∠OAC=90°，得出C（8，8）即可；

（2）①由旋转的性质得出DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，得出∠ACE=90°，证出四边形OACE是矩形，得出DE⊥x主，OE=AC=8，分三种情况：

a、当点B在线段OE的延长线上时，得出BE=OB﹣OE=m﹣8，由三角形的面积公式得出S=m2﹣4m（m＞8）即可；

b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，BE=OE﹣OB=8﹣m，由三角形的面积公式得出S=﹣m2+4m（0＜m＜8）即可；

c、当点B与E重合时，即m=8，△BCD不存在；

②当S=6，m＞8时，得出m2﹣4m=6，解方程求出m即可；

当S=6，0＜m＜8时，得出﹣m2+4m=6，解方程求出m即可．

【解答】解：（1）∵点A（0，8），

∴AO=8，

∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，

∴AC=AO=8，∠OAC=90°，

∴C（8，8），

故答案为：（8，8）；

（2）①延长DC交x轴于点E，

∵点B（m，0），

∴OB=m，

∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，

∴DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，

∴∠ACE=90°，

∴四边形OACE是矩形，

∴DE⊥x主，OE=AC=8，

分三种情况：

a、当点B在线段OE的延长线上时，如图1所示：

则BE=OB﹣OE=m﹣8，

∴S=DC•BE=m（m﹣8），

即S=m2﹣4m（m＞8）；

b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，如图2所示：

则BE=OE﹣OB=8﹣m，

∴S=DC•BE=m（8﹣m），

即S=﹣m2+4m（0＜m＜8）；

c、当点B与E重合时，即m=8，△BCD不存在；

综上所述，S=m2﹣4m（m＞8），或S=﹣m2+4m（0＜m＜8）；

②当S=6，m＞8时， m2﹣4m=6，

解得：m=4±2（负值舍去），

∴m=4+2；

当S=6，0＜m＜8时，﹣m2+4m=6，

解得：m=2或m=6，

∴点B的坐标为（4+2，0）或（2，0）或（6，0）．

25．已知抛物线C：y=x2﹣4x．

（1）求抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（2）将抛物线C向下平移，得抛物线C′，使抛物线C′的顶点落在直线y=﹣x﹣7上．

①求抛物线C′的解析式；

②抛物线C′与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧），抛物线C′的对称轴于x轴的交点为N，点M是线段AN上的一点，过点M作直线MF⊥x轴，交抛物线C′于点F，点F关于抛物线对称轴的对称点为D，点P是线段MF上一点，且MP=MF，连接PD，作PE⊥PD交x轴于点E，且PE=PD，求点E的坐标．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（2）①可设平移后的抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣m，可求得其顶点坐标，代入直线y=﹣x﹣7，可求得m的值，则可求得抛物线C′的解析式；②连接FD，由条件可证明△EPM≌△PDF，可求得PM=DF，EM=PF，设出F点坐标，则可分别表示出PM和DF的长，由条件可得到关于点F坐标的方程，可求得M、F的坐标，则可出E点坐标．

【解答】解：

（1）∵y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，

∴抛物线开口向上，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，﹣4）；

（2）①设抛物线C′的解析式为y=（x﹣2）2﹣4﹣m，

则抛物线C′的顶点坐标为（2，﹣4﹣m），

∵抛物线C′的顶点落在直线y=﹣x﹣7上，

∴﹣4﹣m=﹣2﹣7，解得m=5；

②如图，连接FD，

由①可得抛物线C′的解析式为y=x2﹣4x﹣5，

令y=0可得x2﹣4x﹣5=0，解得x=﹣1或x=5，

∵点A在点B的左侧，

∴A（﹣1，0），B（5，0），

∵点F关于抛物线对称轴对称点为D，且MF⊥x轴，

∴DF⊥MF，

∴∠EMP=∠PFD=90°，

∵PE⊥PD，

∴∠EPD+∠MPE=∠EPD+∠D=90°，

∴∠MPE=∠D，

在△EPM和△PDF中

∴△EPM≌△PDF（AAS），

∴PM=DF，EM=PF，

设点F坐标为（t，t2﹣4t﹣5），

∵点M在线段AN上，

∴﹣1＜t＜2，

∴DF=2（2﹣t），PM=﹣（t2﹣4t﹣5），

∵PM=DF，

∴2（2﹣t）=﹣（t2﹣4t﹣5），解得t=1或t=11（不合题意，舍去），

∴M（1，0），F（1，﹣8），

∴MF=8，MP=2，

∴PF=8﹣2=6，

∴EM=PF=6，

∴OE=OM+ME=7，

∴E点坐标为（7，0）．