2008年高考湖北数学理(含答案)

（湖北卷）

数学（理工农医类）

一、选择题：本次题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设, ,则

A.　　　　B.           C.                D. 

2.若非空集合满足，且不是的子集，则

A. “”是“”的充分条件但不是必要条件

B. “”是“”的必要条件但不是充分条件

C. “”是“”的充要条件

D. “”既不是“”的充分条件也不是“”必要条件

3.用与球心距离为的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为

A.          B.          C.          D.       

4.函数的定义域为

A.            B. 

C.  　　　　　 　　 D. 

5.将函数的图象F按向量平移得到图象,若的一条对称轴是直线,则的一个可能取值是

A.         B.          C.         D. 

6.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为

A. 540              B. 300              C. 180            D. 150

7.若上是减函数，则的取值范围是 

A.      B.       C.      D. 

8.已知,，若,则

A．          B．         C．        D． 

9.过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有

A.  16条         B. 17条        C. 32条        D. 34条

10.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：

①;    ②;     ③;      ④＜.

其中正确式子的序号是

A. ①③　　　　　　　B. ②③　　　   　C. ①④　　  　  　D. ②④

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上.

11.设(其中表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是，则z2的虚部为       .

12．在△中，三个角的对边边长分别为,则的值为          .

13.已知函数, ,其中,为常数，则方程的解集为             .

14.已知函数,等差数列的公差为.若,则

            .

15.观察下列等式：

……………………………………

可以推测，当≥2（）时，          

           .

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）将函数化简成（，）的形式；

（Ⅱ）求函数的值域.

17.（本小题满分12分）

袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有个（=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.表示所取球的标号.

（Ⅰ）求的分布列，期望和方差；

（Ⅱ）若, , ,试求a,b的值.

18.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，平面侧面.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若直线与平面所成的角为,二面角的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明.

19.（本小题满分13分）

如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，是半圆弧上一点，

，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点.

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；

（Ⅱ）设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、.

若△的面积不小于，求直线斜率的取值范围.

20.(本小题满分12分)

水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于的近似函数关系式为

（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第1月份（）,同一年内哪几个月份是枯水期？

（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）.

21.(本小题满分14分)

已知数列和满足：,其中为实数，为正整数.

（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；

（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；

（Ⅲ）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（理工农医类）试题参

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分50分.

1.C     2.B 3.B 4.D 5.A 6.D 7.C 8.A 9.C 10.B

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分25分.

11.1　　12.　13.　14.-6　15.，0

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

16.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分）

解：（Ⅰ）

    　＝

（Ⅱ）由得

在上为减函数，在上为增函数，

又（当），

即

故g(x)的值域为

17.本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力.（满分12分）

解：（Ⅰ）的分布列为：

（Ⅱ）由，得a2×2.75＝11，即又所以

当a=2时，由1＝2×1.5+b,得b=-2; 

当a=-2时，由1＝-2×1.5+b，得b=4.    

∴或即为所求.

18.本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力.（满分12分）

（Ⅰ）证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作

AD⊥A1B于D，则

由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B,得

AD⊥平面A1BC,又BC平面A1BC，所以AD⊥BC.

因为三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，

所以AA1⊥BC.

又AA1AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1，

又AB侧面A1ABB1，故AB⊥BC.

（Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知是直线AC与平面A1BC所成的角，

是二面角A1—BC—A的平面角，即

于是在Rt△ADC中，在Rt△ADB中， 

由AB＜AC，得又所以

解法2：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=a,AC=b,

AB=c,则 B(0,0,0), A(0,c,0),于是

设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z)，则

由得

可取n=(0,-a,c)，于是与n的夹角为锐角，则与互为余角.

所以

于是由c＜b，得

即又所以

19.本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.（满分13分）

（Ⅰ）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依题意得

｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝＜｜AB｜＝4.

∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.

设实平轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，

则c＝2，2a＝2，∴a2=2,b2=c2-a2=2.

∴曲线C的方程为.

解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得

｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜｜AB｜＝4.

∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.

设双曲线的方程为＞0，b＞0）.

则由解得a2=b2=2,

∴曲线C的方程为

(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0.

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴  

∴k∈（-,-1）∪（-1，1）∪（1，）.

设E（x，y），F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=,于是

｜EF｜＝

＝

而原点O到直线l的距离d＝，

∴S△DEF=

若△OEF面积不小于2,即S△OEF，则有

        ③

综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1]∪(1-,1) ∪(1,).

解法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，

得（1-k2）x2-4kx-6=0.

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴  .

∴k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）.

设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得

｜x1-x2｜=           ③

当E、F在同一去上时（如图1所示），

S△OEF＝

当E、F在不同支上时（如图2所示）.

S△ODE=

综上得S△OEF＝于是

由｜OD｜＝2及③式，得S△OEF=

若△OEF面积不小于2

     　④

综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1]∪（-1，1）∪（1，）.

20.本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力.（满分12分）

解：（Ⅰ）①当0＜t10时，V(t)=(-t2+14t-40) 

化简得t2-14t+40>0,

解得t＜4，或t＞10，又0＜t10，故0＜t＜4.

②当10＜t12时，V（t）＝4（t-10）（3t-41）+50＜50,

化简得（t-10）（3t-41）＜0,

解得10＜t＜，又10＜t12,故 10＜t12.

综合得0故知枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月共6个月.

(Ⅱ)(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到.

由V′（t）= 

令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).

当t变化时，V′(t) 与V (t)的变化情况如下表：

故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米

21.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分）

（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列，则有a22=a1a3,即

矛盾.

所以｛an｝不是等比数列.

(Ⅱ)解：因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14)

= (-1)n·（an-3n+21）=-bn

又b1x-(λ+18),所以

当λ＝－18，bn=0(n∈N+),此时｛bn｝不是等比数列：

当λ≠－18时，b1=(λ+18) ≠0,由上可知bn≠0，∴(n∈N+).

故当λ≠-18时，数列｛bn｝是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列.

(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.

∴λ≠-18，故知bn= -（λ+18）·（－）n-1，于是可得

Sn=-

要使a即a<- (λ+18)·［1－（－）n］〈b(n∈N+)     

   ①

当n为正奇数时，1∴f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)=,

于是，由①式得a<- (λ+18),< 

当a当b>3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a