2022年中考数学专题复习：几何探究问题

1．如图，在等腰中，，，点D，E分别在边，上，将线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段．

(1)如图1，若，点E与点C重合，与相交于点O．求证：．

(2)如图2，若，，连接，求的长．

(3)如图3，若，且点A、E、F共线时，请补全图形，并请直接写出的长．

2．如图，是菱形的对角线，将线段绕点B逆时针旋转得线段，的平分线与边交点为E．

(1)如图1，点F在的延长线上，求证：平分；

(2)如图2，点P在上，若，求的值；

(3)如图3，若与交于点G，延长、交于点M，延长、交于点H，已知，求的值．

3．如图，BD是菱形ABCD的对角线，将线段BC绕点B逆时针旋转得线段BF，∠FBC的平分线与边CD的交点为E．

(1)如图1，若点F在AD的延长线上，求证：∠A＝∠BFE；

(2)如图2，若点F在对角线BD上，且，求的值；

(3)如图3，若BE＝BC，EF与AD交于点G，延长EF、BA交点为M，延长BE、AD交点为H，且，求的值．

4．综合与实践

问题情境：已知正方形边长为1，G是边的中点，E是射线上的一个动点．

解决问题：（1）如图①，若点E与点C重合，过点E作于点M，交边于点F，判断线段与的数量关系，并说明理由；

初步探究：（2）如图②，若点E在线段上且点E与点C不重合，连接，将沿着翻折，使点C落在上的点M处，连接并延长交边于点F且，求的值；

深入探究：（3）若点E与点C不重合，以点C为圆心，线段的长为半径作，请探究点E运动到什么位置时，与线段只有一个公共点．

5．如图，在矩形中，平分交于点E．连接，点F是上一动点，过点F作CE交于点G．将绕点B旋转得到．

(1)如图1，连接，求证：；

(2)当点恰好落在直线上时，若，求的值；

(3)如图3，连接，当与交于点F时，猜想与的数量关系，并证明．

6．在矩形中，，点、分别是边、上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处．

(1)如图1，当与线段交于点时，求证：；

(2)如图2，当点在线段的延长线上时，连结交于点，连结．求证：．

(3)当时，在点由点移动到中点的过程中，直接写出点运动的路线长．

7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tanA＝，D、E分别是边AB、AC上的点．

(1)如图1，AB＝4，DE垂直平分AB，求线段CE的长度；

(2)如图2，CD⊥BE，，求tan∠ABE；

(3)如图3，AC＝6，将△ABC沿DE折叠，使A点落到直线AC上的H点，若△BDH为直角三角形，请直接写出线段DE的长度为 　   　．

8．在△ABC中，，，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为，得到线段PD，连接DB，DC．

(1)如图1，当时，填空：

①线段PA与DC的数量关系是______；②∠DCP的度数是______；

(2)如图2，当时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，不成立，说明理由．

(3)当时，若，，请直接写出点D到CP的距离．

9．如图，Rt△ABC中，，D是AB边上的点，．

(1)如图1，求证：；

(2)如图2，过点A作于点M，交BC于点E，如果，求的值；

(3)如图3，点N为CD延长线上一点，连接BN，如果，，，求DN的长．

10．问题探究

(1)如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E在AB上，过E作ED⊥BC于D，连接CE，F为CE中点．连接AF，DF．直接写出AF，DF的数量关系；

(2)在（1）的条件下，将Rt△BDE绕点B顺时针旋转一定角度．如图2，证明（1）中的结论仍然成立．

问题拓展

(3)如图3，已知等边△BDE和等腰△ABC，其中AB＝AC，∠BAC＝120°．连接CE，F为CE的中点，连接AF，DF，AF，DF有怎样的数量关系？给出结论并证明．

11．【基础巩固】

（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过A、B两点作AE⊥l，BD⊥l，垂足分别为E、D，求证：△BDC∽△CEA；

【尝试应用】

（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，过D作AD的垂线交AB于点E．若BE＝DE，tan∠BAD＝，AC=20，求BD的长．

【拓展提高】

（3）如图3，在▱ABCD中，在BC上取点E，若∠AED＝90°，AE＝AB，＝，CD＝，求的面积．

12．如图，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，AC=BC，DE=DF．边AB，EF的中点重合于点O，连接BF，CD．

(1)如图①，当FE⊥AB时，易证BF=CD（不需证明）；

(2)当△DEF绕点O旋转到如图②位置时，猜想BF与CD之间的数量关系，并证明；

(3)当△ABC与△DEF均为等边三角形时，其他条件不变，如图③，猜想BF与CD之间的数量关系，直接写出你的猜想，不需证明．

13．已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（α＜90°），CD⊥AB于点D，点E是AC边上一动点（不与点C重合），EF⊥BC于点F，EF与CD交于点G．

(1)当E点与A点重合时，如图1，若α=45°，猜想CF与EG的数量关系．

(2)当E点与A点不重合时，

①若α=45°，如图2，第（1）题中的结论是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；

②若α≠45°，如图3，请直接写出的值（用含有α的三角函数表示）．

14．在中，，点（与点不重合）为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．

(1)如果．如图①，且点在线段上运动．试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论．

(2)如果，如图②，且点在线段上运动．（1）中结论是否成立，为什么？

(3)若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点，设，，，求线段的长．（用含的式子表示）．

15．△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，点D是BC的中点，∠BAC＝∠EDF＝90°，点E，F分别在BA和AC的延长线上，BC的延长线交EF于点G，AF与DE交于点H．

(1)如图1，证明：FC·FH＝FG·FE；

(2)如图2，若AD＝AE，求tan∠AEF的值；

(3)如图3，若点H是DE的中点，求的值．

16．如图，在等边中，为上一点，，且．

(1)如图1，若点在边上，求证：；

(2)如图2，若点在内，连接，为的中点，连接，，求证：；

(3)如图3，点为边上一点，连接，．若的值最小时，的度数为______（直接写出结果）．

17．四边形和四边形均为正方形，正方形绕点A顺时针旋转．

(1)正方形绕点A顺时针旋转到如图①的位置时，且三点在同一直线上，则和的数量关系是_________；和的位置关系是_________；

(2)正方形绕点A顺时针旋转到如图②位置时，且点落在线段上．

①求证：；②若，求的长；

(3)如图③，若，，正方形绕点A顺时针旋转过程中，取的中点，连接，记的面积为S，求S的取值范围（直接写出结果即可）．

18．已知：如图1，△ABC中，∠CAB=120°， AC=AB，点D是BC上一点，其中∠ADC=α（30°＜α＜90°），将△ABD沿AD所在的直线折叠得到△AED，AE交CB于F，连接CE

(1)求∠CDE与∠AEC的度数（用含α的代数式表示）；

(2)如图2，当α=45°时，解决以下问题：

①已知AD=2，求CE的值；

②证明：DC-DE=AD；

19．在中，，过点B的直线，D为直线BC上的一点（不与点B重合），连结AD，过点D作交MN于点E，连结AE．

(1)如图1，当点D在线段BC上时，过点D作交AB于点F，已知，求证：；

(2)如图2，当点D在线段BC上时，若，请说明线段AD与DE之间的数量关系；

(3)当点D不在线段BC上时，若，则线段AD，DE和之间的数量关系是__________．

20．在△ABC中，AC＝BC＝，∠ACB＝120°，在△ADE中，∠DAE＝90°，∠AED＝30°，AD＝1，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．

(1)如图1，当顶点D在边AB上时，线段BE与线段CF的数量关系是          ，线段BE与线段CF的位置关系是          ；

(2)将△ADE绕点A旋转，转到图2的位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；

(3)在△ADE绕点A旋转的过程中，线段AF的最大值为          ；当DE∥CF时，线段CF的长为          ．