向量的线性运算基础测试题及答案

一、选择题

1．下列说法中，正确的是（）

A．如果k＝0，a是非零向量，那么k a＝0 B．如果e是单位向量，那么e＝1

C．如果|b|＝|a|，那么b＝a或b＝﹣a D．已知非零向量a，如果向量b＝﹣5a，那么a∥b

【答案】D

【解析】

【分析】

根据平面向量的性质一一判断即可．

【详解】

解：A、如果k＝0，a是非零向量，那么k a＝0，错误，应该是k a＝0．

B、如果e是单位向量，那么e＝1，错误．应该是e＝1．

C、如果|b|＝|a|，那么b＝a或b＝﹣a，错误．模相等的向量，不一定平行．

D、已知非零向量a，如果向量b＝﹣5a，那么a∥b，正确．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识.

2．已知一点O到平行四边形ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别为、、，则向量等于（）

A．++B．-+C．+-D．--

【答案】B

【解析】

【分析】

利用向量的线性运算，结合平行四边形的性质，即可求得结论．

【详解】

如图，

，则

-+故选B．

【点睛】

此题考查平面向量的基本定理及其意义，解题关键在于画出图形.

3．□ABCD中， -+等于( )

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

【分析】

在平行四边形中，两对对边平行且相等，以一对对边所在的线段构成向量，得到的向量要么相等，要么是相反向量，根据本题所给的两个向量来看，它们是一对相反向量，和为零向量，得到结果．

【详解】

∵在平行四边形ABCD中，与是一对相反向量，

∴ = -

∴ -+=- + =，

故选A．

【点睛】

此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于得出与是一对相反向量.

4．在四边形ABCD中，，其中与不共线，则四边形ABCD是( )

A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形

【答案】C

【解析】

【分析】

利用向量的运算法则求出，利用向量共线的充要条件判断出，得到边AD∥BC，AD=2BC，据梯形的定义得到选项.

【详解】

解：∵

，

∴，

∴AD∥BC，AD=2BC.

∴四边形ABCD为梯形.

【点睛】

本题考查向量的运算法则向量共线的充要条件、利用向量共线得到直线的关系、梯形的定义.

5．若非零向量、满足｜-｜=｜｜，则( )A．｜2｜＞｜-2｜B．｜2｜＜｜-2｜

C．｜2｜＞｜2-｜D．｜2｜＜｜2-｜

【答案】A

【解析】

【分析】

对非零向量、共线与否分类讨论，当两向量共线，则有，即可确定A、C满足；当两向量不共线，构造三角形，从而排除C，进而解答本题.

【详解】

解：若两向量共线，则由于是非零向量，且，则必有；代入可知只有A、C满足；

若两向量不共线，注意到向量模的几何意义，

故可以构造三角形，使其满足OB=AB=BC；

令，则，

∴且；

又BA+BC>AC ∴

∴.

故选A.

【点睛】

本题考查了非零向量的模，针对向量是否共线和构造三角形是解答本题的关键.

6．在中，已知是边上一点，则( ) A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据A，B，D三点共线得出入的值,即可完成解答.

【详解】

解：在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，

则，

∴，故选A.

【点睛】

本题考查了平面向量的基本定理，识记定理内容并灵活应用是解答本题的关键.

7．下列命题中，真命题的个数为( )

①方向相同②方向相反

③有相等的模 ④方向相同 A ．0 B ．1

C ．2

D ．3

【答案】C 【解析】 【分析】

直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】 解：对于①，若，则

方向相同，①正确； 对于②，若，则方向相反，②正确； 对于③，若，则方向相反，但

的模不一定，③错误； 对于④，若

，则

能推出

的方向相同，但

的方向相同，得到

④错误. 所以正确命题的个数是2个，故选:C. 【点睛】

本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题.

8．已知3a →

=，2b =，而且b 和a 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ） A ．32a b →

→

= B ．23a b →→

=

C ．32a b →→

=-

D ．23a b →→

=-

【答案】D 【解析】 【分析】

根据3,2a b ==，而且12,x x R ∈和a 的方向相反，可得两者的关系，即可求解. 【详解】

∵3,2a b ==，而且12,x x R ∈和a 的方向相反

∴32

a b =- 故选D. 【点睛】

本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键.

9．D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式不成立的是( ) A ．+ ＝

B ．++＝0

C ．

+

＝

D ．

+

＝

【答案】C 【解析】 【分析】

由加法的三角形法则化简求解即可．

由加法的三角形法则可得， + ＝, ++＝ , +＝,

+

＝

故选：B. 【点睛】

此题考查向量的加法及其几何意义，解题关键在于掌握平面向量的加法法则.

10．下列各式正确的是（ ）． A ．()

22a b c a b c ++=++ B ．()()

330a b b a ++-= C ．2AB BA AB += D ．3544a b a b a b ++-=-

【答案】D 【解析】 【分析】

根据平面向量计算法则依次判断即可. 【详解】

A 、()

222a b c a b c ++=++，故A 选项错误； B 、()()3333+33=6a b b a a b b a b ++-=+-，故B 选项错误；

C 、0AB BA +=，故C 选项错误；

D 、3544a b a b a b ++-=-，故D 选项正确； 故选D. 【点睛】

本题是对平面向量计算法则的考查，熟练掌握平面向量计算法则是解决本题的关键.

11．已知e 是一个单位向量，a 、b 是非零向量，那么下列等式正确的是（ ） A ．a e a = B ．e b b =

C ．1

a e a

=

D ．11a b a b

= 【答案】B 【解析】

长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】

A. 由于单位向量只长度，不确定方向，故错误；

B. 符合向量的长度及方向，正确；

C. 得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；

D. 左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误. 故答案选B. 【点睛】

本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.

12．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =，AD b =，那么a b +等于（ ）

A ．BD

B ．AC

C ．DB

D ．CA

【答案】B 【解析】 【分析】

由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =，然后由三角形法则，即可求得答案． 【详解】

解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，AD ∥BC ， ∵AD b =， ∴BC b =， ∵AB a =，

∴a b +=AB +BC =AC ． 故选B ．

13．下列说法正确的是（ ） A ．()0a a +-=

B ．如果a 和b 都是单位向量，那么a b =

C ．如果||||a b =，那么a b =

D ．1

2

a b =-

（b 为非零向量），那么//a b

【答案】D

【解析】

【分析】

根据向量，单位向量，平行向量的概念，性质及向量的运算逐个进行判断即可得出答案.

【详解】

解：A 、()a a +-等于0向量，而不是0，故A 选项错误；

B 、如果a 和b 都是单位向量，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故B 选项错误；

C 、如果||||a b =，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故C 选项错误；

D 、如果12

a b =-（b 为非零向量），可得到两个向量是共线向量，可得到//a b ，故D 选项正确.

故选：D. 【点睛】 本题考查向量的性质及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.

14．在矩形ABCD 中，下列结论中正确的是（ ）

A ．A

B CD =

B ．A

C B

D = C ．AO OD = D ．BO OD =- 【答案】C 【解析】

【分析】 根据相等向量及向量长度的概念逐一进行判断即可． 【详解】

相等向量：长度相等且方向相同的两个向量 ．

A. AB CD =-，故该选项错误；

B. AC BD =，但方向不同，故该选项错误；

C. 根据矩形的性质可知，对角线互相平分且相等，所以AO OD =，故该选项正确；

D. BO OD =，故该选项错误；

故选：C ．

【点睛】

本题主要考查相等向量及向量的长度，掌握相等向量的概念是解题的关键．

15．在下列关于向量的等式中，正确的是（ ）

B B

C CA =+

B ．AB B

C AC =- C ．AB CA BC =-

D ．0AB BC CA ++=

【答案】D

【解析】

【分析】 根据平面向量的线性运算逐项判断即可.

【详解】

AB AC CB =+，故A 选项错误；

AB AC BC =-，故B 、C 选项错误；

0AB BC CA ++=，故D 选正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查向量的线性运算，熟练掌握运算法则是关键.

16．已知a ，b 为非零向量，如果b ＝﹣5a ，那么向量a 与b 的方向关系是（ ） A ．a ∥b ，并且a 和b 方向一致

B ．a ∥b ，并且a 和b 方向相反

C ．a 和b 方向互相垂直

D ．a 和b 之间夹角的正切值为5

【答案】B

【解析】

【分析】

根据平行向量的性质解决问题即可．

【详解】

∵已知a ，b 为非零向量，如果b ＝﹣5a ，

∴a ∥b ，a 与b 的方向相反，

故选：B ．

【点睛】

本题考查了平面向量，熟记向量的长度和方向是解题关键．

17．已知非零向量a 、b ，且有2a b =-，下列说法中，不正确的是（ ）

A ．||2||a b =；

B ．a ∥b ；

C ．a 与b 方向相反；

D ．20a b +=．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据平行向量以及模的知识求解即可.

【详解】

A.∵2a b =-，表明向量a 与2b -是同一方向上相同的向量，自然模也相等，∴

||2||a b =，该选项不符合题意错误；

B. ∵2a b =-，表明向量a 与2b -是同一方向上相同的向量，那么它们是相互平行的，虽然2b -与b 方向相反，但还是相互平行，∴a ∥b ，该选项不符合题意错误；

C. ∵2a b =-，而2b -与b 方向相反，∴a 与b 的方向相反，该选项不符合题意错误；

D. ∵0只表示数量，不表示方向，而2a b +是两个矢量相加是带方向的，应该是02b a →→→+=，该选项符合题意正确；

故选：D

【点睛】

本题主要考查了平面向量的基本知识.

18．已知非零向量a 、b 和c ，下列条件中，不能判定a b 的是（ ）

A ．2a b =-

B ．a c =，3b c =

C ．2a b c +=，a b c -=-

D ．2a b =

【答案】D

【解析】

【分析】

根据平行向量的定义，符号相同或相反的向量叫做平行向量对各选项分析判断利用排除法求

【详解】

A 、2a b =-，两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误；

B 、a c =，3b c =，则a ∥b ∥c ，故本选项错误；

C 、由已知条件知2a b =-，3a c -=，则a ∥b ∥c ，故本选项错误；

D 、2a b =只知道两向量模的数量关系，但是方向不一定相同或相反，a 与b 不一定平行，故本选项正确．

故选：D ．

【点睛】

本题考查了平面向量，主要是对平行向量的考查，熟记概念是解题的关键．

19．设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（ ）

A ．m na mn a （）＝（）

B ． m n a ma na ++（）＝

C ．m a b ma mb +（+）＝

D ．若0ma =，那么0a =

【答案】D

【解析】

【分析】

空间向量的线性运算的理解：

（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；

（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；

（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同．

【详解】

根据向量的运算法则，即可知A （结合律）、B 、C （乘法的分配律）是正确的，D 中的0是有方向的，而0没有，所以错误．

解：∵A 、B 、C 均属于向量运算的性质，是正确的；

∵D 、如果a =0，则m=0或a =0．∴错误．

故选D ．

【点睛】

本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.

20．已知a 、b 和c 都是非零向量，在下列选项中，不能判定//a b 的是( ) A ．2a b =

B ．//a c ，//b c

C ．||||a b =

D ．12

a c =，2

b

c = 【答案】C

【解析】

【分析】

由方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断．

【详解】 A 选项：由2a b =，可以推出//a b ．本选项不符合题意；

B 选项：由//a c ，//b c ，可以推出//a b ．本选项不符合题意；

C 选项：由||||a b =，不可以推出//a b ．本选项符合题意；

D 选项：由12

a c =，2

b

c =，可以推出//a b ．本选项不符合题意；

故选：C ．

【点睛】

考查了平面向量，解题关键是熟记平行向量的定义．