2019年四川省成都市成华区中考数学一诊试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有项符合题目要求，答案涂在答题卡上）

1．（3分）2cos60°＝（  ）

A．1 B． C． D．

2．（3分）如图所示的几何体，它的左视图是（  ）

A． B． C． D．

3．（3分）某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0﹣9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开．如果仅忘记了锁设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（  ）

A． B． C． D．

4．（3分）对于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（  ）

A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上

B．它的图象在第一、三象限

C．当x＞0时，y随x的增大而增大

D．当x＜0时，y随x的增大而减小

5．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为（  ）

A．5cm B．10cm C．14cm D．20cm

6．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（  ）

A．k≤5 B．k≤5，且k≠1 C．k＜5，且k≠1 D．k＜5

7．（3分）如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC＝100米，∠PCA＝35°，则小河宽PA等于（  ）

A．100sin35°米 B．100sin55°米

C．100tan35°米 D．100tan55°米

8．（3分）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为（  ）

A．2 B．4 C．6 D．8

9．（3分）我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，由于有关房地产的新出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，最终以每平方米12150元的均价销售，则平均每次下调的百分率是（  ）

A．8% B．9% C．10% D．11%

10．（3分）如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则

①二次函数的最大值为a+b+c；

②a﹣b+c＜0；

③b2﹣4ac＜0；

④当y＞0时，﹣1＜x＜3．其中正确的个数是（  ）

A．1 B．2 C．3 D．4

二.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

11．（4分）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝     ．

12．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sin B＝     ．

13．（4分）已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为     ．

14．（4分）如图，在▱ABCD中，AD＞CD，按下列步骤作图：①分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交点分别为点F，G；②过点F，G作直线FG，交AD于点E．如果△CDE的周长为8，那么▱ABCD的周长是     ．

三、解答下列各题（本大题满分54分）

15．（12分）（1）计算：|﹣2|+tan60°﹣﹣（sin30°）0

（2）解方程：（x+1）（x﹣3）＝2x﹣5

16．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x满足x2﹣2x﹣2＝0．

17．（8分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）这次活动共调查了     人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为     ；

（2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“     ”；

（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．

18．（8分）如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速在l外取一点P，作PC⊥1，垂足为点C．测得PC＝30米，∠APC＝71°，∠BPC＝35°，测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速？（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）

19．（10分）如图，反比例函数y＝（x＞0）过点A（3，4），直线AC与x轴交于点C（6，0），过点C作x轴的垂线交反比例函数图象于点B．

（1）求反比例函数和直线AC的解析式；

（2）求△ABC的面积；

（3）在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合条件的所有D点的坐标．

20．（10分）如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合），连接AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，设＝k．

（1）求证：AE＝BF；

（2）求证：＝k；

（3）连接DF，当∠EDF＝30°时，求k的值．

B卷一、.填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

21．（4分）已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，则m＝     ．

22．（4分）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的余弦值是     ．

23．（4分）从﹣1，2，3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点（m，n）在函数y＝图象上的概率是     ．

24．（4分）如图点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，作Rt△ABC，直角边BC在x轴上，点D为斜边AC的中点，直线BD交y轴于点E，若△BCE的面积为8，则k＝     ．

25．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝x+m与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是     ．

二、解谷题（本大题共30分）

26．（10分）某农户承包荒山种植某产品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．

（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？

27．（10分）如果a：b＝b：c，即b2＝ac，则b叫a和c的比例中项，或等比中项．若一个三角形一条边是另两条边的等比中项，我们把这个三角形叫做等比三角形．

（1）已知△ABC是等比三角形，AB＝2，BC＝3．请直接写出所有满足条件的AC的长；

（2）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC，求证：△ABC是等比三角形；

（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC＝90时，求的值．

28．（10分）系统找不到该试题

2019年四川省成都市成华区中考数学一诊试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有项符合题目要求，答案涂在答题卡上）

1．【解答】解：2cos60°＝2×＝1．

故选：A．

2．【解答】解：如图所示的几何体的左视图为：．

故选：D．

3．【解答】解：∵共有10个数字，

∴一共有10种等可能的选择，

∵一次能打开密码的只有1种情况，

∴一次能打开该密码的概率为．

故选：B．

4．【解答】解：A、把点（﹣2，﹣1）代入反比例函数y＝得﹣1＝﹣1，故A选项正确；

B、∵k＝2＞0，∴图象在第一、三象限，故B选项正确；

C、当x＞0时，y随x的增大而减小，故C选项错误；

D、当x＜0时，y随x的增大而减小，故D选项正确．

故选：C．

5．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA＝AC＝×6＝3cm，

OB＝BD＝×8＝4cm，

根据勾股定理得，AB＝＝＝5cm，

所以，这个菱形的周长＝4×5＝20cm．

故选：D．

6．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，

∴，

解得：k≤5且k≠1．

故选：B．

7．【解答】解：∵PA⊥PB，PC＝100米，∠PCA＝35°，

∴小河宽PA＝PCtan∠PCA＝100tan35°米．

故选：C．

8．【解答】解：∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，

∴△ADC∽△ACB，

∴＝，

∴AC2＝AD•AB＝2×8＝16，

∵AC＞0，

∴AC＝4，

故选：B．

9．【解答】解：设平均每次下调的百分率为x

则：1500•（1﹣x）•（1﹣x）＝12150

∴（1﹣x）2＝0.81

∴1﹣x＝0.9或1﹣x＝﹣0.9

解得：x＝0.1或x＝1.9

∵x＜1

∴x＝1.9（舍）

∴x＝0.1

答：平均每次下调的百分率为10%．

故选：C．

10．【解答】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，且开口向下，

∴x＝1时，y＝a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；

②当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，故②错误；

③图象与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误；

④∵图象的对称轴为x＝1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），

∴A（3，0），

故当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确．

故选：B．

二.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

11．【解答】解：∵2（n≠0）是关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0的一个根，

∴4+2m+2n＝0，

∴n+m＝﹣2，

故答案为：﹣2．

12．【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，

设BC＝x，则AC＝3x，

∴AB＝＝x．

∴sinB＝＝＝．

故答案为．

13．【解答】解：设四边形BCED的面积为x，则S△ADE＝12﹣x，

∵点D、E分别是边AB、AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE∥BC，且DE＝BC，

∴△ADE∽△ABC，

则＝（）2，即＝，

解得：x＝9，

即四边形BCED的面积为9，

故答案为：9．

14．【解答】解：由图知，EF是线段AC的中垂线，

∴AE＝CE，

∵△CDE的周长为8，

∴CD+DE+CE＝CD+DE+AE＝CD+AD＝8，

则▱ABCD的周长是2×8＝16，

故答案为：16．

三、解答下列各题（本大题满分54分）

15．【解答】解：（1）原式＝2﹣+×﹣3﹣1＝1﹣；

（2）整理得：x2﹣4x+2＝0，

x2﹣4x＝﹣2，

x2﹣4x+4＝﹣2+4，即（x﹣2）2＝2，

∴x﹣2＝，

∴x1＝2+，x2＝2﹣，

16．【解答】解：原式＝[﹣]÷

＝•

＝，

∵x2﹣2x﹣2＝0，

∴x2＝2x+2＝2（x+1），

则原式＝＝．

17．【解答】解：（1）本次活动调查的总人数为（45+50+15）÷（1﹣15%﹣30%）＝200人，

则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°×＝81°，

故答案为：200、81°；

（2）微信人数为200×30%＝60人，银行卡人数为200×15%＝30人，

补全图形如下：

由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”，

故答案为：微信；

（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，

画树状图如下：

画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，

∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为＝．

18．【解答】解：在Rt△APC中，AC＝PCtan∠APC＝30tan71°≈30×2.90＝87，

在Rt△BPC中，BC＝PCtan∠BPC＝30tan35°≈30×0.70＝21，

则AB＝AC﹣BC＝87﹣21＝66，

∴该汽车的实际速度为＝11m/s，

又∵40km/h≈11.1m/s，

∴该车没有超速．

19．【解答】解：（1）把点A（3，4）代入y＝（x＞0），得

k＝xy＝3×4＝12，

故该反比例函数解析式为：y＝．

把A（3，4），C（6，0）代入y＝mx+n中，

可得：，

解得：，

所以直线AC的解析式为：y＝﹣x+8；

（2）∵点C（6，0），BC⊥x轴，

∴把x＝6代入反比例函数y＝，得

y＝＝2．

则B（6，2）．

所以△ABC的面积＝；

（3）①如图，当四边形ABCD为平行四边形时，AD∥BC且AD＝BC．

∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），

∴点D的横坐标为3，yA﹣yD＝yB﹣yC即4﹣yD＝2﹣0，故yD＝2．

所以D（3，2）．

②如图，当四边形ACBD′为平行四边形时，AD′∥CB且AD′＝CB．

∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），

∴点D的横坐标为3，yD′﹣yA＝yB﹣yC即yD﹣4＝2﹣0，故yD′＝6．

所以D′（3，6）．

③如图，当四边形ACD″B为平行四边形时，AC＝BD″且AC∥BD″．

∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），

∴xD″﹣xB＝xC﹣xA即xD″﹣6＝6﹣3，故xD″＝9．

yD″﹣yB＝yC﹣yA即yD″﹣2＝0﹣4，故yD″＝﹣2．

所以D″（9，﹣2）．

综上所述，符合条件的点D的坐标是：（3，2）或（3，6）或（9，﹣2）．

20．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD＝90°，AB＝AD，

∴∠BAF+∠DAE＝90°，

∵DE⊥AG，

∴∠ADE+∠DAE＝90°，

∴∠BAF＝∠ADE，

在△ABF和△DAE中，

，

∴△ABF≌△DAE（AAS）

∴AE＝BF；

（2）证明：∵∠BAF＝∠ADE，∠ABG＝∠DEA，

∴△ABG∽△DEA，

∴＝，又AE＝BF，

∴＝＝k；

（3）解：设DE＝a，

则AF＝a，BF＝AE＝ka，

∴EF＝a﹣ka，

在Rt△DEF中，tan∠EDF＝，即＝，

解得，k＝．

B卷一、.填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

21．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，

∴m2﹣2m＝0且m≠0，

解得，m＝2．

故答案是：2．

22．【解答】解：∵AB2＝32+42＝25、AC2＝22+42＝20、BC2＝12+22＝5，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，

则cos∠BAC＝＝，

故答案为：．

23．【解答】解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，点（m，n）恰好在反比例函数y＝图象上的有：（2，3），（﹣1，﹣6），（3，2），（﹣6，﹣1），

∴点（m，n）在函数y＝图象上的概率是：＝．

故答案为：．

24．【解答】解：∵BD为Rt△ABC的斜边AC上的中线，

∴BD＝DC，∠DBC＝∠ACB，

又∠DBC＝∠EBO，

∴∠EBO＝∠ACB，

又∠BOE＝∠CBA＝90°，

∴△BOE∽△CBA，

，即BC×OE＝BO×AB．

又∵S△BEC＝8，

∴＝8，

∴BC×OE＝16＝BO×AB＝|k|．

∵反比例函数图象在第三象限，k＞0．

∴k＝16

故答案是：16．

25．【解答】解：如图所示，过点B作直线y＝x+m1，将直线向下平移到恰在点C处相切，

则一次函数y＝x+m在两条直线之间时，两个图象有4个交点，

令y＝﹣x2+x+6＝0，解得：x＝﹣2或3，即点B坐标（3，0），

翻折抛物线的表达式为：y＝（x﹣3）（x+2）＝x2﹣x﹣6，

将一次函数与二次函数表达式联立并整理得：x2﹣2x﹣6﹣m＝0，

△＝b2﹣4ac＝4+（6+m）＝0，解得：m＝﹣10，

当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y＝x+m得：0＝3+m，解得：m＝﹣3，

故答案为：﹣6＜m＜﹣3．

二、解谷题（本大题共30分）

26．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，

将点（10，200），（15，150）代入y＝kx+b，得：

，解得：，

∴y＝﹣10x+300．

当y＝0时，﹣10x+300＝0，

解得：x＝30．

∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+300（8≤x＜30）．

（2）设每天获得的利润为w元，

根据题意得：w＝y（x﹣8）＝（﹣10x+300）（x﹣8）＝﹣10x2+380x﹣2400＝﹣10（x﹣19）2+1210．

∵a＝﹣10＜0，

∴当x＝19时，w取最大值，最大值为1210．

答：当蜜柚定价为19元/千克时，每天获得的利润最大，最大利润是1210元．

27．【解答】解：（1）∵△ABC是比例三角形，且AB＝2、BC＝3，

①当AB2＝BC•AC时，得：4＝3AC，解得：AC＝；

②当BC2＝AB•AC时，得：9＝2AC，解得：AC＝；

③当AC2＝AB•BC时，得：AC2＝6，解得：AC＝（负值舍去）；

所以当AC＝或或时，△ABC是比例三角形；

（2）∵AD∥BC，

∴∠ACB＝∠CAD，

又∵∠BAC＝∠ADC，

∴△ABC∽△DCA，

∴＝，即CA2＝BC•AD，

∵AD∥BC，

∴∠ADB＝∠CBD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∴∠ADB＝∠ABD，

∴AB＝AD，

∴CA2＝BC•AB，

∴△ABC是比例三角形；

（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H，

∵AB＝AD，

∴BH＝BD，

∵AD∥BC，∠ADC＝90°，

∴∠BCD＝90°，

∴∠BHA＝∠BCD＝90°，

又∵∠ABH＝∠DBC，

∴△ABH∽△DBC，

∴＝，即AB•BC＝BH•DB，

∴AB•BC＝BD2，

又∵AB•BC＝AC2，

∴BD2＝AC2，

∴＝．

28．