(压轴题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试题(含答案解析)

1．如下图所示，在正方体中，是平面的中心，、、分别是、、的中点，则下列说法正确的是（ ）

A．，且与平行

B．，且与平行

C．，且与异面

D．，且与异面

2．已知正三棱柱，底面正三角形的边长为，侧棱长为，则点到平面的距离为（ ）

A． ． ． ．

3．在空间四边形中，，，则对角线与所成角的大小是（ ）

A． ． ． ．

4．已知三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，侧棱底面，底面是正三角形，与底面所成的角是45°.若正三棱柱的体积是，则球O的表面积是（ ）

A． ． ． ．

5．在正方体，中，M，N，P，Q分别为，，，的中点，则异面直线MN与PQ所成角的大小是（ ）

A． ． ． ．

6．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（ ）

A．24 ．30 ． ．

7．已知球的半径为5，球面上有三点，满足，则三棱锥的体积为（ ）

A． ． ． ．

8．蹴鞠，又名蹴球，筑球等，蹴有用脚踢、踏的含义，鞠最早系外包皮革、内实含米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚踢、踏皮球的活动，类似现在的足球运动．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．3D打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠积累的方式来构造物体的技术．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如人体的髋关节、牙齿或飞机零部件等）．已知某蹴鞠的表面上有四个点A．B．C．D，满足任意两点间的直线距离为6cm，现在利用3D打印技术制作模型，该模型是由蹴鞠的内部挖去由ABCD组成的几何体后剩下的部分，打印所用原材料的密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原材料的质量约为（ ）

（参考数据），，，．

A．101g ．182g ．519g ．731g

9．在四棱锥P-ABCD中，，，E为PD中点，平面ABE交PC于F，则（ ）

A．1 ． ．2 ．3

10．已知四面体，平面，，若该四面体的四个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）

A． ． ． ．

11．如图（1），，，为的中点，沿将折起到，使得在平面上的射影落在上，如图（2），则以下结论正确的是（ ）

A． ． ． ．

12．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，其中，,.则原平面图形的面积为（ ）

A． ． ． ．

二、填空题

13．已知直三棱柱，，，则直线与侧面所成角的正弦值是______.

14．已知三棱锥的外接球的表面积为，平面，，，则面积的最大值为__________．

15．如图①，矩形中，，，是的中点，将三角形沿翻折，使得平面和平面垂直，如图②，连接，则异面直线和所成角的余弦值为______.

16．如图，在一个底面面积为4，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为___________.

17．已知等腰直角三角形中，，，为的中点，将它沿翻折，使点与点间的距离为，此时三棱锥的外接球的表面积为____．

18．如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面，且，，经过顶点作一个平面，使得平面，若平面，平面，则异面直线与所成的角的余弦值为___________.

19．在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的半径为____________.

20．在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是           ．

三、解答题

21．如图，在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，，，，．

（1）证明：平面平面；

（2）求三棱锥的体积．

22．如图，在直三棱柱中，.

（1）求三棱柱的体积；

（2）求异面直线与所成角的大小；

（3）求二面角的平面角的余弦值.

23．如图，平行四边形中，，平面，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）若点分别是的中点，求三棱锥的体积.

24．如图，中，，是边长为的正方形，平面⊥平面，若、分别是、的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：⊥平面．

25．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为.

（1）求圆锥的底面积；

（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.

26．如图，直四棱柱的底面为平行四边形，是的中点．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求点到平面的距离．

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．D

解析：D

【分析】

设正方体的棱长为2，利用正方体性质可求得，，知，再利用三角形中位线性质知，从而，又与相交，可知与异面，即可选出答案.

【详解】

设正方体的棱长为2，则

作点在平面的投影点，即平面，连接，在直角中，，，则，所以，故排除A、C

连接，由是平面的中心，得

又分别是、的中点，所以

又，所以，

又，所以与异面

故选：D.

【点睛】

关键点睛：本题考查正方体中的线面关系，线线平行的关系，及判断异面直线，解题的关键是熟记正方体的性质，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.

2．A

解析：A

【分析】

根据题意，将点到平面的距离转化为点到平面的距离，然后再利用等体积法代入求解点到平面的距离.

【详解】

已知正三棱柱，底面正三角形的边长为，侧棱长为，所以可得，为等腰三角形，所以的高为，由对称性可知，，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，所以，又因为，，所以，即.

故选：A.

【点睛】

一般关于点到面的距离的计算，一是可以考虑通过空间向量的方法，写出点的坐标，计算平面的法向量，然后代入数量积的夹角公式计算即可，二是可以通过等体积法，通过换底换高代入利用体积相等计算.

3．A

解析：A

【分析】

取中点，根据条件分析与平面的位置关系，由此得到异面直线与所成角的大小.

【详解】

取中点，连接，如图所示：

因为，，所以，且，

所以平面，又平面，所以，

所以与所成角为，

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：解答问题的关键是通过找中点证明线面垂直，从而确定出线线垂直关系，和常规的求解异面直线所成角的方法不同.

4．A

解析：A

【分析】

首先得到是与底面所成的角，再通过三棱柱的体积得到三棱柱的底面等边三角形的边长，最后通过球的半径，球心到底面距离，底面外接圆半径的关系计算．

【详解】

因为侧棱底面，

则是与底面所成的角，则．

故由，得．

设，则，

解得．

所以球的半径，

所以球的表面积．

故选：A．

【点睛】

解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．

5．B

解析：B

【分析】

由也是的中点，也是中点，得平行线，从而找到异面直线MN与PQ所成角，在三角形中可得其大小．

【详解】

如图，连接，，显然也是的中点，也是中点，

又是中点，是中点，所以，，

所以是异面直线MN与PQ所成角（或补角），大小为．

故选：B．

【点睛】

思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；

（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．

6．D

解析：D

【分析】

先找到几何体的原图，再求出几何体的高，再求几何体的体积得解.

【详解】

由三视图可知几何体为图中的四棱锥，

由题得，所以几何体的高为.

所以几何体的体积为.

故选：D

【点睛】

方法点睛：通过三视图找几何体原图常用的方法有：（1）直接法；（2）拼凑法；（3）模型法.本题利用的就是模型法.要根据已知条件灵活选择方法求解.

7．A

解析：A

【分析】

利用正弦定理求出的外接圆半径，则可求出三棱锥的高，进而求出三棱锥体积.

【详解】

设的外接圆的圆心为D，半径为r，

在中，，，

由正弦定理可得，即，

则，

.

故选：A.

【点睛】

本题考查球内三棱锥的相关计算，解题的关键是利用正弦定理求出的外接圆半径，利用勾股关系求出高.

8．B

解析：B

【分析】

由题意可知所需要材料的体积即为正四面体外接球体积与正四面体体积之差，求出正四面体体积、外接球体积，然后作差可得所需要材料的体积，再乘以原料密度可得结果.

【详解】

由题意可知，几何体是棱长为的正四面体，

所需要材料的体积即为正四面体外接球体积与正四面体体积之差，

设正四面体的棱长为，则正四面体的高为，

设正四面体外接球半径为，则，解得，

所以打印的体积为：，

又，

所以，

故选：B

【点睛】

关键点点睛：本题考查正四面体与正四面体的外接球，考查几何体的体积公式，解决本题的关键点是求出正四面体外接球体积与正四面体体积，考查学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．

9．C

解析：C

【分析】

首先通过延长直线，交于点，平面变为，连结，交于点，再根据三角形中线的性质，求的值.

【详解】

延长，交于点，连结，交PC于点，

，且，可得点分别是的中点，

又点是的中点，和是的中线，

点是重心，得 

故选：C

【点睛】

关键点点睛：本题的关键是找到与平面的交点，即将平面转化为平面是关键.

10．A

解析：A

【分析】

本题首先可根据题意将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，然后求出直三棱柱的外接球的半径，最后根据球的表面积计算公式即可得出结果.

【详解】

因为平面，，

所以可将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，如图所示：

则四面体的外接球即直三棱柱的外接球，

因为底面三角形的外心到三角形的顶点的长度为，

所以直三棱柱的外接球的半径，

则球的表面积，

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：本题考查四面体的外接球的表面积的计算，能否将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分是解决本题的关键，考查直三棱柱的外接球的半径的计算，是中档题.

11．C

解析：C

【分析】

设，则，由线面垂直的性质和勾股定理可求得，由等腰三角形的性质可证得，再根据线面垂直的判定和性质可得选项.

【详解】

设，则，因为面，面，面，所以，，，

又，，为的中点，所以，

所以在中，，所以在中，，

所以，所以，又，所以，所以，又，

所以面，又面，所以，

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：在解决折叠问题时，关键在于得出折叠的前后中，线线、线面、面面之间的位置关系的不变和变化，以及其中的边的长度、角度中的不变量和变化的量.

12．A

解析：A

【分析】

作出原平面图形，然后求出面积即可．

【详解】

，则是等腰直角三角形，

∴，

又，，∴，

在直角坐标系中作出原图形为：

梯形，，，高，

∴其面积为．

故选：A

【点睛】

方法点睛：本题考查斜二测法画平面图形直观图，求原图形的面积，可能通过还原出原平面图形求得面积，也可以通过直观图到原图形面积的关系求解：直观图面积为，原图形面积为，则．

二、填空题

13．【分析】取中点连接证明平面可得为直线与侧面所成的角进而可得答案【详解】取中点连接直三棱柱中平面平面又又面平面在平面上的射影为故为直线与侧面所成的角中中中故答案为：【点睛】方法点睛：求直线与平面所成的

解析：

【分析】

取中点，连接，证明平面，可得为直线与侧面所成的角，进而可得答案.

【详解】

取中点，连接，

直三棱柱中，平面，平面，

，

又，，

又，面，

平面，

在平面上的射影为，

故为直线与侧面所成的角，

中，，

中，，

中，，

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.

14．2【分析】由球的表面积可求出半径取的中点可得设由基本不等式可得即可求出面积的最大值【详解】因为球的表面积为所以球的半径取的中点则为的外接圆圆心平面设由得因为所以当且仅当时取等因为的面积为所以面积的最

解析：2

【分析】

由球的表面积可求出半径，取的中点，可得，设，，由基本不等式可得，即可求出面积的最大值.

【详解】

因为球的表面积为，所以球的半径．

取的中点，则为的外接圆圆心，

平面，，

设，，由，得．

因为，所以，当且仅当时取等．

因为的面积为，所以面积的最大值为．

故答案为：2.

【点睛】

本题考查几何体的外接球问题，解题的关键是是建立勾股关系，利用基本不等式求出.

15．【分析】取的中点作交延长线于则是异面直线和所成角或其补角可结合原矩形求出然后由直角三角形得出再用余弦定理求得结论【详解】取的中点作交延长线于则是异面直线和所成角或其补角连接∵所以又平面平面平面平面平

解析：

【分析】

取的中点，作交延长线于，则是异面直线和所成角或其补角，可结合原矩形求出，然后由直角三角形得出，再用余弦定理求得结论．

【详解】

取的中点，作交延长线于，则是异面直线和所成角或其补角，连接，，

∵，所以，

又平面平面，平面平面，平面，

∴平面，

而平面，所以，，

又∵，，所以，，，

,，则是平行四边形，，

在原矩形中，则，

，

，

，，

在中，，

所以异面直线和所成角的余弦为．

故答案为：.

【点睛】

思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；

（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．

16．【分析】设为正方形的中心的中点为连接求出如图分别可求得大球与小球半径分别为和进而可得小球的体积【详解】解：由题中条件知底面四边形是边长为2的正方形设O为正方形的中心的中点为M连接则如图在截面中设N为

解析：

【分析】

设为正方形的中心，的中点为，连接，，，求出，，，如图，分别可求得大球与小球半径分别为和，进而可得小球的体积．

【详解】

解：由题中条件知底面四边形是边长为2的正方形.设O为正方形的中心，的中点为M，连接，，，则，，，如图，在截面中，设N为球与平面的切点，则N在上，且，设球的半径为R，则，∵，∴，则，，∴，设球与球相切于点Q，则，设球的半径为r，同理可得，∴，故小球的体积.

故答案为：．

【点睛】

与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

17．12【分析】根据题意可判断出两两垂直即可求出外接球半径得出表面积【详解】等腰直角三角形中为的中点满足两两垂直设外接球的半径为则即三棱锥的外接球的表面积为故答案为：【点睛】本题考查三棱锥外接球问题解题

解析：12

【分析】

根据题意可判断出两两垂直，即可求出外接球半径，得出表面积.

【详解】

等腰直角三角形中，，，

为的中点，，

，

，满足，，

两两垂直，

设外接球的半径为，则，即，

三棱锥的外接球的表面积为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查三棱锥外接球问题，解题的关键是得出两两垂直.

18．【分析】先利用线面平行的性质定理和平面扩展得到异面直线所成角即BD与所成的角再结合长方体棱长的条件在中求其余弦值即可【详解】如图设平面平面平面平面因为平面所以故异面直线与所成的角即与所成的角延长AD

解析：

【分析】

先利用线面平行的性质定理和平面扩展，得到异面直线所成角即BD与所成的角，再结合长方体棱长的条件在中求其余弦值即可.

【详解】

如图，设平面平面，平面平面，

因为平面，所以，故异面直线与所成的角，即与所成的角.

延长AD至E，使，连接CE，则易见BD与CE平行且相等，又BD与平行且相等，故BD与平行且相等，即四边形是平行四边形，CE就是交线.

同理可知就是交线.

又知BDCE，，故与所成的角，即BD与所成的角，

依题意可知，，，故中，，

故.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：

求空间角的常用方法：

（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；

（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.

19．【分析】先在等边三角形中求出外接圆半径从而可求该三棱锥的外接球的半径【详解】详解：因为所以为等边三角形所以等边外接圆的半径为如图三棱锥外接球球心为半径为设球心到平面的距离为外接圆圆心为连接则平面取中

解析：

【分析】

先在等边三角形中求出，外接圆半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径.

【详解】

详解：因为，所以为等边三角形，

所以，等边外接圆的半径为，

如图，三棱锥外接球球心为，半径为，

设球心到平面的距离为，外接圆圆心为，

连接，则平面，

取中点，所以，

又平面，所以，则四边形是矩形，

所以在和中，

由勾股定理可得，解得：.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了三棱锥外接球的表面积，其中根据几何体的结构特征和球的性质，求得三棱锥的外接球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力.

20．【详解】试题分析：如图正方体ABCD-EFGH此时若要使液面不为三角形则液面必须高于平面EHD且低于平面AFC而当平面EHD平行水平面放置时若满足上述条件则任意转动该正方体液面的形状都不可能是三角形

解析：

【详解】

试题分析：如图，正方体ABCD-EFGH，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC．而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形．所以液体体积必须＞三棱柱G-EHD的体积，并且＜正方体ABCD-EFGH体积-三棱柱B-AFC体积

考点：1．棱柱的结构特征；2．几何体的体积的求法

三、解答题

21．（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）由平面，得，从而可证平面，然后得证面面垂直；

（2）在直角梯形中求得的面积，以为底面，三棱锥的高为，这样可求得体积．

【详解】

解：（1）证明：因为平面，又平面，

所以，

又，平面，平面，，所以平面．

又平面，所以平面平面．

（2）在下底面内过点作，垂足为．

因为，且，所以，又．

所以四边形为矩形，故，，

在中，，

所以，

所以，

．

【点睛】

思路点睛：本题考查证明面面垂直，求三棱锥的体积．证面面垂直，一般先证线面垂直，根据线面垂直的判定定理可得．求棱锥的体积时，如果高不易得，则可换三棱锥的底，以三棱锥的任何一个面作为底面，只要高易求，则可求体积．本题中就是为底面，高为．

22．（1）；（2）；（3）.

【分析】

（1）根据棱锥的体积公式求解即可；

（2）作辅助线，利用平行得出异面直线与所成角就是，再结合等边三角形的性质得出夹角；

（3）过作于点，连接，由结合定义得出二面角的平面角，再由直角三角形的边角关系得出平面角的余弦值.

【详解】

（1）三棱柱的体积

（2）记与的交点为，作的中点，连接，异面直线与所成角就是

（3）过作于点，连接

为所求角

【点睛】

关键点睛：在求异面直线的夹角时，关键是利用中位线定理得出平行，从而得出异面直线的夹角.

23．（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）可由，证得平面，故，再由和可得平面，从而面面

（2）可利用，进行转化求体积.

【详解】

解：（1）因为平面，平面，所以.

又，，平面平面，平面，

所以平面，

而平面，所以.在平行四边形中，

，所以.

由平面，平面，所以，

而，平面，平面，所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）由（1）可知，，而，则为等腰直角三角形，又，

所以，

连接，由点分别是的中点，所以且，

所以，则，

在平行四边形中，，

为三棱锥的高，所以，

所以三棱锥的体积为.

【点睛】

求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．

24．（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】

（1）连接，可知为的中点，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；

（2）利用面面垂直的性质定理可得出平面，可得出，再利用勾股定理可得出，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立.

【详解】

（1）证明：连接．

四边形为正方形，为的中点，为的中点，

又为的中点，所以，，

平面，平面，平面；

（2）证明：四边形为正方形，，

因为平面⊥平面，平面平面，平面，

平面，

平面，，

，由勾股定理可得，，

，平面.

【点睛】

方法点睛：证明线面垂直的方法：

一是线面垂直的判定定理；

二是利用面面垂直的性质定理；

三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；

另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．

25．（1）；（2）.

【分析】

（1）先由圆的周长公式求出圆锥的底面圆的半径，再求圆锥的底面积；

（2）圆柱的高，，再由求出的关系式，进而得出圆柱的侧面积，再结合二次函数的性质以及圆柱的体积公式求解即可.

【详解】

解：（1）沿母线AB剪开，侧展图如图所示：

设，在半圆⊙A中，， 弧长，

这是圆锥的底面周长，所以，

所以，

故圆锥的底面积为；

（2）设圆柱的高，，

在中，，

，所以，

即，，

，

，

所以，当，时，圆柱的侧面积最大，

此时.

【点睛】

关键点睛：在第一问中，关键是由圆锥底面圆的周长与侧面展开扇形的弧长相等，从而求出圆锥底面圆的半径.

26．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．

【分析】

（Ⅰ）由余弦定理求出BD，可得，再由可得平面，即得证；

（Ⅱ）在平面内作，可得平面，则的长就是点到平面的距离，求出即可.

【详解】

（Ⅰ）由题意可得，

所以，因此，

在直四棱柱中，平面，所以，

又因为，所以平面， 

因为平面，所以平面平面． 

（Ⅱ）如图，在平面内作，垂足为．

由（Ⅰ）知平面，因为平面平面，

所以平面，所以，

又因为，所以平面．

所以线段的长就是点到平面的距离．

因为，所以．

在平面内，可知，

所以，得，

所以点到平面的距离为．

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，考查点面距离的求解，解题的关键是在平面内作，判断出线段的长就是点到平面的距离.