机械能守恒定律(弹簧类应用+轻杆类模型)

----系统机械能守恒问题分析（弹簧类）

一知识点：

  1.机械能守恒定律的表达方式，

    ①物体在初状态的机械能E1等于其末状态的机械能E2，即E2=E1或Ek2+Ep2=Ek1+Ep1 

    ②减少(或增加)的势能△Ep等于增加(或减少)的总动能△Ek,即△EP=△Ek.

    ③系统内一物体机械能的增加(或减少)等于另一物体机械能的减少(或增加)，即           △E1=-△E2

  2.弹簧和物体组成系统只有弹力和重力做功时，系统机械能守恒，对单个物体机械能是不    守恒的。

2．例题分析：

【例1】如图所示，轻弹簧k一端与墙相连，处于自然状态，质量为4kg的滑块沿光滑水平面以5m/s的速度运动并开始压缩弹簧，求弹簧的最大弹性势能及滑块被弹回速度增大到3m/s时弹簧的弹性势能。

【例1】滑块与弹簧组成的系统机械能守恒，当滑块速度为0时，弹簧的弹性势 能最大， 

        当滑块弹回速度为3m/s时弹性势能为，由机械能守恒有：

【例2】如图所示，质量为m=2kg的小球系在轻弹簧一端，另一端固定在悬点0    点处，将弹簧拉至水平位置A处(弹簧无形变)由静止释放,小球到达距0 点下方h处的B点时速度为2 m／s．求小球从A运动到B的过程中弹簧弹力做的功(h=0.5 m)．

【例2】对小球和弹簧组成的系统，只有重力和弹簧的弹力做功，故机械能守恒，        小球减少的重力势能转化为小球的动能和弹簧的弹性势能，有：

【例3】如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形粗糙导轨在B点衔接， 导轨半径为R。一个质量为m的物块将弹簧压缩后静止在A处，释放后在弹力的作用下获一向右的速度，当它经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能到达最高点C。求：

 （1）弹簧对物块的弹力做的功?

 （2）物块从B至C克服阻力做的功？

（3）物块离开C点后落回水平面时其动能的大小?

       【例3】答案：（1）3ngR；（2）；（3）

【例4】一个质量m=0.20kg的小球系于轻质弹簧的一端，且套在光滑竖立的圆环上，弹簧的上端固定于环的最高点A，环的半径R=0.5m，弹簧的原长L0=0.5m，劲度系数为4.8N/m，如图10所示，若小球从图中所示位置B点由静止开始滑动到最低点C时，弹簧的弹性势能Ep弹=0.6J，求

（1）小球到C点时的速度vc的大小。

（2）小球在C点对环的作用力。（g=10m/s2）

【例4】【解析】 （1）小球从B到C过程中，满足机械能守恒，取C点为重力势能的参考平面   mgR(1+cos600)=        （3分）

解得           （3分）

（2）根据胡克定律   F弹 = kx = 4.8×0.5=2.4N        （3分）

小球在C点时应用牛顿第二定律得（竖直向上的方向为正方向）

F弹+FN-mg=m         （3分）

∴   FN  = mg - F弹+ m=0.2×10-2.4+0.2×=3.2N        （3分）

       根据牛顿第三定律得，小球对环的作用力为3.2N，方向竖直向下。（3分）

【练1】如下图所示，在粗糙斜面顶端固定一弹簧，其下端挂一物体，物体在A点处于平衡状态.现用平行于斜面向下的力拉物体，第一次直接拉到B点，第二次将物体先拉到C点，再回到B点.则这两次过程中(      )

    A.重力势能改变量相等              B.弹簧的弹性势能改变量相等

C.摩擦力对物体做的功相等          D.弹簧弹力对物体做功相等

【练1】  ABD，

       轻杆类模型

1.如图所示，质量分别为2m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴。AO、BO的长分别为2L和L。开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方。让该系统由静止开始自由转动，

求：（1）当A到达最低点时，A小球的速度大小v；

    （2）B球能上升的最大高度h；

    （3）开始转动后B球可能达到的最大速度vm。

以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒。 

（1）过程中A的重力势能减少，A、B的动能和B的重力势能增加，A的即时速度总是B的倍。，

解得

（2）B球不可能到达O的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，

设该位置比OA竖直位置向左偏了角。

，

此式可化简为，

利用三角公式可解得 

（3）B球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能增大等于系统重力做的功WG。设OA从开始转过角时B球速度最大，

，

解得

本题如果用EP+EK=E′P+E′K这种表达形式，就需要规定重力势能的参考平面，显然比较烦琐。用△E增=△E关就要简洁得多。

【例2】一根质量不计的细杆长为2 L , 一端固定在光滑的水平转轴O上, 在杆的另一端和杆的中点各固定一个质量为m的小球, 然后使杆从水平位置由静止开始, 在竖直平面内自由下摆, 如图所示, 试求: 

  ⑴ 杆向下摆至竖直位置时, 两球的速度. 

⑵ 杆从水平位置向下摆至竖直位置的过程中, 杆对球B所做的功.      

  ⑶ 摆至竖直位置时, 杆OA和AB的张力T1、T2之比.   

【例3】如右图所示，轻质细杆的两端分别固定质量均为m的两个小球A和B，细杆可绕O         轴在竖直 平面内无摩擦地自由转动，BO＝2AO，将细杆从水平静止状态自由释放，          

求:(1)细杆转到竖直位置时A和B的速度？            （2）杆对O轴作用力的大小和方向。

【例4】半径为R的光滑圆环竖直放置，环上套有两个质量分别为m和2m的 小球A和B，A，B之间用一长为R的轻杆相连，如图所示，开始时，A，B都静止，且A在圆环的最高点，现将A,B释放，   求： （1）A到最低点时的速度大小？    （2）在第一问所述过程中杆对B球做的功？ 

【例5】如图所示，倾角为θ光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A和B，两球之间用一根长为L的轻杆相连，下面的小球B离斜面底端的高度为h，两球从静止开始下滑，不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑， 

         求：（1）两球在光滑水平面上运动时的速度大小； 

        （2）此过程中杆对A球所做的功；