2020年绵阳市高一数学上期末一模试卷(含答案)

一、选择题

1．已知在R上是奇函数，且

A．-2    B．2    C．-98    D．98

2．已知，，，则a，b，c的大小关系为

A．    B．    C．    D．

3．已知函数关于x的方程，有四个不同的实数解,则的取值范围为（    ）

A．    B．    C．    D．

4．已知函数, 满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－∞，2)    B．    C．(－∞，2]    D．

5．函数y＝a|x|(a>1)的图像是(　　)

A．    B．    C．    D．

6．把函数的图象向右平移一个单位，所得图象与函数的图象关于直线对称；已知偶函数满足，当时，；若函数有五个零点，则正数的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

7．下列函数中，值域是的是（ ）

A．    B．

C．    D．

8．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的.已知在过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为（为常数，为原污染物总量）.若前个小时废气中的污染物被过滤掉了，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤小时，则正整数的最小值为（    ）（参考数据：取）

A．    B．    C．    D．

9．已知函数f(x)＝则)等于(　　)

A．4    B．－2

C．2    D．1

10．已知，，，则，，的大小关系是

A．    B．    C．    D．

11．函数是周期为4的偶函数,当时，,则不等式在上的解集是 (   )

A．    B．    C．    D．

12．已知函数f（x）=x（ex+ae﹣x）（x∈R），若函数f（x）是偶函数，记a=m，若函数f（x）为奇函数，记a=n，则m+2n的值为（ ）

A．0    B．1    C．2    D．﹣1

二、填空题

13．已知幂函数在上是减函数，则__________．

14．对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点，已知f（x）=x2+ax+4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a的取值范围______.

15．若关于的方程有两个根，则的取值范围是_________

16．已知函数满足对任意的都有成立，则

＝           ．

17．设定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，则实数m的取值范围是________．

18．函数的定义域为________.

19．若存在实数，使得时，函数的值域也为，其中且，则实数的取值范围是______.

20．若函数在区间上不是单调函数，则实数a的取值范围是______.

三、解答题

21．已知函数 的零点是-3和2

(1)求函数的解析式.

(2)当函数的定义域是时求函数的值域.

22．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修，排气扇恢复正常．排气后，测得车库内的一氧化碳浓度为，继续排气，又测得浓度为，经检测知该地下车库一氧化碳浓度与排气时间存在函数关系：（，为常数）。

（1）求，的值；

（2）若地下车库中一氧化碳浓度不高于为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？

23．计算或化简：

（1）；

（2）.

24．若是奇函数.

（1）求的值；

（2）若对任意都有，求实数m的取值范围.

25．某支上市股票在30天内每股的交易价格（单位：元）与时间（单位：天）组成有序数对，点落在如图所示的两条线段上.该股票在30天内（包括30天）的日交易量（单位：万股）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示：

第

（Ⅰ）根据所提供的图象，写出该种股票每股的交易价格与时间所满足的函数解析式；

（Ⅱ）根据表中数据确定日交易量与时间的一次函数解析式；

（Ⅲ）若用（万元）表示该股票日交易额，请写出关于时间的函数解析式，并求出在这30天中，第几天的日交易额最大，最大值是多少？

26．已知函数.

（1）求函数的定义域;

（2）求函数的零点;

（3）若函数的最小值为,求的值．

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．A

解析：A

【解析】

∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 019)＝－2.

故选A

2．D

解析：D

【解析】

分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.

详解：由题意结合对数函数的性质可知：

，，，

据此可得：.

本题选择D选项.

点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．

3．B

解析：B

【解析】

【分析】

由题意作函数与的图象，从而可得，，，从而得解

【详解】

解：因为，可作函数图象如下所示：

依题意关于x的方程，有四个不同的实数解,即函数与的图象有四个不同的交点，由图可知令，

则，，即，所以，则，

所以，

因为，在上单调递增，所以，即

故选：B

【点睛】

本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．属于中档题

4．B

解析：B

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：由题意有,函数在上为减函数,所以有,解出,选B.

考点：分段函数的单调性.

【易错点晴】

本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数，都有成立，得出函数在上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点处,有,解出. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点处的情况.

5．B

解析：B

【解析】

因为，所以，且在上曲线向下弯曲的单调递增函数，应选答案B．

6．C

解析：C

【解析】

分析：由题意分别确定函数f(x)的图象性质和函数h(x)图象的性质，然后数形结合得到关于k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.

详解：曲线右移一个单位，得，

所以g(x)=2x，h(x-1)=h(-x-1)=h(x+1)，则函数h(x)的周期为2.

当x∈[0,1]时，，

y=kf(x)-h(x)有五个零点，等价于函数y=kf(x)与函数y=h(x)的图象有五个公共点.

绘制函数图像如图所示，由图像知kf（3）<1且kf（5）>1，即：

，求解不等式组可得：.

即的取值范围是．

本题选择C选项.

点睛：本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

7．D

解析：D

【解析】

【分析】

利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可．

【详解】

对于A：的值域为；

对于B：，，，

的值域为；

对于C：的值域为；

对于D：，，，

的值域为；

故选：D．

【点睛】

此题主要考查函数值域的求法，考查不等式性质及函数单调性，是一道基础题．

8．C

解析：C

【解析】

【分析】

根据已知条件得出，可得出，然后解不等式，解出的取值范围，即可得出正整数的最小值.

【详解】

由题意，前个小时消除了的污染物，因为，所以，所以，即，所以，

则由，得，

所以，

故正整数的最小值为.

故选：C.

【点睛】

本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.

9．B

解析：B

【解析】

，则，故选B.

10．B

解析：B

【解析】

【分析】

【详解】

由对数函数的性质可知， 

由指数函数的性质，

 由三角函数的性质，所以，

 所以，故选B.

11．C

解析：C

【解析】

若，则此时是偶函数， 即 若 ，则 ∵函数的周期是4，  

即 ，作出函数在 上图象如图，

若，则不等式 等价为 ，此时 

若 ，则不等式等价为 ，此时 ，

综上不等式 在 上的解集为

故选C.

【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和周期性求出对应的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．

12．B

解析：B

【解析】

试题分析：利用函数f（x）=x（ex+ae﹣x）是偶函数，得到g（x）=ex+ae﹣x为奇函数，然后利用g（0）=0，可以解得m．函数f（x）=x（ex+ae﹣x）是奇函数，所以g（x）=ex+ae﹣x为偶函数，可得n，即可得出结论．

解：设g（x）=ex+ae﹣x，因为函数f（x）=x（ex+ae﹣x）是偶函数，所以g（x）=ex+ae﹣x为奇函数．

又因为函数f（x）的定义域为R，所以g（0）=0，

即g（0）=1+a=0，解得a=﹣1，所以m=﹣1．

因为函数f（x）=x（ex+ae﹣x）是奇函数，所以g（x）=ex+ae﹣x为偶函数

所以（e﹣x+aex）=ex+ae﹣x即（1﹣a）（e﹣x﹣ex）=0对任意的x都成立

所以a=1，所以n=1，

所以m+2n=1

故选B．

考点：函数奇偶性的性质．

二、填空题

13．-3【解析】【分析】根据函数是幂函数可求出m再根据函数是减函数知故可求出m【详解】因为函数是幂函数所以解得或当时在上是增函数；当时在上是减函数所以【点睛】本题主要考查了幂函数的概念幂函数的增减性属于

解析：-3

【解析】

【分析】

根据函数是幂函数可求出m,再根据函数是减函数知，故可求出m.

【详解】

因为函数是幂函数

所以，解得或.

当时，在上是增函数；

当时，在上是减函数，

所以.

【点睛】

本题主要考查了幂函数的概念，幂函数的增减性，属于中档题.

14．【解析】【分析】不动点实际上就是方程f（x0）=x0的实数根二次函数f（x）=x2+ax+4有不动点是指方程x=x2+ax+4有实根即方程x=x2+ax+4有两个不同实根然后根据根列出不等式解答即可

解析：

【解析】

【分析】

不动点实际上就是方程f（x0）=x0的实数根，二次函数f（x）=x2+ax+4有不动点，是指方程x=x2+ax+4有实根，即方程x=x2+ax+4有两个不同实根，然后根据根列出不等式解答即可．

【详解】

解：根据题意，f（x）=x2+ax+4在[1，3]恒有两个不同的不动点，得x=x2+ax+4在[1，3]有两个实数根，

即x2+（a﹣1）x+4=0在[1，3]有两个不同实数根，令g（x）=x2+（a﹣1）x+4在[1，3]有两个不同交点，

∴，即，

解得：a∈；

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用，属于中档题．

15．【解析】【分析】令可化为进而求有两个正根即可【详解】令则方程化为:方程有两个根即有两个正根解得:故答案为:【点睛】本题考查复合函数所对应的方程根的问题关键换元法的使用难度一般

解析：

【解析】

【分析】

令,,可化为,进而求有两个正根即可.

【详解】

令,则方程化为:

方程有两个根,即有两个正根,

,解得:.

故答案为: .

【点睛】

本题考查复合函数所对应的方程根的问题,关键换元法的使用,难度一般.

16．7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为7

解析：7

【解析】

【分析】

【详解】

设，

则，

因为，

所以，

,

故答案为7.

17．【解析】【分析】由题意知函数在上是减函数在上是增函数其规律是自变量的绝对值越小其函数值越大由此可直接将转化成一般不等式再结合其定义域可以解出的取值范围【详解】解：函数是偶函数定义在上的偶函数在区间上

解析：

【解析】

【分析】

由题意知函数在上是减函数，在上是增函数，其规律是自变量的绝对值越小，其函数值越大，由此可直接将转化成一般不等式，再结合其定义域可以解出的取值范围

【详解】

解：函数是偶函数，

，

，

定义在上的偶函数

在区间上单调递减，

，

，

得．

故答案为：．

【点睛】

本题考点是奇偶性与单调性的综合，考查利用抽象函数的单调性解抽象不等式，解决此类题的关键是将函数的性质进行正确的转化，将抽象不等式转化为一般不等式求解．本题在求解中有一点易疏漏，即忘记根据定义域为来参数的范围．做题一定要严谨，转化要注意验证是否等价．

18．【解析】【分析】根据题意列出不等式组解出即可【详解】要使函数有意义需满足解得即函数的定义域为故答案为【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题属于基础题；常见的形式有：1分式函数分母不能为0；2偶次

解析：

【解析】

【分析】

根据题意，列出不等式组，解出即可.

【详解】

要使函数有意义，

需满足，解得，即函数的定义域为，

故答案为.

【点睛】

本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数，需满足等等，当同时出现时，取其交集.

19．【解析】【分析】由已知可构造有两不同实数根利用二次方程解出的范围即可【详解】为增函数且时函数的值域也为相当于方程有两不同实数根有两不同实根即有两解整理得：令有两个不同的正数根只需即可解得故答案为：【

解析：

【解析】

【分析】

由已知可构造有两不同实数根，利用二次方程解出的范围即可.

【详解】

为增函数，

且时，函数的值域也为，

，

相当于方程有两不同实数根,

有两不同实根，

即有两解，

整理得：，

令 ，

有两个不同的正数根，

只需即可，

解得，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了对数函数的单调性，对数方程，一元二次方程有两正根，属于中档题.

20．【解析】【分析】将函数转化为分段函数对参数分类讨论【详解】转化为分段函数：为更好说明问题不妨设：其对称轴为；其对称轴为①当时因为的对称轴显然不在则只需的对称轴位于该区间即解得：满足题意②当时此时函数

解析：

【解析】

【分析】

将函数转化为分段函数，对参数分类讨论.

【详解】

，转化为分段函数：

.

为更好说明问题，不妨设：

，其对称轴为；

，其对称轴为.

①当时，

因为的对称轴显然不在，则

只需的对称轴位于该区间，即，

解得：，满足题意.

②当时，

，此时

函数在区间是单调函数，不满足题意.

③当时，

因为的对称轴显然不在

只需的对称轴位于该区间即可，即

解得：，满足题意.

综上所述：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查分段函数的单调性，难点在于对参数进行分类讨论.

三、解答题

21．（1）（2）

【解析】

【分析】

【详解】

（1） , 

  （2）因为开口向下，对称轴 ,在单调递减，

所以

所以函数的值域为

【点睛】

本题将函数的零点、解析式、最大小值等有关知识与性质有机整合在一起，旨在考查函数的表示、零点、最大小值等基础知识及综合运用．求解时先依据函数零点与方程的根之间的关系，求出函数解析式中的参数的值；解答第二问时，借助二次函数的图像和性质，运用数形结合的数学思想求出最大小值从而使得问题获解．

22．（1）（2）

【解析】

【分析】

(1)将和分别代入,列方程组可解得,从而可得.

(2) 由(1)知,然后利用指数函数的单调性解不等式即可得到.

【详解】

(1)由题意，可得方程组，解得．

(2)由(1)知．

由题意，可得 ，

即 ，即 ，解得．

所以至少排气 ，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态。

【点睛】

本题考查了指数型函数的解析式的求法以及利用指数函数的单调性解指数不等式,属于基础题.

23．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）直接根据指数与对数的性质运算即可；

（2）直接利用对数运算性质即可得出.

【详解】

（1）原式 

.  

（2）原式  

.

【点睛】

本题主要考查了指数对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

24．（1）  （2）

【解析】

【分析】

（1）根据函数的奇偶性，可得结果.

（2）根据（1）的条件使用分离常数方法，化简函数，可知的值域，结合不等式计算，可得结果.

【详解】

（1）

，

因为是奇函数.

所以，得； 

经检验满足题意

（2）根据（1）可知

化简可得

所以可知

当时，所以

对任意都有

所以， 即

【点睛】

本题考查根据函数的奇偶性求参数，还考查了恒成立问题，对存在性，恒成立问题一般转化为最值问题，细心计算，属中档题.

25．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）第15天交易额最大，最大值为125万元．

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由一次函数解析式可得与时间所满足的函数解析式；

（Ⅱ）设，代入已知数据可得；

（Ⅲ）由可得，再根据分段函数性质分段求得最大值，然后比较即得．

【详解】

（Ⅰ）当时，设，则，解得，

当时，设，则，解得

所以．

（Ⅱ）设，由题意，解得，

所以．

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得

即，

当时，，时，，

当时，，它在上是减函数，

所以．

综上，第15天交易额最大，最大值为125万元．

【点睛】

本题考查函数模型应用，解题时只要根据所给函数模型求出函数解析式，然后由解析式求得最大值．只是要注意分段函数必须分段计算最大值，然后比较可得．

26．（1）（2）（3）

【解析】

【分析】

（1）根据对数的真数大于零，列出不等式组并求出解集，函数的定义域用集合或区间表示出来；（2）利用对数的运算性质对解析式进行化简，再由，即，求此方程的根并验证是否在函数的定义域内；（3）把函数解析式化简后，利用配方求真数在定义域内的范围，再根据对数函数在定义域内递减，求出函数的最小值，得利用对数的定义求出的值．

【详解】

（1）由已知得, 解得所以函数的定义域为

（2）,令,得,即,解得,∵,∴函数的零点是

（3）由2知,,

∵,∴.

∵,∴,

∴,

∴.

【点睛】

本题是关于对数函数的综合题，考查了对数的真数大于零、函数零点的定义和对数型的复合函数求最值，注意应在函数的定义域内求解，灵活转化函数的形式是关键．