江西省南昌市2019-2020学年八年级(上)期末数学试卷含解析

一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（3分）式子有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x≠2 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．x≠﹣3

2．（3分）下列四个腾讯软件图标中，属于轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

3．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．a2+a2＝a4 B．a2•a3＝a6

C．（a2b）2＝a2b2 D．4a3b÷ab＝4a2

4．（3分）若a，b是等腰三角形ABC的两边长，且满足关系式（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则△ABC的周长是（　　）

A．10 B．11 C．10或11 D．11或12

5．（3分）在平面直角坐标系中，点P（0，1）关于直线x＝﹣1的对称点坐标是（　　）

A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（0，﹣1） D．（0，1）

6．（3分）如图，AB＝DE，∠A＝∠D，当添加一个条件时，仍不能判定△ABC≌△DEF，则这个添加的条件是（　　）

A．∠B＝∠E B．AC∥DF C．BC＝EF D．AC＝DF

7．（3分）化简的结果是（　　）

A．﹣2a﹣b B．b﹣2a C．2a﹣b D．b+2a

8．（3分）如图，在△PAB中，∠A＝∠B，M、N、K分别是PA、PB、AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝40°，则∠P的度数为（　　）

A．100° B．110° C．80° D．90°

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题纸上）

9．（4分）若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是　   　．

10．（4分）将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝30°，∠2＝56°，则∠3的度数是　   　．

11．（4分）若a﹣b＝3，ab＝﹣2，则（a+1）（b﹣1）的值是　   　．

12．（4分）如图，钝角△ABC的面积为12，最长边AB＝8，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是　   　．

13．（4分）若x2﹣5x+1＝0，则x+的值是　   　．

14．（4分）有一个三角形纸片ABC，∠C＝36°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得的两纸片均为等腰三角形，则∠A的度数可以是　   　．

三、解答题：本大题共4小题，每小题6分，共24分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（6分）（1）计算：（﹣2xy2）2÷（xy）﹣3xy3

（2）分解因式：a5﹣16a

16．（6分）（1）求值：﹣a﹣1，其中a＝11；

（2）解方程：＝1﹣

17．（6分）已知2a＝4，2b＝6，2c＝12

（1）求证：a+b﹣c＝1；

（2）求22a+b﹣c的值．

18．（6分）如图，已知△ABC≌△DEF，且A、B、D、E四点在同一直线上．

（1）在图1中，请你用无刻度的直尺作出线段BE的垂直平分线；

（2）在图2中，请你用无刻度的直尺作出线段AD的垂直平分线．

四、解答题：本大题共3小题，每小题8分，共24分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19．（8分）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．

（1）在图2中的阴影部分面积S1可表示为　   　，在图3中的阴影部分的面积S2可表示为　   　，由这两个阴影部分的面积得到的一个等式是　   　．

A．（a+b）2＝a2+2ab+b2

B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）

C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2

（2）根据你得到的等式解决下面的问题：

①计算：67.52﹣32.52；

②解方程：（x+2）2﹣（x﹣2）2＝24．

20．（8分）为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾．若租用甲、乙两车运送，两车各运6趟可完成，需支付运费1800元．已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运的趟数是甲车的1.5倍，且乙车每趟运费比甲车少100元．

（1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需多少趟？

（2）若单独租用一台车，租用哪台车更合算，请你通过计算说明．

21．（8分）如图1，在△CAB和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，连接AD、BE．

（1）求证：△ACD≌△BCE；

（2）如图2，当α＝90°时，取AD、BE的中点P、Q，连接CP、CQ、PQ，判断△CPQ的形状，并加以证明．

五、探究题：本大题共1小题，共24分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22．（24分）如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为ts．

（1）当t为何值时，M、N两点重合；

（2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，△AMN的形状会不断发生变化．

①当t为何值时，△AMN是等边三角形；

②当t为何值时，△AMN是直角三角形；

（3）若点M、N都在BC边上运动，当存在以MN为底边的等腰△AMN时，求t的值．

2019-2020学年江西省南昌市八年级（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．【解答】解：根据题意得：x﹣2≠0，

解得：x≠2．

故选：A．

2．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；

B、不是轴对称图形，故本选项错误；

C、不是轴对称图形，故本选项错误；

D、是轴对称图形，故本选项正确．

故选：D．

3．【解答】解：A、a2+a2＝2a2，故此选项错误；

B、a2•a3＝a5，故此选项错误；

C、（a2b）2＝a4b2，故此选项错误；

D、4a3b÷ab＝4a2，故此选项正确．

故选：D．

4．【解答】解：根据题意，，

解得，

（1）若3是腰长，则三角形的三边长为：3、3、4，

能组成三角形，周长为3+3+4＝10；

（2）若3是底边长，则三角形的三边长为：3、4、4，

能组成三角形，

周长为3+4+4＝11．

故选：C．

5．【解答】解：∵点P（0，1），

∴点P到直线x＝﹣1的距离为1，

∴点P关于直线x＝﹣1的对称点P′到直线x＝﹣1的距离为1，

∴点P′的横坐标为﹣2，

∴对称点P′的坐标为（﹣2，1）．

故选：A．

6．【解答】解：A、添加∠B＝∠E然后可用ASA进行判定，故本选项不符合题意；

B、添加AC∥DF可以推知∠BCA＝∠EFD，可用AAS进行判定，故本选项不符合题意；

C、添加BC＝EF不能判定△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；

D、添加AC＝DF可用SAS进行判定，故本选项不符合题意；

故选：C．

7．【解答】解：

＝＝﹣（b+2a）＝﹣2a﹣b．

故选：A．

8．【解答】解：∵PA＝PB，

∴∠A＝∠B，

在△AMK和△BKN中，

，

∴△AMK≌△BKN（SAS），

∴∠AMK＝∠BKN，

∵∠A+∠AMK＝∠MKN+∠BKN，

∴∠A＝∠MKN＝40°＝∠B，

∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣40°＝100°，

故选：A．

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题纸上）

9．【解答】解：∵x2+mx+4＝（x±2）2，

即x2+mx+4＝x2±4x+4，

∴m＝±4．

故答案为：±4．

10．【解答】解：如图，

∵a∥b，

∴∠4＝∠2＝56°，

又∵∠4＝∠1+∠3，

∴∠3＝∠4﹣∠1＝56°﹣30°＝26°．

故答案为：26°．

11．【解答】解：∵a﹣b＝3，ab＝﹣2，

∴（a+1）（b﹣1）

＝ab﹣a+b﹣1

＝﹣2﹣3﹣1

＝﹣6．

故答案为﹣6．

12．【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，

∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N

∴MN＝ME，

∴CE＝CM+ME＝CM+MN的最小值．

∵三角形ABC的面积为12，AB＝8，

∴×8•CE＝12，

∴CE＝3．

即CM+MN的最小值为3．

故答案为：3．

13．【解答】解：∵x2﹣5x+1＝0，

∴x﹣5+＝0，

故x+的值是5．

故答案为：5．

14．【解答】解：由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，

①BC＝CD，此时∠CDB＝∠DBC＝（180°﹣∠C）÷2＝72°，

∴∠BDA＝180°﹣∠CDB＝180°﹣72°＝108°，

AB＝AD时，∠ABD＝108°（舍去）；

或AB＝BD，∠A＝108°（舍去）；

或AD＝BD，∠A＝（180°﹣∠ADB）÷2＝36°；

②BC＝BD，此时∠CDB＝∠C＝36°，

∴∠BDA＝180°﹣∠CDB＝180°﹣36°＝144°，

AB＝AD时，∠ABD＝144°（舍去）；

或AB＝BD，∠A＝144°（舍去）；

或AD＝BD，∠A＝（180°﹣∠ADB）÷2＝18°；

③CD＝BD，此时∠CDB＝180°﹣2∠C＝108°，

∴∠BDA＝180°﹣∠CDB＝180°﹣108°＝72°，

AB＝AD时，∠A＝180°﹣2∠ADB＝36°；

或AB＝BD，∠A＝72°（舍去）；

或AD＝BD，∠A＝（180°﹣∠ADB）÷2＝54°．

综上所述，∠A的度数可以是18°或36°或54°或72°．

故答案为：18°或36°或54°或72°．

三、解答题：本大题共4小题，每小题6分，共24分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．【解答】解：（1）（﹣2xy2）2÷（xy）﹣3xy3

＝4x2y4÷（xy）﹣3xy3

＝4xy3﹣3xy3

＝xy3；

（2）a5﹣16a＝a（a4﹣16）

＝a（a2+4）（a2﹣4）

＝a（a2+4）（（a+2）（a﹣2）．

16．【解答】解：（1）﹣a﹣1

＝﹣

＝

＝，

当a＝11时，

原式＝；

（2）去分母得：

2x＝x﹣2+1，

解得：x＝﹣1，

检验：当x＝﹣1时，x﹣2≠0，

故x＝﹣1是原方程的解．

17．【解答】（1）证明：∵2a＝4，2b＝6，2c＝12，

∴2a×2b÷2＝4×6÷2＝12＝2c，

∴a+b﹣1＝c，

即a+b﹣c＝1；

（2）解：∵2a＝4，2b＝6，2c＝12，

∴22a+b﹣c＝（2a）2×2b÷2c

＝16×6÷12

＝8．

18．【解答】解：如图所示，

（1）在图1中，MN即为线段BE的垂直平分线；

（2）在图2中，PQ即为线段AD的垂直平分线．

四、解答题：本大题共3小题，每小题8分，共24分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19．【解答】解：（1）由正方形的面积，可得

S1＝a2﹣b2；

由长方形的面积，可得S1＝（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；

∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；

故答案为a2﹣b2，a2﹣b2，选B；

（2）①67.52﹣32.52＝（67.5+32.5）（67.5﹣32.5）＝100×35＝3500；

②（x+2）2﹣（x﹣2）2＝24，

展开整理，得8x+8＝24，

解得x＝2，

∴方程的解是x＝2．

20．【解答】解：（1）设：甲单独运完此堆垃圾需要x趟，则乙需要1.5x趟，

由题意得：+＝，解得：x＝10，

故甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需10趟和15趟；

（2）设甲一趟的费用为a元，则乙为a＝100元，

由题意得：a+a﹣100＝1800÷6，解得：a＝200，

单独甲的费用为：10×200＝2000；

单独乙的费用为：150×（200﹣100）＝1500，

故租用乙车更合算．

21．【解答】解：（1）如图1，

∵∠ACB＝∠DCE＝α，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴BE＝AD；

（2）△CPQ为等腰直角三角形．

证明：如图2，

由（1）可得，BE＝AD，

∵AD，BE的中点分别为点P、Q，

∴AP＝BQ，

∵△ACD≌△BCE，

∴∠CAP＝∠CBQ，

在△ACP和△BCQ中，

，

∴△ACP≌△BCQ（SAS），

∴CP＝CQ，且∠ACP＝∠BCQ，

又∵∠ACP+∠PCB＝90°，

∴∠BCQ+∠PCB＝90°，

∴∠PCQ＝90°，

∴△CPQ为等腰直角三角形．

五、探究题：本大题共1小题，共24分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22．【解答】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，

x×1+6＝2x，

解得：x＝6，

即当M、N运动6秒时，点N追上点M；

（2）①设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1，

AM＝t，AN＝6﹣2t，

∵∠A＝60°，当AM＝AN时，△AMN是等边三角形

∴t＝6﹣2t，

解得t＝2，

∴点M、N运动2秒后，可得到等边三角形△AMN．

②当点N在AB上运动时，如图3，

若∠AMN＝90°，∵BN＝2t，AM＝t，

∴AN＝6﹣2t，

∵∠A＝60°，

∴2AM＝AN，即2t＝6﹣2t，

解得t＝；

如图3，若∠ANM＝90°，

由2AN＝AM得2（6﹣2t）＝t，

解得t＝；

当点N在AC上运动时，点M也在AC上，此时A，M，N不能构成三角形；

当点N在BC上运动时，

如图4，

当点N位于BC中点处时，由△ABC时等边三角形知AN⊥BC，即△AMN是直角三角形，

则2t＝6+6+3，

解得t＝；

如图5，

（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，

由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，

如图6，假设△AMN是等腰三角形，

∴AN＝AM，

∴∠AMN＝∠ANM，

∴∠AMC＝∠ANB，

∵AB＝BC＝AC，

∴△ACB是等边三角形，

∴∠C＝∠B，

在△ACM和△ABN中，

∵∠AMC＝∠ANB，∠C＝∠B，AC＝AB，

∴△ACM≌△ABN（AAS），

∴CM＝BN，

∴t﹣6＝18﹣2t，

解得t＝8，符合题意．

所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以MN为底的等腰三角形．