2021年上海市静安区高考数学二模试卷(解析版)

一、填空题（共8小题）.

1．（x2+）8的展开式中x4项的系数是　   　．

2．设变量x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值为　   　．

3．已知奇函数y＝f（x）的周期为2，且当x∈（0，1）时，f（x）＝log2x．则f（7.5）的值为　   　

4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为　   　．

5．投掷两颗六个面上分别刻有1到6的点数的均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数为虚数的概率为　   　．

6．某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为　   　米．

7．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P为梯形的腰DC上的动点，则|+3|的最小值为　   　．

8．已知桶A0中盛有2升水，桶B0中盛有1升水．现将桶A0中的水的和桶B0中的水的倒入桶A1中，再将桶A0与桶B0中剩余的水倒入桶B1中；然后将桶A1中的水的和桶B1中的水的倒入桶A2中，再将桶A1与桶B1中剩余的水倒入桶B2中；若如此继续操作下去，则桶An（n∈N*）中的水比桶Bn（n∈N*）中的水多　   　升．

二、选择题（本大题共3题，每题6分，共18分）

9．函数y＝x2（x≤0）的反函数为（　　）

A．y＝（x≥0）    B．y＝﹣（x≥0）    C．y＝（x≤0）    D．y＝﹣（x≤0）

10．某高科技公司所有雇员的工资情况如表所示．

A．24.5（万元）    B．25.5（万元）    C．26.5（万元）    D．27.5（万元）

11．在1，2，3，4，5，6，7中任取6个不同的数作为一个3行2列矩阵的元素，要求矩阵的第2行的两个数字之和等于5，而矩阵的第1行和第3行的两个数字之和都不等于5，则可组成不同矩阵的个数为（　　）

A．204    B．260    C．384    D．480

三、解答题（本大题共有5题，共84分)

12．已知正方形ABED的边长为，O为两条对角线的交点，如图所示，将Rt△BED沿BD所在的直线折起，使得点E移至点C，满足AB＝AC．

（1）求四面体ABCD的体积V；

（2）请计算：

①直线BC与AD所成角的大小；

②直线BC与平面ACD所成的角的大小．

13．设f（x）＝（常数a∈R），且已知x＝3是方程f（x）﹣x+12＝0的根．

（1）求函数y＝f（x）的值域；

（2）设常数k∈R，解关于x的不等式：（2﹣x）f（x）＜（k+1）x﹣k．

14．（16分）已知椭圆+y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点．

（1）求过点F、O，并且与抛物线y2＝8x的准线相切的圆的方程；

（2）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G的横坐标的取值范围．

15．（18分）将正奇数1，3，5，7，……按上小下大、左小右大的原则排成如下的数阵，已知由上往下数，从第2行开始，每一行所有的正整数的个数都是上一行的2倍．设aij（i，j∈N*）是位于这个数阵中第i行（从上往下数）、第j列（从左往右数）的数．

（1）设bn＝an1（n∈N*），求数列{bn}的通项公式；

（2）若amn＝2021，求m、n的值；

（3）若记这个数阵中第n行各数的和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，求极限的值．

16．（22分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）绕坐标原点O旋转角θ至点P′（x′，y′）．

（1）试证明点的旋转坐标公式：．

（2）设θ∈（0，2π），点P（0，﹣1）绕坐标原点O旋转角θ至点P1，点P1再绕坐标原点O旋转角θ至点P2，且直线P1P2的斜率k＝﹣1，求角θ的值；

（3）试证明方程x2+xy＝6的曲线C是双曲线，并求其焦点坐标．

参

一、填空题（共8小题）.

1．（x2+）8的展开式中x4项的系数是　70　．

解：由，

令16﹣3r＝0，得r＝4．

∴展开式中含x4项的系数为．

故答案为：70．

2．设变量x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值为　3　．

解：由约束条件作出可行域如图，

由图可知，A（1，2），

由z＝x+y，得y＝﹣x+z，由图可知，当直线y＝﹣x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，

z有最大值为3．

故答案为：3．

3．已知奇函数y＝f（x）的周期为2，且当x∈（0，1）时，f（x）＝log2x．则f（7.5）的值为　1　

解：∵奇函数y＝f（x）的周期为2，且当x∈（0，1）时，f（x）＝log2x．

∴f（7.5）＝f（1.5）＝f（﹣0.5）＝﹣f（0.5）＝﹣log2＝1，

故答案为：1．

4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为　（3+）π　．

解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由圆柱和圆锥组成的组合体；

如图所示：

故圆锥的母线长x＝，圆锥的底面周长为2π，

所以圆锥的侧面积S＝，

圆柱的表面积S＝2•π•1•1+π•12＝3π，

故几何体的表面积为．

故答案为：．

5．投掷两颗六个面上分别刻有1到6的点数的均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数为虚数的概率为　　．

解：∵复数＝＝，

故复数为虚数需满足n2﹣m2≠0，

即m≠n，

故有6×6﹣6＝30种情况，

∴复数为虚数的概率为：＝．

故答案为：．

6．某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为　5　米．

解：设长方体蓄水池长为y，宽为x，高为h，

每平方米池侧壁造价为a，蓄水池总造价为W（h），

则由题意可得，

∴W（h）＝2a（xh+yh）+2axy＝2ah（x+y）+2axy＝40ah+2a，

∴W（h）≥＝400a，

∴当且仅当h＝5时，W（h）取最小值，

即h＝5时，W（h）取最小值，

故答案为：5．

7．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P为梯形的腰DC上的动点，则|+3|的最小值为　5　．

解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，

则A（﹣2，0），B（﹣1，a），C（0，a），D（0，0），

设P（0，b）（0≤b≤a）

则＝（﹣2，﹣b），＝（﹣1，a﹣b），

∴+3＝（﹣5，3a﹣4b）

∴|+3|＝≥5，

∴|+3|的最小值为5．

故答案为：5．

8．已知桶A0中盛有2升水，桶B0中盛有1升水．现将桶A0中的水的和桶B0中的水的倒入桶A1中，再将桶A0与桶B0中剩余的水倒入桶B1中；然后将桶A1中的水的和桶B1中的水的倒入桶A2中，再将桶A1与桶B1中剩余的水倒入桶B2中；若如此继续操作下去，则桶An（n∈N*）中的水比桶Bn（n∈N*）中的水多　　升．

解：根据题意可得，，

∴，

∴，即数列{}是以为首项，为公比的等比数列，

∴⇒，

∴，

∴．

故答案为：

二、选择题（本大题共3题，每题6分，共18分）

9．函数y＝x2（x≤0）的反函数为（　　）

A．y＝（x≥0）    B．y＝﹣（x≥0）    C．y＝（x≤0）    D．y＝﹣（x≤0）

解：由y＝x2（x≤0），解得（y≥0），将x与y互换可得：（x≥0）．

故选：B．

10．某高科技公司所有雇员的工资情况如表所示．

A．24.5（万元）    B．25.5（万元）    C．26.5（万元）    D．27.5（万元）

解：年薪的平均数为（135+95+80×2+70+60×3+52×4+40+31×12）＝50.4万元，

所以该公司雇员年薪的方差约为[（135﹣50.4）2+（95﹣50.4）2+2×（80﹣50.4）2+（70﹣50.4）2+3×（60﹣50.4）2+4×（52﹣50.4）2+（40﹣50.4）2+12×（31﹣50.4）2]＝650.25，

所以该公司雇员年薪的标准差约为（万元）．

故选：B．

11．在1，2，3，4，5，6，7中任取6个不同的数作为一个3行2列矩阵的元素，要求矩阵的第2行的两个数字之和等于5，而矩阵的第1行和第3行的两个数字之和都不等于5，则可组成不同矩阵的个数为（　　）

A．204    B．260    C．384    D．480

解：两个数字之和等于5的情形只有两种：2+3＝1+4＝5．

下面先考虑第二行选取1，4作为元素，有种方法；再安排第一行、第三行，若只选取2，3中的一个有••种方法，若2，3都选取，则有种方法．

由乘法原理可得：（••+）方法．

同理可得：第二行选取2，3作为元素，也有（••+）方法．

利用加法原理可得：可组成不同矩阵的个数为2×（••+）＝384种方法．

故选：C．

三、解答题（本大题共有5题，共84分)

12．已知正方形ABED的边长为，O为两条对角线的交点，如图所示，将Rt△BED沿BD所在的直线折起，使得点E移至点C，满足AB＝AC．

（1）求四面体ABCD的体积V；

（2）请计算：

①直线BC与AD所成角的大小；

②直线BC与平面ACD所成的角的大小．

解：（1）由已知可得，AO＝CO＝1，AB＝AC＝，

所以AO2+CO2＝AC2，故CO⊥AO，

又CO⊥BD，BD∩AO＝O，AB，AO⊂平面ABD，

所以CO⊥平面ABD，

故CO是三棱锥C﹣ABD的高，

所以三棱锥C﹣ABD的体积＝；

（2）分别以OA，OB，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，

则A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），D（0，﹣1，0），

故，

①，

所以线BC与AD所成角的大小为60°；

②设平面ACD的法向量为，

则有，即，

令x＝1，则y＝﹣1，z＝1，故，

所以，

故直线BC与平面ACD所成的角的大小为．

13．设f（x）＝（常数a∈R），且已知x＝3是方程f（x）﹣x+12＝0的根．

（1）求函数y＝f（x）的值域；

（2）设常数k∈R，解关于x的不等式：（2﹣x）f（x）＜（k+1）x﹣k．

解：（1）由题意得f（3）﹣3+12＝0，

故，

解得a＝2，f（x）＝，

令t＝2﹣x，

当t＞0时，t+﹣4≥0，

当t＜0时，t+﹣4＝﹣[（﹣t）+（﹣）]﹣4≤﹣8，

则＝t+﹣4∈（﹣∞，﹣8]∪[0，+∞），

故函数的值域（﹣∞，﹣8]∪[0，+∞）；

（2）：因为（2﹣x）f（x）＜（k+1）x﹣k，

整理得x2﹣（k+1）x+k＜0，（x≠2），

即（x﹣1）（x﹣k）＜0，

当k＜1时，不等式的解集（k，1）；

当k＝1时，不等式的解集∅；

当1＜k≤2时，不等式的解集（1，k）；

当k＞2时，不等式的解集（1，2）∪（2，k）．

14．（16分）已知椭圆+y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点．

（1）求过点F、O，并且与抛物线y2＝8x的准线相切的圆的方程；

（2）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G的横坐标的取值范围．

解：（1）抛物线y2＝8x的准线为x＝﹣2，

∵圆过点F，O，∴圆心M在直线x＝﹣上，

设M（﹣，t），则圆的半径为r＝|（﹣）﹣（﹣2）|＝，

由|OM|＝r，得＝，解得t＝±，

∴所求圆的方程为．

（2）设直线AB的方程为y＝k（x+1），k≠0，A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，

∴x1+x2＝﹣，

∴y1+y2＝k（x1+x2）+2k＝，

∴线段AB的中点坐标为（﹣，），

∴线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y＝﹣（x+）+，

令y＝0，则x＝•k﹣＝﹣＝﹣+，

∵k≠0，∴﹣＜x＜0，

故点G的横坐标的取值范围为（﹣，0）．

15．（18分）将正奇数1，3，5，7，……按上小下大、左小右大的原则排成如下的数阵，已知由上往下数，从第2行开始，每一行所有的正整数的个数都是上一行的2倍．设aij（i，j∈N*）是位于这个数阵中第i行（从上往下数）、第j列（从左往右数）的数．

（1）设bn＝an1（n∈N*），求数列{bn}的通项公式；

（2）若amn＝2021，求m、n的值；

（3）若记这个数阵中第n行各数的和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，求极限的值．

解：（1）由已知，这个数阵的第n行有2n﹣1个数，

∴前n﹣1行一共有个数，

∴；

（2）令2m﹣1＜2021，满足不等式的最大整数为10，即m＝10，

210﹣1+2（n﹣1）＝2021，解得n＝500，

∴m＝10，n＝500；

（3）由题意，＝3×4n﹣1﹣2n，

，

由（1）知，1+2+22+…+2n﹣2＝2n﹣1﹣1，

，

∴＝＝．

16．（22分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）绕坐标原点O旋转角θ至点P′（x′，y′）．

（1）试证明点的旋转坐标公式：．

（2）设θ∈（0，2π），点P（0，﹣1）绕坐标原点O旋转角θ至点P1，点P1再绕坐标原点O旋转角θ至点P2，且直线P1P2的斜率k＝﹣1，求角θ的值；

（3）试证明方程x2+xy＝6的曲线C是双曲线，并求其焦点坐标．

解：（1）设将x轴正半轴绕坐标原点旋转角α至OP，OP＝r，

由任意角的三角函数的定义，可得和，

所以，

将代入，可得；

（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），由

点的旋转坐标公式，可得和，

由直线P1P2的斜率k＝﹣1，可得＝﹣1，

即有sin2θ﹣cos2θ＝sinθ﹣cosθ，

所以sin（2θ﹣）＝sin（θ﹣），

所以2θ﹣＝2kπ+θ﹣，或2θ﹣+θ﹣＝2kπ+π，k∈Z，

所以θ＝2kπ或kπ+，k∈Z，因为θ∈（0，2π），

所以θ＝、、．

（3）证明：设P（x，y）为方程x2+xy＝1的曲线上任意一点，

将点P绕坐标原点O旋转θ至点P'（x'，y'），

则，可得①，

将①代入方程，可得（x'cosθ+y'sinθ）2+（x'cosθ+y′sinθ）（﹣x'sinθ+y'cosθ）＝6，

整理可得（cos2θ﹣sinθcosθ）x'2+（sin2θ+sinθcosθ）y'2+（sin2θ+cos2θ）x'y'＝6，

令sin2θ+cos2θ＝0，可得sin（2θ+）＝0，θ＝﹣是该方程的解，

所以将方程x2+xy＝6的曲线按顺时针旋转，所得曲线C'的方程为﹣＝1，

可得曲线C'是以F1'（﹣4，0），F2'（4，0）为焦点的双曲线，

又因为曲线C'是由曲线C绕坐标原点O旋转而得到的，所以曲线也是双曲线．

将F1'（﹣4，0），F2'（4，0）按逆时针旋转，得到F1（﹣2，﹣2），F2（2，2），

所以，双曲线C'的焦点坐标为F1（﹣2，﹣2），F2（2，2）．