Matlab关于微分方程的解法

MATLAB使用龙格-库塔-芬尔格（Runge-Kutta-Fehlberg）方法来解ODE问题。在有限点内计算求解。而这些点的间距有解的本身来决定。当解比较平滑时，区间内使用的点数少一些，在解变化很快时，区间内应使用较多的点。

为了得到更多的有关何时使用哪种解法和算法的信息，推荐使用helpdesk。所有求解方程通用的语法或句法在命令集中头两行给出。时间间隔将以向量t=[t0,tt]给出。

命令ode23可以求解(2,3)阶的常微分方程组，函数ode45使用(4,5)阶的龙格-库塔-芬尔格方法。注意，在这种情况下x’是x的微分不是x的转置。

在命令集中solver将被诸如ode45函数所取代。

命令集龙格-库塔-芬尔格方法

[time,x]=solver(str,t,x0)计算ODE或由字符串str给定的ODE的值，部分解已在向量time中给出。在向量time

中给出部分解，包含的是时间值。还有部分解在矩阵x中给出，x的列向量是每

个方程在这些值下的解。对于标量问题，方程的解将在向量x中给出。这些解

在时间区间t(1)到t(2)上计算得到。其初始值是x0即x(t(1)).此方程组有str指定的

M文件中函数表示出。这个函数需要两个参数：标量t和向量x,应该返回向量

x’(即x的导数)。因为对标量ODE来说，x和x’都是标量。在M文件中输入odefile

可得到更多信息。同时可以用命令numjac来计算Jacobi函数。

[t,x]=solver(str,t,x0,val)此方程的求解过程同上，结构val包含用户给solver的命令。参见odeset和表1，可得

到更多信息。

Ode45此方法被推荐为首选方法。

Ode23这是一个比ode45低阶的方法。

Ode113用于更高阶或大的标量计算。

Ode23t用于解决难度适中的问题。

Ode23s用于解决难度较大的微分方程组。对于系统中存在常量矩阵的情况也有用。

Ode15s与ode23相同，但要求的精度更高。

Ode23tb用于解决难度较大的问题，对于系统中存在常量矩阵的情况也有用。

Set=odeset(set1,vak1,set2,val2,…)返回结构set,其中包含用于ODE求解方程的设置参数，有关可用设置

的信息参见表1。

Odeget(set,’set1’) 返回结构set中设置set1的值。

有许多设置对odeset控制的ODE解是有用的，参见表1。例如，如果要在求解过程中画出解的图形，可以输入：inst=odeset(‘outputfcn’,’odeplot’);.也可使用命令odedemo。

表1 ODE求解方程的设置参数

RelTol 给出求解方程允许的相对误差

AbsTol给出求解方程允许的绝对误差

Refine 给出与输入点数相乘的因子

OutputFcn 这是一个带有输入函数名的字符串，该字符串将在求解函数执行的每步被调用：odephas2(画出2D

的平面相位图)。Odephas3(画出3D 的平面相位图)，odeplot(画出解的图形)，odeprint(显示中间结果)

OutputSel 是一个整型向量。指出哪些元素应该被传递给函数，特别是传递给OutputFcn Stats 如果参数Stats 为on,则将统计并显示出计算过程中资源消耗情况

Jacobian … 如果编写ODE 文件代码以便F （t,y,jocobian ）返回dF/dy,则将jacobian 设置为on

Jconstant …如果雅可比数df/dy 是常量，则将此参数设置为on

Jpattern … 如果编写ODE 文件的编码以便函数F （[],[],jpattern ）返回带有零的稀疏矩阵并输出非零元素dF/fy,则

需将Jpattern 设置为on Vectorized …如果编写ODE 文件的编码以便函数F(t,[y1,y2……])返回[F(t,y1) F(t,y2)…],则将此参数设置成on Events … 如果ODE 文件中带有参数‘events ’，则将此参数设置成on

Mass … 如果编写ODE 文件编码以实现函数F(t,[],‘mass ’)返回M 和M(t),应将此参数设置成on MassConstant …如果矩阵M(t)是常量，则将此参数设置成on MaxStep … 此参数是限定算法能使用的区间长度上限的标量

InitialStep … 给出初始步长的标量。如果给定的区间太大，算法就使用一个较小的步长

MaxOrder … 此参数只能被ode15s 使用，它主要是指定ode15s 的最高阶数,并且此参数应是从1到5的整数 BDF … 此参数只能被ode15s 使用，如果倒推微分公式而不是使用通常所使用的微分公式，则要将它设置为

on NormControl …如果算法根据norm(e)<=max(Reltol*norm(y),Abstol)来步积分过程中的错误，则要将它设置成on

下面举几个例子 例1

（a ）求解下面的ODE:

创建函数xprim1,将此函数保存在M 文件xprim1.m 中： function xprim=xprim1(t,x)

xprim=-x.^2;

然后调用MATLAB 的ODE 算法求解方程。然后画出解的图形： [t,x]=ode45(‘xprim1’,[0,1],1); plot(t,x,’-‘,t,x,’o ’); xlabel(‘time t0=0,tt=1’);

ylabel(‘x values x(0)=1’);

得到图1，MATLAB 计算出的点用圆圈标记。

ïîïíì=-=1

)0(2'x x x

图1 由函数xprim1定义的ODE 解的图形

（b ） 解下面的ODE 过程是等价的：

首先创建xprim2,将此函数保存在M 文件xprim2.m 中： function xprim=xprim2(t,x)

xprim=x.^2;

然后调用MATLAB 的ODE 算法求解方程。然后画出解的图形： [t,x]=ode45(‘xprim2’,[0,0.95],1); plot(t,x,’o ‘,t,x,’-’); xlabel(‘time t0=0,tt=0.95’); ylabel(‘x values x(0)=1’);

得到图2. 注意：在MATLAB 中计算出的点在微分绝对值大的区域内更密集些。

ïîïíì==1

)0(2

'x x

x

图2 由函数xprim2定义的ODE 解的图形

（c ） 求解

可使用与（b ）中相同的函数，只要改一下初始数据即可： [t,x]=ode45(‘xprim2’,[0,1],-1); plot(t,x);

xlabel(‘time t0=0,tt=1’); ylabel(‘x values x(0)=-1’); 给出图3

ïîïíì-==1

)0(2

'x x x

图3 给定新的初始数据，由函数xprim2定义的ODE 解的图形

（d ） 求解下面方程组并不难：

这个方程组用在人口动力学中。可以认为是单一化的捕食者---被捕食者模式。例如，狐狸和兔子。表示被

捕食者，

表示捕食者。如果被捕食者有无限的食物，并且不会出现捕食者。于是有

，这个式子是

以指数形式增长的。大量的被捕食者将会使捕食者的数量增长；同样，越来越少的捕食者会使被捕食者的数量增长。而且，人口数量也会增长。

创建xprim3,将此函数保存在M 文件xprim3.m 中： function xprim=xprim3(t,x)

xprim=[x(1)-0.1*x(1)*x(2)+0.01*t;… -x(2)+0.02*x(1)*x(2)+0.04*t];

然后调用一个ODE 算法和画出解的图形： [t,x]=ode45(‘xprim3’,[0,20],[30;20]); plot(t,x);

xlabel(‘time t0=0,tt=20’);

ylabel(‘x values x1(0)=30,x2(0)=20’);

ïïïîïïïí

ì==++-=+-=20

)0(30)0(04.002.001.01.021212'22

11'

1

x x x x x x x x x x t t

x 1

x

2x x 1

'

1

=

x2x1

在MATLAB中，也可以根据函数绘制出图形，命令plot(x(:2),x(:1))可绘制出平面相位图，如图5。

图4 由函数xprim3定义的ODE解的图形

例3

对于某些a 和b 的值，下面的问题比较难解：

方程由下面的M 文件stiff1.m 定义:

function stiff=stiff1(t,x)

global a; %变量不能放入参数表中

glabol b;

stiff=[0,0]; %stiff 必须是一个冒号变量

stiff(1)=a-(b+1)*x1+x(1)^2*x(2);

stiff(2)=b*x(1)-x(1)^2*x(2);

下面的M 文件给出一个比较困难的问题：

global a;a=100;

global b;b=1;

tic;

[t,X]=ode23(‘stiff1’，[0 10],[1 3]);

toc

size(t)

运行后得到的结果如下：

elapsed_time=

72.17

ans=

34009

使用专门解决复杂问题的解法ode23s,将得到较好的结果：

elapsed_time=

1.0098

ans=

103

对于边界值问题，除了微分方程，还有边界处的值。在一维下这意味着至少有两个条件。现在举量哥如下的例子：

假设要研究一根杆的温度分布情况。这根杆一端的温度是T0,另一端的温度是T1;如图6所示。

令y(x)表示这根杆的温度，函数f(x)表示加热源。

从时间t=0开始，在相当长的时间内加热这根杆，直至达到平衡状态。这就是所谓的定常值或稳定状态。这个定常值可由下面的方程模型表示：

ïïïîïïïíì==-=++-=3

1)1(02012211'22211'1

x x x x x x x x x x b b a ·ïîïíì==<<=¢-1)1(0

)0(10),()(T y T y x x f x y

假设这根杆两端为：x=0和x=1。

假设在其两端又一根固定的柱子（或者可以看成是一个连接两个岛屿的桥），如图7所示。 令y(x)表示加载函数g(x)后弯曲的柱子。此问题需要有两个关于此柱子两端的边界条件。假设这根柱子非常牢固的固定在墙上，即y 在墙上的导数是0。可以得到下面的ODE,其中介绍了自然协调系统：

由于存在边界值问题，不可能象解决初始值问题一样一次只执行一步地来解决问题。因此必须解一个同时给出所有未知参数的方程组。

假设又一个ODE,函数y(x)是它的解。用近似的差分来代替微分方程就能解这个ODE 问题。为了能这样做，必须将区间分成有限数量的点：x0,x1,………..xM,其中xj+1=xj+,然后计算出区间内各点的近似值y()=y(),并给出确定的边界值，如y0和yM 或更多的值；如图8所示。

解y(x)的导数可由有限的差分代替，如下：

如果用这些差分方程来代替ODE 中的导数，就能得到一个所有未知的yi 的方程组。其系数矩阵是一个有序区间，此区间的宽度决定于这个微分方程的导数个数。

例3

根据前面的温度模型的方程研究一下杆的温度分布，将所有的导数换成不同的差分并得到：

其中fj=f(xj)。为了简单起见，设M=6,即给定的y0和y6，而y1,y2,….y5 为未知变量。于是就有

·îíì=¢==¢=<<=¢¢¢0)1()1()0()0(10),()(y y y y x x g x y ïïïïî

ïïïïíìD +-+-»¢¢¢D +-»¢¢D -»¢--++-++x x x x x x x x x x x x x x x j j j j j j j j j j j j j y y y y y y y y y y x y y y 421!22111)

()(4)(6)(4)()()()(2)()()

()()(ïïïïîïïïïíì====D +---+10

0,...,1,2211T T y M

j y f x y y y M j j j j

注意，y0=T0和yM=T1必须移到方程组的右边。此时得到的矩阵是一个对角矩阵，其对角线上的元素为2，并且上一对角线和下一对角线上的元素为1。

下面解此问题的文件temperature.m 。用户必须先给出分段数及f(x)(用点符号)，最后给出T0和T1。有关稀疏矩阵的更多信息参见其他资料。

%杆上的温度分布，用T0和T1分别表示两端温度

%这根杆放在x 坐标的0和1 区间上，并被分成M 个子区间，每个子区间的长度为1/M

%创建稀疏矩阵方程Ax=b 并求解

%矩阵A 是对角阵，并以稀疏矩阵的形式存储

clear;

M=input(‘Give the number of subintervals (M):’);

Deltax=1/M;

xx=0:deltax:1;

funcStr= input(‘give f(x),the extra heat source(e.g.,x.^3):’,’s ’);

T0=input(‘Give y(0) (left): ’);

T1=input(‘Give y(1) (right): ’);

%构造 对角阵和方程右边b

vectorOnes=ones(M-1,1);

A=spdiags([-vectorOnes,2*vectorOnes,-vectorOnes],[-1 0 1],M-1,M-1);

x=xx(2:end-1); %x 为区域内的值。

f=eval(funcStr); %响应的f(x)的值。

b=deltax^2f;

b(1)=b(1)+T0; %对边界值x=0,x=1 进行特殊处理。

b(end)=b(end)+T1;

b=b ’;

%解线性方程

ïïïïîïïïïíìD =-+-D =-+-D =-+-D =-+-D =-+-f

x y y y f x y y y f x y y y f x y y y f x y y y 526544

254

33

24322

23211

221022222÷÷÷÷÷÷÷÷øöççççççççèæ+D D D D +D =÷÷÷÷÷÷øöççççççèæ÷÷÷÷÷÷øöççççççèæ---------1054321*21000121000121000121000125242322212T T y y y y y f x f x f x f x f x

y=A\\b; %y 在区间内：j=1:M-1.

y=[T0;y;T1]; %y 在整个区间内：0<=x<=1.

clf;

%上面图形表示外部热源。

%下面图形表示杆上的热分布。

subplot(2,1,1);

plot(x,f);

grid on;

title(‘External heat source f(x).’,’FontSize ’,14);

subplot(2,1,2);

plot(xx,y,’r ’);

grid on;

title(‘Tempearture distribution in a rod.’,’FontSize ’,14);

将区间分成等份，根据方程f(x)=在图9中可以得到解。

图9

例4

如果把前面柱子问题中的导数替换掉，即用近似值表示解，就可以得到：

y i

将其重写为：

这是一个真正的线性方程组，其中用M-3个方程来解M-3个未知数：。如果M=10,则有：

解是一个5对角矩阵，运用运算符能很快且有效的解此方程！

ïïîïïíì=D -==D -=-==D +-+----++0

102

,...,2,4142

112x x y y y M j y y y g x

y y y y y M M M j j j j j j ïîïíì====-=D =+-+----++0

102,...,2,414

2112y y g x y y y y y M M j j j j j j y y M j ÷÷

÷

÷

÷÷

÷

÷

÷

ø

öçççççççççèæD =÷÷

÷÷÷÷÷÷÷øöçç

çç

çççççèæ÷÷÷÷÷÷÷÷÷øöçççççççççèæ------------876

54328765432*100004100014100004100004100004000004g g g g g g g y y y y y y y x