统计学第四章

教学目的：

1.理解全距、四分位距、百分位距、平均差、方差、标准差和差异系数等概念；

2.掌握各种差异量指标的计算方法。

数据的分布特征不仅有集中趋势，还有离中趋势。以动态的眼光，从不同的角度看，数据是向中间变动的，也是向两端变动的。两组数据可能平均水平相同，但两组数据的分布特征并不完全相同。

【如】:比较下列两组数据

A组：88、82、73、76、81

B组：92、86、70、72、80

两组平均数但RA=88－73＝15，RＢ=92－70＝22。即A组较集中，B组较分散。因此，我们描述一组数据的分布特征，既要描述其集中趋势，也要描述其离中趋势。

差异量：表示一组数据的离中趋势或变异程度的量称为差异量。

常用的差异量指标有全距、四分位距、百分位距、平均差、方差、标准差和差异系数。

第一节 全距、四分位距、百分位距

一、全距

全距：是一组数距中最大值与最小值之差。

优点：意义明确，计算方便。

缺点：反应不灵敏，易受极端值影响。

二、四分位距

（一）四分位距的的概念

四分位距:是指一组按大小顺序排列的数据中间部位50%个频数距离的一半。

QD：表示四分位距；

Q3：表示第三四分位数；

Q1：表示第一四分位数。

所以：四分位距的公式又为：               

（二）四分位数的计算方法

1、原始数据计算法  

（1）将数据由小到大进行排列；

（2）分别求出三位四分位数（点）；

（3）代入公式计算。

【例如】：有以下16个数据25、22、29、12、40、15、14、39、37、31、33、19、17、20、35、30，其中四分位距的计算方法如下：

（1）先将原始数据从小到大排列好；

  12、14、15、17、*19、20、22、25、*29、30、31、33、*35、37、39、40

Q1=18          Md=27            Q3=34

（2）求出Q1、Md、Q3；

（3）将Q1、Md、Q3的得数代入公式（4.1）。

2、频数分布表计算法

利用频数分布表计算公式为：

关键是分别计算P75和P25，百分位数计算方法掌握了，这里的计算就不会有什么问题。

（三）优缺点

优点：意义明确，不受极端值影响。

缺点：反应不灵敏。

三、百分位距

百分位距：是指两个百分位数之差。

常用的百分位距有两种：P90－P10和P93－P7

优点：意义明确，不受极值影响。

缺点：反映不灵敏。

第二节  平均差

一、平均差的概念

平均差：是指每个数据与本组数据的平均数（或中位数）之差的绝对值的算术平均数（用MD表示）。

二、平均差的计算方法

1、原始数据计算法

公式为：

【如】：求88、82、73、76、81的平均差。

2、频数分布表计算法

公式为：

【例】：求表4.1中30数据的平均差。

表4.1 30个分数的频数分布表

三、平均差的优缺点

优点：意义明确，反应灵敏。

缺点：不适合代数运算。

第三节 方差和标准差

一、方差和标准差的概念

1.方差：是一组数据离差平方的算术平均数（用表示）。

定义公式为：

2、方差的方根即标准差

例：求72，78，80，86的方差和标准差

解：（1）求算术平均数

（2）求方差

（3）求标准差

※：标准差的值越大，说明数据越分散。

二、方差和标准差的计算方法

1.原始数据计算法

所以得：

【例】：计算80、78、84、80、72的方差和标准差。

解：

2.频数分布表计算法

公式为：

例题：参看教材48。

三、方差和标准差的优缺点：

优点：严密确定，反映灵敏，适合代数运算。

缺点：不太容易理解，易受两极端值影响。

第四节相对差异量

一、相对差异量的概念

平均差、方差、标准差等都带有单位，是绝对差异量。常常不能对不同组的数据差异直接比较。

差异系数：也叫相对差异量，是指同一组数据的标准差与算术平均数的百分比（用CV表示）。

公式为：

CV值越大，表明数据离散程度越大。

二、差异系数的用途

1.比较不同单位资料的差异程度。

【例题】：某班学生的平均身高为152cm，标准差为5.1cm;平均体重为47公斤，标准差为3.2公斤，问该班学生身高变异大还是体重变异大?

解：

得：该班学生体重变异大。

2.比较单位相同平均数差异较大的两组资料的差程度。 

【如】：某班语文测验平均分为86.5分，标准差为5.5分；英语平均分为71分，标准差为5分，则：

   所以，英语成绩的变异大。

3.可判断特殊情况：

一般CV值在5%～35%之间。

第五节偏态量和峰态量

偏态量和峰态量：是判断频数分布是否为正态分布的统计量，是一种粗略指标。

正态性检验常用检验。

一、偏态量

偏态量有两种计算方法

1.皮尔逊指数法

当SK=0则分布是对称形；当SK>0时，分布为正偏；当SK< 0时，分布为负偏。

【例】:某校200名学生的英语平均分为80分，中位数为82分，标差为8分，其偏态度为：解：

2.根据动差来计算

动差：是指力与力距的乘积（力学中的概念）。

当=0时，分布对称；当>0时，分布是正偏态；当<0时，分布是负偏态。计算时，N应大于200.

例题：参看教材57页。

二、峰态量

峰态量：是用于说明分布曲线高狭和低阔程度的量。

1.用两个百分位距来计算

当Ku=0.263时，分布是正态峰；当Ku<0.263时，分布为高狭峰；当Ku>0.263时，分布低阔。 

表4.1  小学二年级80个学生身高的四分位距计算表

2、根据动差来计算

当α4=0时，分布是正态峰；当α4>0时，分布是高狭峰；当α4<0时，分布是低阔峰。

计算α4时，N应大于1000，峰态系数方比较可靠。

表4.4  以平均数为原点四种动差的计算表