北京航空航天大学数学竞赛2010题解

2010年数学竞赛答案

一.填空题（本题共60分）

1.  设函数在区间内连续，对任意正数，有，且，则_______________

2.  设则__________________

3.  已知在内可导，且，，则___________

4.  已知  则

5.  当满足________时，级数绝对收敛.

6.  _____________

7. 已知，，且在上有，则________

8.  计算积分_______________

9. 设是八面体的表面，则积分=_______________

10. 设由曲线与直线所围的均匀薄片(面密度为)绕过原点的任意直线的转动，则该转动惯量中的最小值为____________________

二. (本题10分) 设, 试问中哪一个的变动对R影响最大?

解,

两边取全微分

故

, , 

由于, 所以

因此的变动对R影响最大.

三、(本题10分) 已知.

（1）证明；（2）求.

解:    .

设  ，

,  ,

所以   

四、(本题10分) 计算曲面积分  其中

的部分的外侧.

解: 作辅助曲面下侧；

，下侧。

原式=， 

原式=.

五、(本题10分) 求最小的实数C， 使得满足的连续函数都有.

解: 一方面。

另一方面， 取, 则,

 而

因此最小的实数C=2.