空间向量与立体几何专题复习

（Ⅰ）空间直角坐标系

一、空间直角坐标系：如图，是单位正方体。以O为原点，分别是射线OA，OC，的方向为正方向，以线段OA，OC，的长为单位长度，建立三条数轴：轴，轴，轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系O。点O叫做坐标原点，轴，轴，轴叫做坐标轴。通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面。其中：

平面是坐标形如（x,y,0）的点构成的集合；

平面是坐标形如的点构成的集合；

平面是坐标形如的点构成的集合；

轴是坐标形如的点构成的集合；

轴是坐标形如的点构成的集合；

轴是坐标形如的点构成的集合。

空间任意一点M与三个有序实数组（点的坐标）之间，建立起一一对应关系。

这个有序实数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M（）。

其中叫做点M的横坐标，叫做点M的纵坐标，叫做点M的竖坐标。

写出下列各点的坐标：O，A，

B，C， ，

， ， 。

例1、如图，正方体的棱长为

E、F、G、H、M、N分别是棱，，

，，，的中点，

写出正六边形EFGHMN各顶点的坐标。

E（0，，），F（，0，），G（，0，）

H（，，0），M（，，0），N（0，，）

例2、已知正三角形ABC的两个顶点的坐标分别为A（0，0，0），B（0，2，0）

     它的第三个顶点C在坐标平面上，则顶点C的坐标是            。

     答案：（，1，0），（-，1，0），（0，1，），（0，1，-）。

二、在空间直角坐标系中，点P（x，y，z）的几种特殊的对称点的坐标如下：

点P关于原点对称的对称点是P1；

点P关于横轴（x轴）对称的对称点是P2；

点P关于纵轴（y轴）对称的对称点是P3；

点P关于竖轴（z轴）对称的对称点是P4；

点P关于平面对称的对称点是P5；

点P关于平面对称的对称点是P6；

点P关于平面对称的对称点是P7。

三、已知空间两点，，则：

（1）线段的中点坐标公式：。

（2）空间两点间的距离公式： 。

特别地：空间任意一点到原点O的距离为： 。

例3、如图，正方体的棱长为，且正方体各面的中心是一个

几何体的顶点，则这个几何体的棱长为。

        （例3图）                      （例4图）

例4、如图，正方体的棱长为，，

   ，则的长为。

例5、以A（4，1，9），B（10，－1，6），C（2，4，3）为顶点的

三角形是    等腰直角    三角形。

四、练习：

（1）点A（0，1，3）及点B（0，－5，0）在空间直角坐标系的位置都比较特殊，

     点A在上，点B在上。

（2）点M（－1，5，－2）关于平面的对称点是 （1，5，-2）  。

（3）点M（3，－1，2）关于轴对称的点的坐标是  （3，1，-2）  。

（4）点A（2，－3，1）关于坐标原点对称的点的坐标是 （-2，3，-1） 。

（5）点M（－2，1，2）在轴上的投影点为  （-2，0，0）   。

（6）点A（－1，2，1）在平面上的投影点为   （-1，0，1）  。

（7）点M（3，－4，2）到平面上的距离是      2      。

（8）点A（2，－1，5）到轴的距离等于。

（9）已知，两点，

当取最小值时，的值为。

（10）轴上到点M（3，5，7）与点N（6，0，1）距离相等

的点的坐标是。

（11）已知三角形三个顶点A（2，0，0），B（2，3，5），C（0，0，5），

      则过点B的中线长为。

（Ⅱ）空间向量与立体几何

一、在空间，具有 大小 和 方向 的量叫做空间向量。空间向量用 有向线段 表示。

有向线段的长度表示向量的  长度  或  模  。

二、零向量、单位向量、共线向量、相等向量、相反向量、共面向量：

1、空间向量的加法、减法运算：空间向量的加减运算类似于平面向量的加减运算，

同样遵循平行四边形法则和三角形法则。

说明：①空间向量的加法运算满足交换律及结合律；

        即：加法交换律：；加法结合律：。

② 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量

为棱的平行六面体的以公共始点为始点的 对角线 所表示的向量，

这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．

即在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，。

③ 首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点

的向量．即：。

因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为 首尾相接 的向量．

④ 首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为．即：

．

2、空间向量的数乘运算：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积

仍然是一个向量，称为向量的数乘运算。它的长度与方向规定如下：

①；

② 当时，λ的方向与的方向  相同  ；

当时，λ的方向与的方向  相反  ；当时，λ＝．

③ 向量数乘运算律：设λ、μ为实数，那么：

，

特别地：(－)＝－()＝(－)，

；

。

四、向量共线的充要条件：对空间任意两个向量， (≠)，

的充要条件是存在实数λ，使。

推论：如上图，如果为经过已知点，且平行于已知非零向量的直线，

对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，

使。………………①

其中向量叫做直线的方向向量。在上取，则上式可化为：

或。……………②

当时，点是线段的中点，此时………③

①和②都叫做空间直线的向量表示式，③是线段的中点公式．

五、向量共面的充要条件：

如果两个向量不共线，

与向量共面的充要条件是：

存在唯一的有序实数对（），

使．…①

推论：空间一点位于平面ABC内的充要条件是：

存在有序实数对（），使。………②

或对空间任意一点O，有。………③

或对空间任意一点O，有。……④

上面②、③和④式都叫做平面ABC的向量表示式．

例1、已知，，，则和所夹角的大小为。

例2、已知，，若，

则实数=    -13     ， =     8      。

六、空间向量的数量积：

1、空间向量的夹角及其表示：

已知两非零向量，在空间任取一点，作，

则叫做向量与的夹角，记作，显然有。

的取值范围：。

2、向量的数量积：

已知两个非零向量，则叫做的数量积。

记作，即．

零向量与任何向量的数量积为    0      。

3、“投影”的概念：

定义：叫做向量在方向上的投影．

同样：叫做向量在方向上的投影．

投影也是一个  数  量，不是  向  量。

当<， >为锐角时，投影为  正  值；

当<， >为钝角时，投影为  负  值；

当<， >为直角时，投影为  0  ；

当<， >＝0时，在方向上的投影为；

当<， >＝180时，在方向上的投影为．

向量的数量积的几何意义：

数量积·等于的长度与在方向上的投影的乘积．

4、空间向量数量积的性质：

设、为两个非零向量．为单位向量，则：

（1）·＝  0  ，  1  ；（2）；

（3）当与同向时，·＝； 当a与b反向时，·＝；

特别地，·＝||2   或  ；

（4）由·＝ ||||cos  cos＝；

（5）|·|  ||||。

5、空间向量数量积运算律：

（1）；

（2）交换律：；（3）分配律：．

6、空间向量数量积的乘法公式：

（1）完全平方公式： =；

=；

（2）平方差公式： =。

7、注意：

（1）空间向量的线性运算（加法、减法、数乘运算）的结果是一个  向量  ；

空间两个向量的数量积（或内积）是一个   数量   ．

（2）在数量积中，若，且·＝0，不能推出＝，为什么？

（3）·＝·＝，为什么？（反过来成立吗?）

（4）（·）与（·）不一定相等，为什么？

例3、在中，设， ， ，若，则（C）

A．直角三角形   B．锐角三角形   C．钝角三角形   D．无法判定

例4、若向量垂直于向量和，向量（，），则（B）

      A．                     B． 

C．与即不平行也不垂直    D．以上三种情况都有可能

例5、在棱长为1的正方体中，M和N分别是和

的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为。

例6、在空间四边形中，，，，，

，，则与的夹角的余弦值为。

例7、已知、、是非零的单位向量，且++=，

求证：为正三角形。

证明：如图，作，因为||=||=||=1

      所以四边形OBDC是菱形。

由++=得： +=-。

所以，，所以A，O，D三点共线，

且，所以△OBD，△OBD是等边三角形。

所以，∠BOC=120°。同理可求∠AOC=∠AOB=120°，

从而得为正三角形。

七、空间向量运算的坐标表示：

1、空间向量的正交分解：设是空间三个两两垂直的向量，那么，

对空间任一向量，存在一个 有序实数组{x，y，z} ，使得，

我们称为向量在上的分向量．

2、空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，

存在有序实数组{x，y，z}，使得。

3、基底，基向量：如果三个向量不共面，那么所有空间向量所组成的

集合就是．这个集合可看作

是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底，

都叫做基向量．空间任何三个不共面向量都可构成空间的一个基底．

4、单位正交基底：设为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，

称它们为单位正交基底。

5、空间向量的坐标表示：

在空间选定一个单位正交基底{}，以的公共起点O为原点，

分别以的方向为x轴、y轴、z轴的 正方向 建立空间直角坐标系

O—xyz．那么对于空间任意一个向量，一定可以把它平行移动，

使它的起点与原点O重合，得到向量．

由空间向量基本定理可知，存在有序实数组  {x，y，z}  ，使得：

＝．我们把 x，y，z 称作向量（在单位

正交基底下）的坐标，记作＝ （x，y，z）  ．

此时向量的坐标恰是点P在空间直角坐标系中的坐标 （x，y，z） ．

这样就发生了从正交基底到直角坐标系的转换。

6、空间向量的坐标表示：设A，B，

则＝，＝；

特别地：若是坐标原点，则＝，＝。

7、向量的直角坐标运算：设＝，＝，则

（1）＝；（2）＝；

（3）λ＝；（4）＝。

8、两个向量共线或垂直的判定：设＝，＝，则

∥（）；

⊥．

与的夹角为锐角，且；

与的夹角为钝角，且。

9、向量的模长及夹角的坐标公式：设＝，＝，则

||＝＝； 

＝＝．

10、点P为线段AB的中点．

若，，则线段AB中点坐标为．

11、点M为△ABC的重心．

已知，，，点O为空间中任意一点．

则△ABC重心坐标为：．

12、线段定比分点公式：若，

若，则．

例8、若＝（2，1，3），＝（1，－2，9），

如果与共线，则， 。

例9、与向量＝（1，－3，2）平行的一个向量的坐标为（ C  ）

A．（1，3，2）        B．（－1，－3，2）

C．（－1，3，－2）    D．（1，－3，－2）

例10、已知点A的坐标是（－1，－2，6），点B的坐标是（1，2，－6），

O为坐标原点，则向量与的夹角是（ C  ）

A．0      B．     C．π     D． 

例11、设向量{，， }是空间一个基底，则一定可以与向量，

构成空间的另一个基底的向量是（ C  ）

      A．      B．      C．      D．或

例12、在三棱锥O—ABC中，设，，，

M，N分别是OA，BC的中点，点G∈MN，且MG：GN＝2：1，

设，则，，分别等于（ D  ）

A．，，   B．，，   C．，，   D．，， 

例13、 如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、

BD的中点，G在棱CD上，且CG＝，用向量法解决下列问题：

（1）求证：EF⊥B1C；

（2）求EF与C1G所成角的余弦值；

（3）若H为C1G的中点，求FH的长．

解析：（1）分别以，，为单位正交

基底建立空间直角坐标系O—xyz。

E（0，0，），F（，，0），

∴=（，，-）。

B1（1，1，1），C（0，1，0），∴=（-1，0，-1）。

∴·=0，∴EF⊥B1C。

（2）C1（0，1，1），G（0，，0），∴=（0，，-1）。

（3）H（0，，），∴FH=。

八、立体几何中的向量方法：

1、利用空间向量确定点、直线和平面在空间的位置：

（1）点的位置：在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位

置就可以用向量确定，我们把向量称为点P的位置向量。

（2）直线的位置：空间中任意一条直线的位置可以由

和确定。并可具体表示出上任意一点。

在直线上取，则对于直线上任意一点P，一定存在实数，

使得.

（3）平面的位置：

方法一：通过平面上的一个定点O与两个不共线向量和来确定：

空间中平面的位置可以由内两条相交直线来确定。

设这两条相交直线相交于点O，它们的方向向量分别为和，

P为平面上任意一点，由平面向理基本定理知，存在有序实数对（x，y），

使得。这样，点O与向量和不仅可以确定

平面的位置，还可以具体表示出内的任意一点。

方法二：通过平面上的一个定点A和平面的法向量来确定：

若直线⊥平面，则直线的方向向量叫做平面的法向量。

给定一点A和一个向量，

那么，过点A，以向量为法向量的平面是完全确定的。

注意：用空间向量确定点、直线、平面的位置时，

都需要事先确定某个定点，作为表达式中向量的起点。

2、求平面法向量的方法：设，是平面内任意两个不共线的向量，

则平面的法向量满足：。

3、求直线：的方向向量的方法：

（1）， 为直线上不同的两点。

（2），为直线的斜率。   （3）（B，－A）。

（4）单位方向向量，为直线的斜率。

4、因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置关系，所以可以利用直线的

方向向量和平面的法向量表示空间直线、平面的平行、垂直、夹角等位置关系。

设直线，的方向向量分别为，；

平面，的法向量分别为，，  则有以下结论：

（1）线线平行： ，。（包括线线重合）

（2）线面平行： 。（包括线在面内）

（3）面面平行： ，。（包括面面重合）

（4）线线垂直： 。

（5）线面垂直： ，。

（6）面面垂直： 。

（7）线线夹角：，的夹角为（），=。

     若=1，则或；若=0，则。

（8）线面夹角：，的夹角为（），=。

     若=0，则或；若=1，则。

（9）面面夹角：，的夹角为，则：

当时， =；

当时， =；

  若=1，则或；若=0，则。

（10）如果平面是通过其上一个定点O和两个不共线向量和来确定的，

即设点P是平面上的任意一点，则平面有向量表示式：，

设直线的方向向量是，则有：

线面垂直： 。

（11）若点M为平面内任意一点，为平面的法向量，

则空间一点P到平面的距离。

（12）若是异面直线AB、CD的公垂线所在直线的方向向量，

则异面直线，的距离。

例14、已知△ABC的顶点是A（1，－1，1），B（2，1，－1），

C（－1，－1，－2），则这个三角形的面积为。

例15、已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，－5，1），

C（3，7，－5），则顶点D的坐标为   （5，13，-3）    。

例16、已知，，，点在直线OP

上运动，则当取得最小值时，点的坐标为。

例17、已知点，，，，

点D到平面ABC的距离为。

例18、已知平面过点A（3，0，0）和B（0，4，0）及轴上一点

C（0，0，）（），如果平面与平面的夹角为45º，

则实数=。

例19、已知二面角的大小为120º，点A，，AC⊥于点C，

BD⊥于点D，且AC=CD=DB=1。

（1）求直线AB与CD所成角的大小；

（2）求直线AB与CD的距离。

解析：（1），

     ∴

     又

     ∴。

     ∴直线AB与CD所成角为60°。

     （2）

例20、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

（1）求证：AO⊥平面BCD；

（2）求异面直线AB与CD所成角余弦值的大小；

（3）求点E到平面ACD的距离。

解析：（1）易证AO⊥BD，且AO=1，

          易证CO⊥BD，且CO=。

          利用勾股定理可证AO⊥OC，

          再利用直线与平面垂直的判定定理即可证AO⊥平面BCD

     （2）可证AO，OC，BD两两垂直，所以可建立如图所示空间直角坐标系。

          利用坐标法即可求异面直线AB与CD所成角余弦值为。

     （3）设平面ACD的法向量为，

因为A（0，0，1），C（0，，0），

D（-1，0，0）。

∴， 

∴，令，

解得： 

又因为点E（），∴。

     ，。

     ∴点E到平面ACD的距离。

九、精益训练：

1、若，均为单位向量，且，则＝（ C  ）

A．    B．    C．    D．4

2、已知A（1，－1，2），B（5，－6，2），C（1，3，－1）

则△ABC中，AC边上的高BD为（ A  ）

A．5    B．    C．4    D． 

3、已知，，

则以、为邻边的平行四边形的面积为（ A  ）

A．    B．    C．4    D． 

4、若点关于轴的对称点是，

则的值依次是（ B  ）

A．    B．    C．    D． 

5、正四面体A－BCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，

则异面直线AF，CE所成角的余弦值为（ C  ）

A．    B．    C．    D． 

6、直线，的方向向量分别是， 

平面的法向量是

（1）若直线⊥，则=  3  ；（2）若直线⊥平面，则=  -4  。

7、已知（2，－1，3），=（－1，4，－2），=（7，5，），

若，，三向量共面，则实数的值为。

8、已知向量，则与的夹角为    90°   。

9、若（2，，），＝（0，，0），则＝．

10、空间四边形中，、分别是与的重心，

设，，，试用、、表示下列向量：

， 。

11、已知点A（3，3，1），B（1，0，5），求：

（1）线段AB的长度及中点坐标；

（2）到线段AB两个端点距离相等的动点P的轨迹方程．

解析：（1）|AB|=，线段AB中点坐标为（2，，3）

     （2）设点P（x，y，z），由|PA|=|PB|得：

     即：。

12、如图：，原点是的中点，点的坐标，

点在平面上，且，。

（1）求向量的坐标；

（2）求向量与的夹角的余弦值．

解析：（1）B（0，-1，0），C（0，1，0），

设D（0，y，ｚ），

=（0，y+1，z）,

,

∴,∴.

∴D（0，，），C（0，1，0），∴。

（2），（0，2，0），

，，，

∴。

13、已知关于的方程有两个实根，，

且，，问：能否取得最大值？若能，

求实数的值，并求此时向量与夹角的余弦值；若不能，说明理由。

解析：由得：。

      又

      ∴。

      ∴当时，。

      此时， =（-5，1，11），=（1，0，-2）

      ，， 

      ∴。