八上数学三角形边角关系拔高题型

一．选择题（共3小题）

1．（2015•模拟）如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A=50°，则∠BOC等于（　　）

A．110°    B．115°C．120°    D．130°

2．（2015•）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（　　）

A．110°    B．120°    C．130°    D．140°

3．（2013•）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（　　）

A．90°    B．100°    C．130°    D．180°

二．解答题（共9小题）

4．（2016春•期中）在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A=20°，∠B=60°．求∠BCD和∠ECD的度数．

5．（2014秋•富顺县校级期末）如图所示，已知P是△ABC一点，试说明PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．

6．（2016春•故城县期末）已知：a、b、c为三角形的三边长

化简：|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|﹣|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|

7．（2013秋•鲤城区校级期末）一个三角形的周长为36cm，三边之比a：b：c=2：3：4，求a，b，c的值．

8．（2015秋•校级期中）若三角形三条边的长度依次为x，x﹣2，x+2，则x的取值围是多少？

9．（2016春•迁安市月考）将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．

（1）如果A′落在四边形BCDE的部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．

（2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是　　　　．

（3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．

10．（2006•）已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．求证：∠P=90°．

11．（2015春•东城区期末）已知∠MON，点A，B分别在射线ON，OM上移动（不与点O重合），AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，直线AD，BC相交于点C．

（1）如图1，若∠MON=90°，试猜想∠ACB的度数，并直接写出结果；

（2）如图2，若∠MON=α，问：当点A，B在射线ON，OM上运动的过程中，∠ACB的度数是否改变？若不改变，求出其值（用含α的式子表示）；若改变，请说明理由；

（3）如图3，若∠MON=α，BC平分∠ABO，其他条件不改变，问：（2）中的结论是否仍然成立，请直接写出你得结论．

12．（2016春•太仓市期末）已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．

（1）如图1，若AB∥ON，则

①∠ABO的度数是　　　　；

②当∠BAD=∠ABD时，x=　　　　；当∠BAD=∠BDA时，x=　　　　．

（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．

一．选择题（共3小题）

1．（2015•模拟）如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A=50°，则∠BOC等于（　　）

A．110°    B．115°    C．120°    D．130°

【考点】三角形角和定理；角平分线的定义．

【分析】根据三角形的角和定理和角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形的角和等于180°即可求出∠BOC的度数．

【解答】解：∵∠A=50°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣50°=130°，

∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，

∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°，

∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣65°=115°．

故选B．

【点评】本题主要利用三角形的角和定理和角平分线的定义，熟练掌握定理和概念是解题的关键．

2．（2015•）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（　　）

A．110°    B．120°    C．130°    D．140°

【考点】三角形的外角性质．

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个角的和列式计算即可得解．

【解答】解：由三角形的外角性质的，∠ABD=∠A+∠C=50°+70°=120°．

故选B．

【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个角的和的性质，熟记性质是解题的关键．

3．（2013•）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（　　）

A．90°    B．100°    C．130°    D．180°

【考点】三角形角和定理．

【分析】设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个角，再利用三角形的角和等于180°列式整理即可得解．

【解答】解：如图，∠BAC=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1，

∠ABC=180°﹣60°﹣∠3=120°﹣∠3，

∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，

在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，

∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°，

∴∠1+∠2=150°﹣∠3，

∵∠3=50°，

∴∠1+∠2=150°﹣50°=100°．

故选：B．

【点评】本题考查了三角形的角和定理，用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个角是解题的关键，也是本题的难点．

二．解答题（共9小题）

4．（2016春•期中）在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A=20°，∠B=60°．求∠BCD和∠ECD的度数．

【考点】三角形的角平分线、中线和高．

【分析】由CD⊥AB与∠B=60°，根据两锐角互余，即可求得∠BCD的度数，又由∠A=20°，∠B=60°，求得∠ACB的度数，由CE是∠ACB的平分线，可求得∠ACE的度数，然后根据三角形外角的性质，求得∠CEB的度数．

【解答】解：∵CD⊥AB，

∴∠CDB=90°，

∵∠B=60°，

∴∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°；

∵∠A=20°，∠B=60°，∠A+∠B+∠ACB=180°，

∴∠ACB=100°，

∵CE是∠ACB的平分线，

∴∠ACE=∠ACB=50°，

∴∠CEB=∠A+∠ACE=20°+50°=70°，

∠ECD=90°﹣70°=20°

【点评】此题考查了三角形的角和定理，三角形外角的性质以及三角形高线，角平分线的定义等知识．此题难度不大，解题的关键是数形结合思想的应用．

5．（2014秋•富顺县校级期末）如图所示，已知P是△ABC一点，试说明PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．

【考点】三角形三边关系．

【专题】证明题．

【分析】根据三角形的三边关系就可以证出．

【解答】证明：在△ABP中：AP+BP＞AB．

同理：BP+PC＞BC，AP+PC＞AC．

以上三式分别相加得到：

2（PA+PB+PC）＞AB+BC+AC，

即PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．

【点评】解本题的本题的关键是多次运用了三角形的三边关系定理．

6．（2016春•故城县期末）已知：a、b、c为三角形的三边长

化简：|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|﹣|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|

【考点】三角形三边关系；绝对值；整式的加减．

【分析】根据三角形的三边关系得出a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，再去绝对值符号，合并同类项即可．

【解答】解：∵a、b、c为三角形三边的长，

∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，

∴原式=|（b+c）﹣a|+|b﹣（c+a）|﹣|c﹣（a+b）|﹣|（a+c）﹣b|

=b+c﹣a+a+c﹣b﹣a﹣b+c+b﹣a﹣c

=2c﹣2a．

【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．

7．（2013秋•鲤城区校级期末）一个三角形的周长为36cm，三边之比a：b：c=2：3：4，求a，b，c的值．

【考点】三角形．

【分析】设三边长分别为2x，3x，4x，根据周长为36cm，列出方程，解出方程的解即可得出答案．

【解答】解：设三边长分别为2x，3x，4x，

由题意得，2x+3x+4x=36，

解得：x=4．

则a=2×4=8（cm），

b=3×4=12（cm），

c=4×4=16（cm）．

【点评】本题考查了三角形，用到的知识点是三角形的周长、一元一次方程的应用，解答本题的关键是设出三边的长，利用方程思想求解．

8．（2015秋•校级期中）若三角形三条边的长度依次为x，x﹣2，x+2，则x的取值围是多少？

【考点】三角形三边关系；解一元一次不等式组．

【分析】根据三角形的三边关系定理得出x+x﹣2＞x+2，求出即可．

【解答】解：∵x﹣2＜x＜x+2，

∴x+x﹣2＞x+2且x＞0，

解得：x＞4．

即x的取值围是x＞4．

【点评】本题考查了三角形的三边关系定理的应用，能正确根据三角形三边关系定理得出不等式是解此题的关键．

9．（2016春•迁安市月考）将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．

（1）如果A′落在四边形BCDE的部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．

（2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是　2∠A=∠2　．

（3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．

【考点】三角形角和定理；三角形的外角性质．

【分析】（1）根据折叠性质得出∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，根据三角形角和定理得出∠AED+∠ADE=180°﹣∠A，代入∠1+∠2=180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE）求出即可；

（2）根据三角形外角性质得出∠DME=∠A′+∠1，∠2=∠A+∠DME，代入即可求出答案．

【解答】解：（1）图1中，2∠A=∠1+∠2，

理由是：∵延DE折叠A和A′重合，

∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，

∵∠AED+∠ADE=180°﹣∠A，∠1+∠2=180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE），

∴∠1+∠2=360°﹣2（180°﹣∠A）=2∠A；

（2）2∠A=∠2，如图

∠2=∠A+∠EA′D=2∠A，

故答案为：2∠A=∠2；

（3）如图2，2∠A=∠2﹣∠1，

理由是：∵延DE折叠A和A′重合，

∴∠A=∠A′，

∵∠DME=∠A′+∠1，∠2=∠A+∠DME，

∴∠2=∠A+∠A′+∠1，

即2∠A=∠2﹣∠1．

【点评】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形角和定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．

10．（2006•）已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．求证：∠P=90°．

【考点】三角形角和定理；平行线的性质．

【专题】证明题．

【分析】由AB∥CD，可知∠BEF与∠DFE互补，由角平分线的性质可得∠PEF+∠PFE=90°，由三角形角和定理可得∠P=90°．

【解答】证明：∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠DFE=180°．

又∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，

∴∠PEF=∠BEF，∠PFE=∠DFE，

∴∠PEF+∠PFE=（∠BEF+∠DFE）=90°．

∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°，

∴∠P=90°．

【点评】考查综合运用平行线的性质、角平分线的定义、三角形角和等知识解决问题的能力．

11．（2015春•东城区期末）已知∠MON，点A，B分别在射线ON，OM上移动（不与点O重合），AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，直线AD，BC相交于点C．

（1）如图1，若∠MON=90°，试猜想∠ACB的度数，并直接写出结果；

（2）如图2，若∠MON=α，问：当点A，B在射线ON，OM上运动的过程中，∠ACB的度数是否改变？若不改变，求出其值（用含α的式子表示）；若改变，请说明理由；

（3）如图3，若∠MON=α，BC平分∠ABO，其他条件不改变，问：（2）中的结论是否仍然成立，请直接写出你得结论．

【考点】三角形角和定理；三角形的外角性质．

【专题】探究型．

【分析】（1）利用外角的性质和三角形的角和定理可得∠NAB+∠MBA=90°+∠ABO+90°+∠BAO=90°+180°=270°，由角平分线的性质得∠CAB+∠CBA，由角和定理得∠ACB；

（2）如图1，由角平分线的性质易得∠1=∠2=∠BAN，∠3=∠4=∠ABM，由三角形外角和定理易得∠2+∠4，得∠ACB；

（3）如图2，同（2）可得结论．

【解答】解：（1）∵∠MON=90°，∠NAB=∠AOB+∠ABO=90°+∠ABO，∠ABM=∠AOB+∠BAO=90°+∠BAO，

∴∠NAB+∠MBA=90°+∠ABO+90°+∠BAO=90°+180°=270°，

∵AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，

∴∠CAB+∠CBA==135°，

∴∠ACB=45°；

（2）∠ACB的度数不改变

如图1，∵AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，

∴∠1=∠2=∠BAN，∠3=∠4=∠ABM，

∵∠BAN=∠O+∠6，∠ABM=∠O+∠5，

∴∠2+∠4=（∠BAN+∠ABM）=（∠O+∠5+∠O+∠6）=90°+∠O，

∴∠ACB=180°﹣（∠2+∠4）=90°﹣∠O=90°﹣α；

（3）∠ACB的度数不改变，

如图2，∵∠2=∠ACB+∠3，∠NAB=α+∠3+∠4，AD平分∠BAN，BC平分∠ABO，

∴∠NAB=2∠2，

∴2∠2=α+2∠3，

∴∠2=+∠3，

∴∠ACB=α．

【点评】本题主要考查了角平分线的性质，外角性质和三角形的角和定理，综合运用各定理是解答此题的关键．

12．（2016春•太仓市期末）已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．

（1）如图1，若AB∥ON，则

①∠ABO的度数是　20°　；

②当∠BAD=∠ABD时，x=　120°　；当∠BAD=∠BDA时，x=　60°　．

（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．

【考点】三角形的角平分线、中线和高；平行线的性质；三角形角和定理．

【专题】计算题．

【分析】利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，分类讨论的思想．

【解答】解：（1）①∵∠MON=40°，OE平分∠MON∴∠AOB=∠BON=20°

∵AB∥ON∴∠ABO=20°

②∵∠BAD=∠ABD∴∠BAD=20°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=120°

∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°∴∠BAD=80°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=60°

故答案为：①20     ②120，60

（2）①当点D在线段OB上时，

若∠BAD=∠ABD，则x=20

若∠BAD=∠BDA，则x=35

若∠ADB=∠ABD，则x=50

②当点D在射线BE上时，因为∠ABE=110°，且三角形的角和为180°，

所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=125．

综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，

且x=20、35、50、125．

【点评】本题考查了三角形的角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个角之和．

考点卡片

1．绝对值

（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．

 ①互为相反数的两个数绝对值相等；

②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．

③有理数的绝对值都是非负数．

（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：

①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；

②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；

③当a是零时，a的绝对值是零．

即|a|={a（a＞0）0（a=0）﹣a（a＜0）

2．整式的加减

（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．

（2）整式的加减实质上就是合并同类项．

（3）整式加减的应用：

①认真审题，弄清已知和未知的关系；

②根据题意列出算式；

③计算结果，根据结果解答实际问题．

【规律方法】整式的加减步骤及注意问题

1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．

2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号的各项都要改变符号．

3．解一元一次不等式组

（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．

（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．

（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．

方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．

解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

4．角平分线的定义

（1）角平分线的定义

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．

（2）性质：若OC是∠AOB的平分线

则∠AOC=∠BOC=∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．

（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．

5．平行线的性质

1、平行线性质定理

   定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．

   定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁角互补．．简单说成：两直线平行，同旁角互补． 

   定理3：两条平行线被第三条直线所截，错角相等． 简单说成：两直线平行，错角相等．

2、两条平行线之间的距离处处相等．

6．三角形

（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．

组成三角形的线段叫做三角形的边．

相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．

相邻两边组成的角叫做三角形的角，简称三角形的角．

（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．

（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．

（4）三角形具有稳定性．

7．三角形的角平分线、中线和高

（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．

（2）三角形一个角的平分线与这个角的对边交于一点，则这个角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．

（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．

（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．

（5）锐角三角形的三条高在三角形部，相交于三角形一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形部，三条高所在直线相交于三角形外一点．

8．三角形三边关系

（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．

（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．

（3）三角形的两边差小于第三边．

（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时，容易忽略．

9．三角形角和定理

（1）三角形角的概念：三角形角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个角，且每个角均大于0°且小于180°．

（2）三角形角和定理：三角形角和是180°．

（3）三角形角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．

（4）三角形角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．

10．三角形的外角性质

（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．

三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．

（2）三角形的外角性质：

①三角形的外角和为360°．

②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个角的和．

③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个角．

（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．

（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．