数学《复数》复习资料(1)

一、选择题

1．已知复数i z x y =+（x ，y ∈R

），且2z +=1y x -的最大值为（ ） A

B

C

．2+

D

．2【答案】C

【解析】

【分析】

根据模长公式，求出复数z 对应点的轨迹为圆，

1y x -表示(,)x y 与(0,1)连线的斜率，其最值为过(0,1)点与圆相切的切线斜率，即可求解.

【详解】

∵复数i z x y =+（x ，y ∈R

），且2z +=

=()2

223x y ++=. 设圆的切线l ：1y kx =+

=

化为2420k k

--=，解得2k =

∴

1y

x

-的最大值为2 故选:C.

【点睛】 本题考查复数的几何意义、轨迹方程、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.

2．已知i 是虚数单位，则

31i i +-=（ ） A ．1-2i

B ．2-i

C ．2+i

D ．1+2i 【答案】D

【解析】

试题分析：根据题意，由于

33124121112

i i i i i i i i ++++=⨯==+--+，故可知选D. 考点：复数的运算

点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题．

3．在复平面内复数83i +、45i -+对应的点分别为A 、B ，若复数z 对应的点C 为线段

AB 的中点，z 为复数z 的共轭复数，则z z ⋅的值为（ ）

A ．61

B ．13

C ．20

D ．10 【答案】C

【解析】

由题意知点

、的坐标为、，则点的坐标为，

则，从而,选C.

4．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z=

A ．1+2i

B ．1-2i

C ．12i -+

D ．12i --

【答案】B

【解析】

试题分析：设i z a b =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故

，则12i z =-，选B.

【考点】注意共轭复数的概念

【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.

5．a 为正实数，i 为虚数单位，

2a i i +=，则a=（ ） A ．2

B 3

C 2

D ．1

【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】 2||21230,3a i a a a a i +=∴+=∴=±>∴=，选B.

6．若z C ∈且342z i ++≤，则1z i --的最大和最小值分别为,M m ，则M m -的值等于（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．9

【答案】B

【解析】

【分析】

根据复数差的模的几何意义可得复数z 在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到,M m ，从而可得M m -的值.

【详解】 因为342z i ++≤，

故复数z 在复平面上对应的点P 到134z i =--对应的点A 的距离小于或等于2， 所以P 在以()3,4C --为圆心，半径为2的圆面内或圆上， 又1z i --表示P 到复数21z i =+对应的点B 的距离，

故该距离的最大值为222AB +==，

最小值为22AB -=，故4M m -=.

故选：B.

【点睛】

本题考查复数中12z z -的几何意义，该几何意义为复平面上12,z z 对应的两点之间的距离，注意12z z +也有明确的几何意义（可把12z z +化成()12z z --），本题属于中档题.

7．设i 是虚数单位，则()()

3211i i -+等于( ) A ．1i -

B ．1i -+

C ．1i +

D ．1i --

【答案】B

【解析】

【分析】

化简复数得到答案. 【详解】 ()

()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i i

i -----===-++ 故答案选B

【点睛】

本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.

8．复数21i z i

+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是

A ．z =

B ．z 的共轭复数为31+22i

C ．z 的实部与虚部之和为1

D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数的四则运算，求得1322

z i =

+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．

【详解】 由题意()()()()22121313111122

i i i i z i i i i i ++++====+--+-，

则2z ==，z 的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ．

【点睛】

复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为

b (,)a b 、共轭为a bi -．

9．若复数

()21a i a R i -∈+为纯虚数，则3ai -=（ ）

A B ．13 C ．10 D

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意首先求得实数a 的值，然后求解3ai -即可．

【详解】

由复数的运算法则有： 2(2)(1)221(1)(1)22

a i a i i a a i i i i ++-+-==+++-, 复数()21a i a R i -∈+为纯虚数，则2020a a +=⎧⎨-≠⎩

，

即2,|3|a ai =--=

本题选择A 选项.

【点睛】

复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.

10．在复平面内与复数21i z i

=

+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ）

A ．1i --

B ．1i -

C ．1i +

D ．1i -+

【答案】D

【解析】

【分析】 根据复数的运算法则求出1z i =+，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数.

【详解】 由题()()()2122211112

i i i i z i i i i -+====+++-，在复平面对应的点为（1,1）， 关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为1i -+.

故选：D

【点睛】

此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义.

11．复数

的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 【答案】C

【解析】

【分析】

利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，再利用共轭复数的概念求出复数

的共轭复数，进一步求出对应点的坐标得结果 . 【详解】

，

的共轭复数为

， 对应坐标是

在第三象限，故选C.

【点睛】

复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

12．设(1)1i x yi -=+，其中,x y 是实数，则x yi +在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【答案】D

【解析】

由()11i x yi -=+，其中,x y 是实数，得：11,1

x x x y y ==⎧⎧∴⎨

⎨-==-⎩⎩，所以x yi +在复平面内所对应的点位于第四象限.

本题选择D 选项.

13．已知复数z 满足21zi z i +=-，则z =

A ．12i +

B ．12i -

C ．1i +

D ．1i - 【答案】C

【解析】

【分析】

设出复数z ，根据复数相等求得结果.

【详解】

设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 故()()()()22221zi z a bi i a bi b a a b i i +=++-=-++-=-， 故2121b a a b -+=⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩

. 所以1z i =+.

故选：C .

【点睛】

本题考查复数的运算，共轭复数的求解，属综合基础题.

14．设2i 2i 1i z =

++-，则复数z =（ ） A ．12i -

B ．12i +

C ．2i +

D ．2i - 【答案】A

【解析】

【分析】

根据复数的运算法则，求得12z i =+，再结合共轭复数的概念，即可求解．

【详解】 由题意，可得复数()()()2i 1i 2i 2i 2i 12i 1i 1i 1i z +=

++=++=+--+， 所以12i z =-．

故选：A ．

【点睛】

本题主要考查了复数的运算，以及复数的共轭复数的概念及应用，其中解答中熟记复数的

运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力．

15．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ） A ．2 B ．2 C ．22 D ．5 【答案】D

【解析】

分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果.

详解：因为()13i z i +=+，所以31(3)(1)212

i z i i i i +=

=+-=-+, 因此5,z =

选D.

点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi

16．已知复数z 在复平面内对应点是()1,2-，i 为虚数单位，则

21z z +=-（ ） A ．1i --

B ．1i +

C ．312i -

D ．312

i + 【答案】D

【解析】 21z z +=-323122

i i i -=+- ，选D.

17．若复数满足

，则复数的虚部为（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】

分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果.

详解：因为

，所以， 因此复数的虚部为，选B. 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如

. 其次要熟悉复数相关基本概念，

如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为

18．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=（ ）

A ．-16

B ．0

C ．16

D ．32

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出(4,4)OA =，(4,4)OB =-，再利用平面向量的数量积求解.

【详解】

∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称，

∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点. 由24y x y x

⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =，(4,4)OB =-，

∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=.

故选B

【点睛】

本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

19．复数3

21

i i -（i 为虚数单位）的共轭复数是 （ ） A ．2155

i -+ B ．2133i + C ．2155i -- D ．2133

i - 【答案】C

【解析】 试题分析：由题；3(21)22121(21)(21)555i i i i i i i i -+-===-+--+-，则共轭复数为：2155

i --． 考点：复数的运算及共轭复数的概念.

20．已知复数

为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ） A ．-1

B ．1

C ．0

D ．2

【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】

为纯虚数，故且，即.故选：.

【点睛】

本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.