上海市松江区2021年中考二模数学卷(附答案详解与评分标准)

九年级数学

（满分150分，完卷时间100分钟）

2021.4

考生注意：

1．本试卷含三个大题，共25题；

2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；

3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列二次根式中，最简二次根式是（）

（A ；

（B （C （D ．

2．将抛物线()2

21y x =-+向上平移3个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是（）

（A ）（2，4）；

（B ）（-1，1）；（C ）（5，1）；

（D ）（2，-2）．

3．关于x 的一元二次方程2

410kx x -+=有两个实数根，则k 的取值范围是（）

（A ）4k >；

（B ）4k ≤；

（C ）40k k <≠且；

（D ）40k k ≤≠且．

4．下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（）

（A ）平均数；

（B ）众数；（C ）方差；

（D ）频数．

5．已知三角形两边的长分别是4和9，则此三角形第三边的长可以是（）

（A ）4；

（B ）5；

（C ）10；

（D ）15．

6．已知⊙O 的半径OA 长为3，点B 在线段OA 上，且OB=2，如果⊙B 与⊙O 有公共点，那么⊙B 的半径r 的取值范围是（

）

（A ）1r ≥；

（B ）5r ≤；（C ）15r <<；（D ）15r ≤≤．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．计算：13

8=________．8．因式分解：2

2

4a b -=．

91=的根是

．

10．将0.00035用科学计数法表示为________________．11．用换元法解方程

12+31x x x x -=-时，设1

=x y x

-，那么原方程化成关于y 的整式方程是__________．

12．反比例函数

2

k y x

-=

的图像在每个象限内，y 的值随x 的值增大而减小，则k 的取值范围是__________________．13．布袋中装有4个红球和5个白球，它们除颜色不同外其他都相同．如果从布袋中随机摸出一个球，那么摸到的球恰好为红球的概率是__________．

14．一次数学测试后，某班40名学生按成绩分成5组，第1、2、3、4组的频数分别为13、10、6、7，则第5组的频率为___________．

15．如图，已知□ABCD ，E 是边CD 的中点,联结AE 并延长,与BC 的延长线交于点F .设AB a = ，AD b = ，用a

、b 表示AF

为_________.

16．已知正三角形ABC 的半径为2,那么正三角形ABC 的面积为__________.

17．如图，某人在山坡坡脚A 处测得电视塔塔尖点P 的仰角为60°，沿山坡向上走200米到达B 处，在B 处测得点P 的仰角为15°．已知山坡AB 的坡度i ，且H 、A 、B 、P 在同一平面内，那么电视塔的高度PH 为________米．(结果保留根号形式)

18．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC =6，BC =8．将△ABC 翻折,使点C 落在AB 边上的点D 处,折痕EF 交边AC 于点E ,交边BC 于点F ,如果DE ∥BC ,则线段EF 的长为___________．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）

先化简，再求值：

265222x x x x -⎛⎫÷-- ⎪++⎝⎭，其中1

2

x =-．20．（本题满分10分）

解方程组：2

2

34

450x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩21．(本题满分10分，每小题各5分)

如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，cot ∠BAC=2，BC =4，以边AC 上一点O 为圆心，OA 为半径的⊙O 经过点B ．（1）求⊙O 的半径；

（2）点P 是劣弧 AB 的中点，求tan ∠PAB 的值．

（第15题图）

（第21题图）

B

C

A

O

·（第17题图）

P

A

B

H A

（第18题图）

C

B

①②

22．（本题满分10分，每小题各5分）

一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米．设行驶的时间为t （小时），两车之间的距离为s （千米），图中线段AB 表示从两车发车至两车相遇这一过程中s 与t 之间的函数关系，根据图像提供的信息回答下列问题：（1）求s 关于t 的函数关系式；（不必写出定义域）（2）求两车的速度．

23.（本题满分12分，每小题各6分）

如图，已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ,∠ABC=90°,AE ⊥BD ，垂足为E ，联结CE ，作EF ⊥CE ，交边AB 于点F ．

（1）求证：△AEF ∽△BEC ；（2）若AB=BC ，求证：AF=AD ．

24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）

在平面直角坐标系xOy 中，直线3+3y x =与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，抛物线25y ax bx a =+-经过点A ．将点B 向右平移5个单位长度，得到点C ．（1）求点C 的坐标；（2）求抛物线的对称轴；

（3）若抛物线的顶点在△OBC 的内部，求a 的取值范围．

（第24题图）

x

y

O

t （小时）

（第22题图）

D

B

C

A

F E （第23题图）

25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）

如图，已知在△ABC 中，BC >AB ，BD 平分∠ABC ，交边AC 于点D ，E 是BC 边上一点，且BE=BA ，过点A 作AG ∥DE ，分别交BD 、BC 于点F 、G ，联结FE ．（1）求证：四边形AFED 是菱形；（2）求证：2A B B G B C =⋅；（3）若AB=AC ，BG=CE ，联结AE ，求

ADE

ABC

S S ∆∆的值．（第25题图）

F

E

B

G D

C

A

2021年松江区初中毕业生学业模拟考试

初三数学参及评分说明

一、选择题：

1．B ；2．A ；3．D ；4．C ；5．C ；6．D ．

二、填空题：

7．2；8．()()22a b a b +-；9．2x =；10．4

3.510-⨯；11．2

320y y -+=；12．2k >；13．

4

9

；14．0.1；15．2a b +

；16

17

18三、解答题：

19．解：原式=()22345222x x x x x -⎛⎫

-÷- ⎪+++⎝⎭

…………………………………（4分）

=()

223922

x x x x --÷++………………………………………………（1分）

=

()()()

232

2

33x x x x x -+⨯

++-………………………………………（2分）

=

2

3x +………………………………………………………………（1分）当12x =-时，23x +=2132

-+=4

5

……………………………………………（2分）

20．解：由②得()()50x y x y +-=…………………………………………（2分）

得50x y +=或0x y -=………………………………………………（2分）

将它们与方程①分别组成方程组,得3450x y x y +=⎧⎨

+=⎩或34

0x y x y +=⎧⎨-=⎩

……………（2分）

解这两个方程组,得原方程组的解为11=102x y ⎧⎨

=-⎩，；

22=1=1.x y ⎧⎨

⎩，

………………………（4分）21．解：联结OB …………………………………………………………………（

1分）设⊙O 的半径OA=OB=x

∵Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，∴cot ∠BAC=

AC

BC

…………………………（1分）∵cot ∠BAC=2，BC =4，∴AC=8…………………………（1分）∴OC=8-x ，∵222

OC BC OB

+=∴()2

2

2

84x x -+=………………………………………（1分）∴x=5………………………………………………………（1分）∴⊙O 的半径为5.

（2）联结OP ，交AB 于点D ，∵点P 是劣弧 AB 的中点，OP 是半径∴OP ⊥AB ，AD=

1

2

AB …………………………………………………………（1分）∵AC=8，BC =4，∴

AB=……………………………………………………（1分）∴

AD=（1分）∵cot ∠BAC=

AD

OD

=2，∴

DP=5（1分）∴tan ∠PAB=

DP AD

（1分）22．（1）设s 与t 之间的函数解析式为()0s kt b k =+≠……………………（1分）∵函数图像过（2，150），（3，0）∴2150

30

k b k b +=⎧⎨

+=⎩………………………………………………………………（1分）

解得150

450k b =-⎧⎨

=⎩

…………………………………………………………………（2分）

∴150450s t =-+………………………………………………………………（1分）（2）方法一：设轿车速度为x 千米/小时，货车速度为y 千米/小时…………（1分）由题意得33450

3390

x y x y +=⎧⎨

-=⎩………………………………………………………（2分）

解得9060x y =⎧⎨=⎩

……………………………………………………………………（2分）

答：轿车速度为90千米/小时，货车速度为60千米/小时．方法二：

设轿车速度为x 千米/小时，货车速度（150-x ）千米/小时……………………（1分）

（第21题图）

B

C

A

O

·P

D

由题意得()3315090x x --=…………………………………………………（2分）解得x =90…………………………………………………………………………（1分）当x =90时，150-x =60……………………………………………………………（1分）答：轿车速度为90千米/小时，货车速度为60千米/小时．

23．证明：（1）∵AD ∥BC ,∠ABC=90°，∴∠BAD=90°……………………（1分）∴∠ABD+∠ADB=90°，∵AE ⊥BD ，∴∠AEB=90°∴∠ABD+∠BAE=90°，∴∠ABD=∠BAE

∵∠ADB=∠DBC …………………………………（1分）∴∠BAE=∠DBC …………………………………（1分）∵EF ⊥CE ，∴∠FEC=90°………………………（1分）∴∠AEF=∠BEC …………………………………（1分）∴△AEF ∽△BEC

………………………………（1分）

（2）∵△AEF ∽△BEC ，∴

AF AE

BC BE

=………………………………………（1分）∵∠AEB=∠BAD ，∠ABE=∠DBA ………………………………………………（1分）∴△ABE ∽△DBA …………………………………………………………………（1分）

∴AE

BE

AD AB =……………………………………………………………………（1分）∴AE

AD BE

AB =，∴AF AD

BC AB

=…………………………………………………（1分）∵AB=BC ，∴AF=AD ……………………………………………………………（1分）

24．解：（1）∵直线33y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，

∴A （-1，0）、B （0，3）…………………………………………………………（2分）∵点B 向右平移5个单位长度，得到点C

∴C （5，3）………………………………………………………………………（1分）（2）∵抛物线25y ax bx a =+-经过点A （-1，0）

∴50a b a --=…………………………………………………………………（1分）得4b a =-………………………………………………………………………（1分）∴245y ax ax a =--……………………………………………………………（1分）∴422a

x a

-=-

=，∴抛物线的对称轴为直线2x =…………………………（1分）D

B

C

A

F

E

（第23题图）

（3）∵245y ax ax a =--，∴()2

29y a x a

=--∴抛物线的顶点坐标为（2，-9a ）………………………………………………（1分）设直线OC 的解析式为y=kx （k ≠0），∵C （5，3），∴3=5k ∴35k =

，∴3

5

y x =……………………………………………………………（1分）当x =2时，6

5

y =…………………………………………………………………（1分）

∵抛物线的顶点在△OBC 的内部，∴6

935

a <-<…………………………（1分）

∴12

315

a -<<-…………………………………………………………………（1分）

25．（1）证明：∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABF=∠EBF ∵BA=BE ，BF=BF ，∴△ABF ≌△EBF …………（1分）∴AF=EF ……………………………………………（1分）同理AD=ED 且∠ADB=∠EDB ，∵AG ∥DE ，∴∠AFD=∠EDF ，∴∠AFD=∠ADF

∴AF=AD ……………………………………………（1分）∴AF=FE=ED=DA …………………………………（1分）∴四边形AFED 是菱形

（2）证明：∵△ABF ≌△EBF ，∴∠BAG=∠BEF ……………………………（1分）∵四边形AFED 是菱形，∴AD ∥FE ……………………………………………（1分）∴∠BEF=∠C ，∴∠BAG=∠C ，∵∠ABG=∠CBA

∴△ABG ∽△CBA …………………………………………………………………（1分）∴

AB BG BC AB

=……………………………………………………………………（1分）∴2A B B G B C =⋅……………………………………………………………（1分）（3）∵△ABG ∽△CBA ，AB=AC ，∴AG=BG ，∴∠GAB=∠GBA

∴∠AGC=2∠GAB ，∵BG=CE ，∴BE=CG ，∴CG=CA ，∴∠CAG=∠CGA ∵∠CAG =2∠DAE ，∴∠DAE=∠ABC ，∴∠DEA=∠ACB

∴△DAE ∽△ABC ………………………………………………………………（1分）

∴2

=ADE ABC S AE S BC ∆∆⎛⎫ ⎪⎝⎭

………………………………………………………………（1分）∵2A B B G B C =⋅，AB=BE ，BG=EC ，∴2

BE EC BC =⋅………………（1分）

（第25题图）

F E

B

G

D

C

A

∴E 线段BC

的黄金分割点，∴

BE

BC =………………………………（1分）

∴

CE BC =，∵∠EAC=∠C ，∴CE=AE ，

∴AE BC =

∴

ADE ABC S S ∆∆……………………………………………………………（1

分）