大学物理课后习题详解(第十章)中国石油大学

10-1  卢瑟福实验证明：两个原子核之间的距离小到m时，它们之间的斥力仍遵守库仑定律。已知金原子核中有79个质子，粒子中有2个质子，每个质子的带电量为，粒子的质量为6.68kg。当粒子与金原子核相距6.9m时，试求：(1)粒子所受的力；(2)粒子的加速度。

[解] (1)粒子电量2e，金核电量为79e。粒子所受的库仑力为

(2)粒子的加速度

10-2  如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电量为q，试求在直杆延长线上到杆的一端距离为d的点P的电场强度。

[解] 建立如图所示坐标系ox，在带电直导线上距O点为x处取电荷元，它在P点产生的电场强度为

则整个带电直导线在P点产生的电场强度为

故

10-3  两根相同均匀带电细棒，长为L，电荷线密度为，沿同一直线放置，两细棒间最近距离也是L，如图所示。设棒上的电荷不能自由移动，试求两棒间的静电相互作用力。

[解一] 先按左棒为场源电荷，而右棒为受力电荷。计算左棒场强再求右棒所受电场力。

建立如图所示坐标系，在距O点为x处取微元，它在距O点处产生的场强为

因此左棒在处产生的场强为

在处取电荷元，它受到的左棒的电场力为

右棒受的总电场力为

[解二] 求电荷元与的库仑力叠加。在两带电细棒上各取一微元、，它们之间的距离为，则受的库仑力为

F方向为x正向，左棒受右棒库仑力

10-4  用绝缘细线弯成的半圆环，半径为R，其上均匀地带有正电荷Q，试求圆心处点O的场强。

[解] 将半圆环分成无穷多小段，取一小段dl，带电量

dq在O点的场强

从对称性分析，y方向的场强相互抵消，只存在x方向的场强

    方向沿x轴正方向

10-5  如图所示，一绝缘细棒弯成半径为R的半圆形，其上半段均匀带有电量q，下半段均匀带有电量-q。求半圆中心点O处的电场强度E。

[解] 上半部产生的场强

将上半部分成无穷多小段，取其中任一小段dl

(所带电量)

在O点产生的场强   方向如图所示

下半部产生的场强

以x轴为对称轴取跟dl对称的一小段(所带电量)

在O点产生的场强   方向如图所示

根据对称性，在x方向的合场强相互抵消为0，只存在y方向的场强分量

总场强

10-6  如图所示，一半径为R的无限长半圆柱面形薄筒，均匀带电，单位长度上的带电量为，试求圆柱面轴线上一点的电场强度E。

[解]对应的无限长直线单位长带的电量为

它在轴线O产生的场强的大小为

   (见27页例1)

因对称性成对抵消

10-7  一半径为R、长度为L的均匀带电圆柱面，总电量为Q。试求端面处轴线上点P的场强。

[解] 取如图所示的坐标，在圆柱上取宽为dz的圆环，其上带电量为，由例题3知，该圆环在轴线上任一点P产生的电场强度的大小为

整个圆柱形薄片在P点产生的电场强度的大小为

E方向   Q>0时沿z轴正方向，Q<0时沿z轴负方向。

10-8  一半径为R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为，求球心点O处的场强。

[解] 将半球面分成无限多个圆环，取一圆环半径为r，到球心距离为x，所带电量绝对值。

在O点产生的场强(利用圆环轴线场强公式) 

带电半球壳在O点的总场强

由于，， 

所以 

方向沿x轴负向

10-9  一面电荷密度为的无限大平面，在距平面am远处的一点P的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R的圆 (其轴线过点P)面积范围内的电荷所产生的。试求该圆半径的大小。

[解] 由于无限大带电平面产生场强为

所以半径为R的圆内电荷在P点产生场强为

由例4知，半径为R的圆盘，在P电产生的场强为

因此

即

10-10  如图所示，一厚度为b的无限大带电平板，其体电荷密度为(0≤x≤b)，式中k为正常量。求：(1)平板外两侧任一点和处的场强大小；(2)平板内任一点P处的电场强度； (3)场强为零的点在何处? 

[解] (1)过点作一圆柱体穿过无限大带电平板，由高斯定理

即  

所以 

因此平板外一点的场强与距平板的距离无关， 

(2)板内(即0≤x≤b区域)

(3)若电场强度为0，则

此时，此即为场强为0的点。

10-1l  一半无限长的均匀带电直线，线电荷密度为。试证明：在通过带电直线端点与直线垂直的平面上，任一点的电场强度 E的方向都与这直线成45°角。

[解] 如图选择直角坐标系，在棒上取电荷元

它在过棒端的垂直面上任意点贡献场强为

由于                且 

所以 

总场强的分量为

它与负y方向的夹角是

10-12  一带电细线弯成半径为R的半圆形，线电荷密度，式中为一常量，为半径R与x轴所成的夹角，如图所示。试求环心O处的电场强度。

[解] 取电荷元

它在坐标原点O产生的电场强度 

沿坐标轴的分量为

半个细圆环产生的电场强度分量为

方向沿y轴负向。

10-13  如图所示，一无限长圆柱面，其面电荷密度为，为半径R与x轴之间的夹角，试求圆柱面轴线上一点的场强。

[解] 在圆柱面上取一窄条dl，窄条可看成无限长带电直线。设窄条的电荷线密度为，圆柱的半径r，窄条dl在轴线上任一点O的电场强度为

     方向如图

窄条dl的电荷线密度  即 

因此  

积分得到  方向沿x轴负向

所以

10-14  半径为R、线电荷密度为的均匀带电圆环，在其轴线上放一长为l、线电荷密度为的均匀带电直线，该线段的一端处于圆心处，如图所示。求该直线段受到的电场力。

[解] 在细棒上距O点x处取一线元dx，所带电量为

均匀带电圆环在dx处产生的场强为

dq在带电圆环的电场中所受到的电场力的大小为

所以

整个带电细棒所受的电场力为

   方向沿x正方向

10-15  真空中一半径为R的圆平面，在通过圆心O与平面垂直的轴线上一点P处，有一电量为q的电荷，＝h。求通过圆平面的电通量。

[解] 如图，在以P点为球心，为半径的球面上剖出一个球冠，通过圆面的电量等于通过球冠面的电通量。球冠面的表面积为，x为球冠高，r为球面半径

通过球面单位面积的电通量为

10-16  有一边长为a的正方形平面，在其中心垂线上距中心点O为处，有一电量为q的正点电荷，如图所示。求通过该平面的电通量是多少?

[解] 构造正立方体使q为中心，a为边长。由高斯定理知，通过此立方体表面电通量为

又由于对称性，通过此正立方体六个正方形面的电通量相等。所以通过每一面的电通量为

10-17  A、B为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场强度为E，两平面外侧电场强度大小都是，方向如图。求两平面A、B上的电荷和。

[解] 无限大平面产生的场强为

则       

解得           

10-18  一半径为R的带电球体，其体电荷密度分布为

        (r≤R)

          (r>R)

A为常量。试求球内、外的场强分布。

[解] 在带电球体内外分别做与之同心的高斯球面。

应用高斯定理有

q为高斯球面内所包围的电量。设距球心r处厚度为dr的薄球壳所带电量为dq

r≤R时   

解得        (r≤R)      (或)

r>R时高斯面内包围的是带电体的总电量Q

应用高斯定理

   (r>R)          (或)

当A>0时，场强方向均径向向外；当A<0时，场强方向均指向球心。

l0-19  一半径为R的带电球体，其体电荷密度分布为

                (r≤R)

           (r>R)

试求：(1)带电球体的总电量；(2)球内外各点的场强；(3)球内外各点的电势。  

[解] (1)因为电荷分布具有球对称性，把球体分成许多个薄球壳，其中任一球壳厚度为dr，体积为。在此球壳内电荷可看成均匀分布。此球壳所带电量为

则总电量为

(2)在球内作半径为r的高斯球面，按高斯定理有

得     (r≤R)

在球外作半径为r的高斯球面，按高斯定理有

得    (r>R) 

(3)球内电势，设无穷远处为零势能点

    (r球外电势

10-20  有一带电球壳，内、外半径分别为和，体电荷密度，在球心处有一点电荷Q，试证明：当A＝时，球壳区域内([解] 以同心球面为高斯面，电通量为

当时       与r无关。因此得证。

10-21  设电荷体密度沿x方向按余弦规律分布在整个空间，式中为体电荷密度，为其幅值。试求空间的场强分布。

[解] 由于电荷体密度与y、z无关，即在任何平行y-z平面的平面上电荷均匀分布，所以场强只有x分量。沿x轴方向电荷是周期性分布，所以在与过圆点的y-z平面相对称的两平行平面上场强数值都一样。过坐标为+x及-x的两点作平行于y-z平面的面元。用平行于x轴的侧面将其封闭构成闭合高斯面，它的电通量为

而

根据高斯定理可得

         方向由的正负确定

10-22  如图所示，在xOy平面内有与y轴平行、位于和处的两条无限长平行均匀带电直线，电荷线密度分别为和。求z轴上任一点的电场强度。

[解] 无限长带电直线在线外任一点的电场强度 

所以 P点的场强 

由对称性知合场强的z方向分量为零，x方向分量

而 

所以      方向指向x轴负方向

10-23  如图所示，在半径为R，体电荷密度为的均匀带电球体内点处放一个点电荷q。试求：点O、P、N、M处的场强 (、O、P、N、M在一条直线上)。

[解] 由电场叠加原理

10-24  一球体内均匀分布着体电荷密度为的正电荷，若保持电荷分布不变，在该球体内挖去半径为r的一个小球体，球心为，两球心间距离，如图所示。求：(1)在球形空腔内，球心处的电场强度。 (2)在球体内点P处的电场强度E。设、O、P三点在同一直径上，且=d。

[解] 在空腔内分别填上密度为的电荷和密度为的电荷。

(1)处的场强是密度为的大球和的小球所产生的场强的叠加。

大球产生场强：

在球体内做半径为d的同心高斯球面，应用高斯定理

而小球产生场强由于对称性为0

因此点的场强   

(2)P点的场强也是两球场强的叠加。

同理大球产生的场强        

小球产生的场强             

合场强         

10-25  试用静电场的环路定理证明，电场线为一系列不均匀分布的平行直线(如图所示)的静电场不存在。

[证明一] 首先利用高斯定理可以证明在任意一条电力线上的所有点，电场强度都相等。

在任意一条电力线上，取任意两点A和B，过A、B作垂直于电力线的面元，用平行于电力线的柱面围成闭合高斯面。将取得如此之小，可以认为在范围内场强均匀不变，柱的侧面平行于电力线，故通量为零。于是高斯面上的电通量为

所讨论的空间中不存在电荷，即

故根据高斯定理

从而证明同一条电场线上的场强处处相等。其次，在电场中作闭合环路abcda

∥∥，⊥，⊥，并设ab=cd=l

在此回路上，场强E的闭合环路积分等于

在前面已证明沿同一条电力线场强处处相等。

故     

在静电场中，场强的闭合环路积分恒等于零。所以。即任意两条电力线上的场强都相等。这就证明了整个区域中的电场是均匀的。

[证明二] 在静电场中作一矩形闭合回线abcd，根据场强与电力线密度的关系式，可知ab线上各点场强，cd线上各点场强各自相等。所以

这违反静电场中E的环流定律。所以在静电场中，若电场线平行必然是等间距的，即均匀场可用平行等间距的场线表示。

10-26  假如静电场中某一区域电场线的形状是以点O为中心的同心圆弧，如图所示。试证明：该区域各点的电场强度的大小都应与该点离O点的距离成反比。

[解] 如图所示，取闭合回路L，由环路定理有

所以  证毕。

10-27  电量q均匀分布在长为2l的细杆上，求在杆外延长线上与杆端距离为a的点P的电势(以无穷远为零电势点)。

[解] 取如图所示的电荷元dq，，它在P点产生的电势为

则整个带电直线在P点产生的电势为

10-28  如图所示，在点电荷+q的电场中，若取图中点P处为电势零点，则点M的电势为多少? 

[解] 取P点为电势零点，则M点电势为

10-29  如图所示，一沿x轴放置的长为l的不均匀带电细棒，其线电荷密度为，为一常量。取无穷远处为零电势参考点，求坐标原点O处的电势。

[解] 在带电细棒上取线元dx，其电量

其上电荷在场点贡献的电势为

故带电棒在O点总电势为

10-30  一半径为R的均匀带电圆盘，面电荷密度为。设无穷远处为零电势参考点，求圆盘中心点O处的电势。

[解] 把带电圆盘视为无数个不同半径的圆环。圆盘中心点O处的电势等于这些带电圆环在该点产生的电势的叠加。取半径为r，宽度为dr的圆环，其上所带电量为。它在O点产生的电势为

则整个带电薄圆盘在P点产生的电势为

l0-31  两同轴带电长直金属圆筒，内、外圆筒半径分别为和，两筒间介质为空气。已知内、外电势分别为U＝2，＝，为常量。求两金属圆筒间的电势分布。

[解] 设内筒单位长度上带电为，则两筒间场强为 

则两筒间电势分布为 

时， 

时， 

联立两式，可得  

所以     或     

[解二]    所以 

即        得到  

[解三] 内外筒间的电势差为  

内筒与中间筒电势差为  

因此 

10-32  图示为两个半径均为R的非导体球壳，表面上均匀带电，带电量分别为+Q和-Q，两球心相距离为d(d＞＞2R)。求两求心间的电势差。

[解] 设带正电的球壳中心的电势为，带负电的为。

根据电势叠加原理有

两球心间的电势差

10-33  在真空中半径分别为R和2R的两个同心球面，其上分别均匀地带有电量+q和-q，今将一电量为+Q的带电粒子从内球面处静止释放，则该粒子到达外球面时的动能是多少?

[解] 根据高斯定理，两球面间的场强为 

因此球面间的电势差 

粒子到达外球面时的动能等于电势能的减少

10-34  两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为只0.03m， 0.01m。已知两者的电势差为450V，求球面上所带的电量。

[解] 由上题知，电势差 

所以 

10-35  两根半径都是R的无限长直线，彼此平行放置，两者轴线间距为d(d＞＞2R)，单位长度上的带电量分别为+和-。求两直线间的电势差。

[解一] 由高斯定理可求出，两导线之间任一点的电场强度为

两导线间的电势差为

[解二] 由带正电直导线产生电势差为

由带负电直导线产生电势差为

因此两导线间的电势差为

10-36  电荷面密度分别为+和-的两块无限大均匀带电平面，处于与平面垂直的x轴上的-a和+a的位置上。设坐标原点O处的电势为零，试求空间的电势分布并画出其曲线。

[解] 无限大带电平板外场强的大小为

电势分布曲线

l0-37  一锥顶角为的圆台，上下底面的半径分别为和，在它的侧面上均匀带电，面电荷密度为，求顶点O处的电势(选无穷远处为零电势点)。

[解] 以锥顶为圆点，使x轴沿圆锥之轴线。在侧面取面元

式中是垂直于轴线的平面中柱坐标的极角增量

又          

面元上电荷在P点产生的电位是

∴

10-38  一底面半径为R的圆锥体，锥面上均匀带电，面电荷密度为。试证明：锥顶点O的电势与圆锥的高度无关(取无穷远为零电势点)，其值为。

[解] 把圆柱面分成许多环状面，每一环面所带电量为

在O点产生的电势

因此O点总的电势为 

10-39  若电荷以相同的面密度均匀分布在半径分别为10cm和20cm的两个同心球面上，设无穷远处电势为零，已知球心电势为300V，试求两球面的电荷面密度的值。

[解] 球心处的电势为两个球面上的电荷在球心处产生的电势的叠加，即

得出的电荷面密度

10-40  如图所示，两无限长的同轴均匀带电圆筒，内筒半径为，单位长度带电量为，外筒半径为，单位长度带电量为。求：图中a、b两点间的电势差；当零参考点选在轴线处时，求。

[解] 以垂直于轴线的端面与半径为r，长为l，过所求场点的同轴柱面为封闭的高斯面。

根据高斯定理 

所以

10-41  如图所示，一半径为 R的均匀带正电圆环，其线电荷密度为。在其轴线上有A、B两点，它们与环心的距离分别为，。一质量为m、带电量为q的粒子从点A运动点B，求在此过程中电场力作的功。   

[解] 由于带电圆环轴线上一点的电场强度为

所以A、B两点间的电势差为

因此从点A运动点B电场力作功

10-42  如图所示，半径为R的均匀带电球面，带电量为q。沿径矢方向上有一均匀带电细线，线电荷密度为，长度为l，细线近端离球心的距离为。设球面和线上的电荷分布不受相互作用的影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零)。

[解一] 取坐标如图，在距原点为x处取线元dx，dx的电量为，该线元在带电球面电场中所受电场力为  

整个细线所受电场力为

    dq在q的电场中具有电势能

所以 

[解二] 电荷处于某点的电势能等于将此电荷由该点移到电势能为零处电场力所做的功。所以该题中电势能也可用以下方法求解。

(1)电荷元dq的电势能为

(2)整个细线在电场中的电势能为

10-43  一半径为R的无限长圆柱形带电体，其电荷体密度为(r≤R)，式中A为常量。试求：(1)圆柱体内、外各点场强大小的分布；(2)选距离轴线为l(l>R)处为零电势点，圆柱体内、外各点电势的分布。

[解] 电荷体密度是轴对称分布。所以电场也是轴对称分布。沿半径方向，以垂直于轴线的端面与半径为r，长为l，过所求场点的同轴柱面作为高斯面。

因 

所以        (r≤R)

r>R时，      

r>R      

r≤R      

10-44  在一个电量为q的点电荷的电场中，作3个电势不同的等势面A、B、C，如图所示。若>>，试证明：电场强度越大的地方等势面间距越小。

[证明]  A、B间电场强度大于B、C间电场强度，因此为证明本题结论只需证明A、B间距大于B、C间距。

因 

所以 

即  

显然     因此  

10-45  如图所示，电量分别为ne和-e(n>1)的两个异号点电荷，ne位于坐标原点O处，-e处在点(a，0，0)处。设无穷远处为零电势参考点，证明：在该电荷系附近电势为零的等势面是一个球面，并求球心的位置及球面半径的大小。

[解] 取如图所示坐标系，设P点的电势为零，则

所以

而       

代入上式中化简得

此式为一球面方程，球心的坐标为，球面半径为。