数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案

学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________

1.  曲线与轴在区间上所围成阴影部分的面积为（ ） 

A.   

2.  由直线，，和抛物线所围成的平面图形绕轴旋转所得几何体的体积为（ ） 

A.   

3.  由直线，，与抛物线所围成的曲边梯形的面积为（ ） 

A.   

4.  由曲线与，，所围成的平面图形的面积为（ ） 

A.   

5.  曲线和所围成的平面图形绕轴旋转一周后，所形成的旋转体的体积为（ ） 

A.   

6.  函数，在区间内围成图形的面积为（ ） 

A.   

7.  一物体在力的单位：，的单位：的作用下，沿着与力相同的方向，从处运动到处，力所做的功为（ ） 

A.   

8.  由曲线，及轴所围成的封闭图形的面积是         

A.   

9.  下列表示图中在区间上的图象与轴围成的面积总和的式子中，正确的是（ ）  

A.

B.

C.

D.

10.  直线与曲线围成的平面图形的面积是．（ ） 

A.   

11.  设函数，若，，则的值为________． 

12.  与直线，及轴围成平面区域面积为________． 

13.  由曲线，，，合成的封闭图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为，则________． 

14.  两曲线，所围成的图形的面积是________． 

15.  由曲线和直线，，以及所围成的图形面积是________． 

16.  

若在平面直角坐标系中将直线与直线及轴所围成的图形绕轴旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的体积据此类比：将曲线与直线所围成的图形绕轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的体积________．

17.  在直角坐标平面内，由直线，，和曲线所围成的平面区域的面积是________． 

18.  在平面上，将抛物线弧、轴、轴围成的封闭图形记为，如图中曲边三角形及内部．记绕轴旋转一周而成的几何体为，过点作的水平截面，所得截面面积为，试构造一个平放的直三棱柱，利用祖暅原理得出的体积值为________． 

19.  函数在点处的切线与函数围成的图形的面积等于________． 

20.  已知，则的最大值为________． 

21. 已知曲线：与：在第一象限内的交点为.  

求曲线在点处的切线方程；

求两条曲线所围成图形的面积.

22.  求由曲线与，，所围成的平面图形的面积．

23. 已知曲线，直线为曲线在点处的切线．  

（1）求直线的方程；

（2）求直线与曲线以及轴所围成的图形的面积．

24.  如图一是火力发电厂烟囱示意图．它是双曲线绕其一条对称轴旋转一周形成的几何体，烟囱最细处的直径为，最下端的直径为，最细处离地面，烟囱高，试求该烟囱占有空间的大小．（精确到）

25.    

已知复数的共轭复数是，且，求；

求曲线与直线，所围成的平面图形的面积．

26.   

（1）已知展开式的前三项系数成等差数列．求．

（2）如图所示，在一个边长为的正方形内，曲线和曲线围成一个叶形图（阴影部分），向正方形内随机投一点（该点落在正方形内任何一点是等可能的），求所投的点落在叶形图内部的概率．

27. 求由下列给出的边界所围成的区域的面积：  

（1）＝，，＝；

（2）＝，＝，＝；

（3）＝，．

28.  求由与直线所围成图形的面积． 

29. 已知曲线和直线，，及所围成图形的面积为．  

（1）求．

（2）求所围成图形绕轴旋转所成旋转体的体积．

30.  已知函数的图形如图所示，给出与和轴所围成图形的面积估计值；要想得到误差不超过的面积估计值，可以怎么做？ 

31. 已知曲线和直线：由与围成封闭图形记为．  

（1）求的面积；

（2）若绕轴旋转一周，求由围成的体积．

32. 已知为一次函数，且，  

（1）求函数的解析式；

（2）若，求曲线与轴所围成的区域绕轴旋转一周所得到的旋转体的体积．

33. 已知圆锥的高为，底半径为，用我们计算抛物线下曲边梯形面积的思路，推导圆锥体积的计算公式．

[提示：  

（1）用若干张平行于圆锥底面的平面把它切成块厚度相等的薄片；

（2）用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片，圆柱的高为，底半径顺次为：，，…，，；

（3）问题归结为计算和式，当越来越大时所趋向的值．]．

34.  求曲线上的一条切线，使此切线与直线，以及曲线所围成的平面图形的面积最小． 

35.  过点作曲线的切线，切点为．又与轴交于点，区城由、轴与直线围成，求区域的面积及绕轴旋转一周所得旋转体的体积． 

36.  求曲线，所围成图形的面积． 

37.  已知，，，试求的取值范围． 

38.  求下列曲线所围成图形的面积：

曲线，，，． 

39.  求曲线与直线，，所围成的平面图形的面积． 

40.  如图，直线＝分抛物线＝与轴所围图形为面积相等的两部分，求的值．

参与试题解析

数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案

一、 选择题 （本题共计 10 小题  ，每题 3 分 ，共计30分 ） 

1.

【答案】

D

【考点】

定积分在求面积中的应用

【解析】

由积分的几何意义可得，，即可得出结论．

【解答】

解：由积分的几何意义可得，．

故选：．

2.

【答案】

A

【考点】

用定积分求简单几何体的体积

【解析】

由题意此几何体的体积可以看作是，求出积分即得所求体积．

【解答】

解：由题意几何体的体积；

故选．

3.

【答案】

C

【考点】

定积分在求面积中的应用

【解析】

先根据题意画出区域，然后依据图形利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．

【解答】

解：直线，，与抛物线所围成的曲边梯形的面积为

，

故选：．

4.

【答案】

A

【考点】

定积分的简单应用

【解析】

因为所求区域均为曲边梯形，所以使用定积分方可求解，然后求出曲线与的交点坐标，然后利用定积分表示所围成的平面图形的面积，根据定积分的定之即可．

【解答】

解：联立，解得，

∴

故选：

5.

【答案】

A

【考点】

用定积分求简单几何体的体积

【解析】

欲求曲线和所围成的平面图形绕轴旋转一周后所形成的旋转体的体积，可利用定积分计算，即求出被积函数在上的积分即可．

【解答】

解：设旋转体的体积为，

则

．

故旋转体的体积为：．

故选．

6.

【答案】

B

【考点】

定积分在求面积中的应用

【解析】

根据定积分的几何意义，所求面积为，然后利用公式求出的原函数，算出的值，即为所求图形的面积．

【解答】

解：根据题意，所求面积为

  （其中为常数）

∴

故选

7.

【答案】

C

【考点】

定积分的简单应用

【解析】

先根据题意建立关系式，然后根据定积分的计算法则求出定积分的值即可．

【解答】

解：根据题意可知所做的功为

故选．

8.

【答案】

B

【考点】

定积分在求面积中的应用

【解析】

根据定积分的几何意义，先求出积分的上下限，即可求出所围成的图形的面积

【解答】

解：联立直线，曲线构成方程组，解得

联立直线，构成方程组，解得

如图所示：

∴曲线，及轴所围成的封闭图形的面积

．

故选．

9.

【答案】

D

【考点】

定积分在求面积中的应用

定积分

定积分的简单应用

【解析】

先根据定积分的几何意义可知将区间分成三段，然后利用上方曲线方程减下方的曲线方程，求积分即为面积，从而求出所求．

【解答】

解：根据定积分的几何意义可知将区间分成三段

利用上方曲线方程减下方的曲线方程，求积分即为面积

故选：

10.

【答案】

D

【考点】

定积分在求面积中的应用

【解析】

先画出画出直线与曲线围成的平面图形，然后求出交点横坐标得到积分上下限，然后利用定积分表示出图形的面积，根据定积分的运算法则进行求解即可．

【解答】

解：画出直线与曲线围成的平面图形

图形关于原点对称，交点的横坐标为，

∴直线与曲线围成的平面图形的面积是

故选．

二、 填空题 （本题共计 10 小题  ，每题 3 分 ，共计30分 ） 

11.

【答案】

【考点】

定积分的简单应用

【解析】

求出定积分，根据方程即可求解．

【解答】

解：∵，∴．又∵．

∴，∵∴．

12.

【答案】

【考点】

定积分在求面积中的应用

【解析】

本题利用直接法求解，根据三角函数的对称性知，曲线与直线，所围成的平面区域的面积为：曲线与直线，所围成的平面区域的面积的两倍，最后结合定积分计算面积即可．

【解答】

解：根据对称性，得：

曲线与直线，所围成的平面区域的面积为：曲线与直线，所围成的平面区域的面积的两倍，

∴

故答案为．

13.

【答案】

【考点】

旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

用定积分求简单几何体的体积

【解析】

作出曲线围成的封闭图象，根据旋转得到旋转体的结构即可得到结论．

【解答】

解：曲线，，，合成的封闭图形绕轴旋转一周所得的旋转体为底面半径为，

高为的圆柱，去掉个底面半径为，高为的圆锥，

则对应的体积为，

故答案为：

14.

【答案】

【考点】

定积分在求面积中的应用

【解析】

先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为，积分下限为，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．

【解答】

解：先根据题意画出图形，得到积分上限为，积分下限为；

两曲线，所围成的图形的面积是

而

∴曲边梯形的面积是

故答案为．

15.

【答案】

【考点】

定积分在求面积中的应用

【解析】

作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数在区间上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．

【解答】

解：∵曲线和直线的交点为，

∴曲线、直线与轴所围成的图形面积为

．

故答案为：．

16.

【答案】

【考点】

用定积分求简单几何体的体积

【解析】

根据类比推理，结合定积分的应用，即可求出旋转体的体积．

【解答】

解：根据类比推理得体积

，

故答案为：.

17.

【答案】

【考点】

定积分在求面积中的应用

【解析】

先根据所围成图形的面积利用定积分表示出来，然后根据定积分的定义求出面积即可．

【解答】

解：由题意，．

故答案为：．

18.

【答案】

【考点】

用定积分求简单几何体的体积

【解析】

看作是把一个底面边长为，高为的直三棱柱平放得到的，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即可得出结论．

【解答】

解：看作是把一个底面边长为，高为的直三棱柱平放得到的，

根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，

即的体积为．

故答案为．

19.

【答案】

【考点】

定积分在求面积中的应用

【解析】

求出函数的切线方程，利用积分的几何意义即可求出区域的面积．

【解答】

解：函数的导数为，

则在处的切线斜率，

则对应的切线方程为，即，

由，解得或，

则由积分的几何意义可得阴影部分的面积，

故答案为：．

20.

【答案】

【考点】

定积分的简单应用

【解析】

先根据定积分的运算公式求出的解析式，然后利用二次函数的图象和性质即可求出的最大值．

【解答】

解：

∴当时，取最大值，最大值为

故答案为：

三、 解答题 （本题共计 20 小题  ，每题 10 分 ，共计200分 ） 

21.

【答案】

解：∵交点为

∴曲线的导函数为：

∴切点坐标为，

故该点的切线方程为：.

两曲线交点坐标

.

【考点】

定积分在求面积中的应用

利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：∵交点为

∴曲线的导函数为：

∴切点坐标为，

故该点的切线方程为：.

两曲线交点坐标

.

22.

【答案】

解：联立，解得，

∴

【考点】

定积分的简单应用

【解析】

因为所求区域均为曲边梯形，所以使用定积分方可求解．

【解答】

解：联立，解得，

∴

23.

【答案】

解：（1）由，

则切线的斜率，

切线的方程为即；

（2）如图，所求的图形的面积．

【考点】

定积分在求面积中的应用

利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】

（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程；

（2）根据定积分的几何意义即可求出所围成的图形的面积．

【解答】

解：（1）由，

则切线的斜率，

切线的方程为即；

（2）如图，所求的图形的面积．

24.

【答案】

解：由题意，将烟囱横截面按照如图放置，建立坐标系如图，双曲线的短轴长为，并且过，

所以双曲线方程为，

所以

【考点】

用定积分求简单几何体的体积

双曲线的特性

【解析】

由题意建立坐标系，得到如图的双曲线，烟囱最细处的直径为即，最下端的直径为，最细处离地面，即双曲线经过，烟囱高，即自变量范围为到，由此利用定积分的值得到体积．

【解答】

解：由题意，将烟囱横截面按照如图放置，建立坐标系如图，双曲线的短轴长为，并且过，

所以双曲线方程为，

所以

25.

【答案】

解：设，

则，

.

又，

∴

 解得 或

∴或.

由解得

即曲线与直线的交点坐标为，

同理可得，曲线与直线的交点坐标为，

直线与直线的交点坐标为，

所以围成的平面图形的面积为：

．

【考点】

复数的运算

共轭复数

复数代数形式的混合运算

定积分在求面积中的应用

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：设，

则，

.

又，

∴

 解得 或

∴或.

由解得

即曲线与直线的交点坐标为，

同理可得，曲线与直线的交点坐标为，

直线与直线的交点坐标为，

所以围成的平面图形的面积为：

．

26.

【答案】

解：（1）∵展开式的前三项系数成等差数列，

∴…

∴，

整理得，（舍）  …

（2）所投的点落在叶形图内记为事件，由几何概型的概率公式得：

…

【考点】

二项式定理的应用

定积分在求面积中的应用

等差数列的性质

几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）

【解析】

（1）由题意可得，，解关于的方程即可；

（2）由几何概型的概率公式可知，需求叶形图的面积，利用定积分可求叶形图的面积，从而使问题解决．

【解答】

解：（1）∵展开式的前三项系数成等差数列，

∴…

∴，

整理得，（舍）  …

（2）所投的点落在叶形图内记为事件，由几何概型的概率公式得：

…

27.

【答案】

利用．

利用．

由于，解得或，

所以．

【考点】

定积分的简单应用

【解析】

首先求出被积函数的原函数，进一步利用定积分知识求出结果．

【解答】

利用．

利用．

由于，解得或，

所以．

28.

【答案】

解：由与直线联立，可得交点，，

∴与直线所围成图形的面积．

【考点】

定积分在求面积中的应用

【解析】

先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出与直线所围成图形的面积，即可求得结论．

【解答】

解：由与直线联立，可得交点，，

∴与直线所围成图形的面积．

29.

【答案】

解：（1）

（2）

【考点】

用定积分求简单几何体的体积

定积分在求面积中的应用

【解析】

（1）根据题意可知曲线和直线，，及所围成图形的面积为，解之即可；

（2）所围成图形绕轴旋转所成旋转体的体积为，根据定积分的定之即可．

【解答】

解：（1）

（2）

30.

【答案】

解：设，则，

由图象可知，即，解得，

∴．

∴．

若要想得到误差不超过的面积估计值，

可使用分段函数求出的解析式，然后使用定积分求出面积．

【考点】

定积分在求面积中的应用

【解析】

设，利用待定系数法确定函数关系式，利用定积分求出面积估计值；若要误差小可分段求出的解析式，然后使用定积分求出面积．

【解答】

解：设，则，

由图象可知，即，解得，

∴．

∴．

若要想得到误差不超过的面积估计值，

可使用分段函数求出的解析式，然后使用定积分求出面积．

31.

【答案】

解：（1）曲线和直线：联立，可得交点坐标为，则

；

（2）．

【考点】

用定积分求简单几何体的体积

旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

【解析】

（1）求得交点坐标，可得积分区间，即可求的面积；

（2）旋转一周所得旋转体的体积应该用定积分来求．

【解答】

解：（1）曲线和直线：联立，可得交点坐标为，则

；

（2）．

32.

【答案】

解：（1）设，

∵，

∴•，

∴，

∴，，

∴，；

，

∴．

【考点】

用定积分求简单几何体的体积

定积分

【解析】

（1）利用待定系数法，结合定积分的定义求函数的解析式；

（2）求出，应用定积分来求旋转体的体积．

【解答】

解：（1）设，

∵，

∴•，

∴，

∴，，

∴，；

，

∴．

33.

【答案】

解：（1）若干张平行于圆锥底面的平面把它切成块厚度相等的薄片；

（2）用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片，圆柱的高为，底半径顺次为：，，…，，；

（3）问题归结为计算和式，当越来越大时所趋向的值．

（对求极限

故圆锥的体积等于的圆柱体的体积

【考点】

用定积分求简单几何体的体积

【解析】

利用极限的定义进行分割、近似代换和求极限的方法，进行推到

【解答】

解：（1）若干张平行于圆锥底面的平面把它切成块厚度相等的薄片；

（2）用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片，圆柱的高为，底半径顺次为：，，…，，；

（3）问题归结为计算和式，当越来越大时所趋向的值．

（对求极限

故圆锥的体积等于的圆柱体的体积

34.

【答案】

解：设为曲线上任一点，得曲线于该点处的切线方程为：即．

得其与，的交点分别为，

于是由此切线与直线，以及曲线所围的平面图形面积为：

应用均值不等式求得时，取得最小值．

即所求切线即为：．

【考点】

定积分在求面积中的应用

【解析】

先根据导数的几何意义求出曲线上任一点处的切线方程，再求出积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后利用定积分的定义进行求解即可．

【解答】

解：设为曲线上任一点，得曲线于该点处的切线方程为：即．

得其与，的交点分别为，

于是由此切线与直线，以及曲线所围的平面图形面积为：

应用均值不等式求得时，取得最小值．

即所求切线即为：．

35.

【答案】

解：设切线方程为，切点坐标为，

则，解得，，

∴切线方程为．

将代入得，∴．

∴区域的面积为．

区域绕轴旋转一周所得几何体体积为．

【考点】

用定积分求简单几何体的体积

【解析】

求出的坐标和切线方程，则所求面积和体积均可用两个定积分的差来表示．

【解答】

解：设切线方程为，切点坐标为，

则，解得，，

∴切线方程为．

将代入得，∴．

∴区域的面积为．

区域绕轴旋转一周所得几何体体积为．

36.

【答案】

解：由，

得或，

∴所求图象的面积为：

．

【考点】

定积分在求面积中的应用

【解析】

先求出两曲线的交点坐标，利用定积分的应用即可求出对应图形的面积．

【解答】

解：由，

得或，

∴所求图象的面积为：

．

37.

【答案】

解：

即

设∴

则，为方程两根

∴或

∴

【考点】

定积分的简单应用

【解析】

先根据定积分的运算法则建立与的等量关系，然后设则，再利用构造法构造，为方程两根，然后利用判别式可求出．的取值范围．

【解答】

解：

即

设∴

则，为方程两根

∴或

∴

38.

【答案】

解：根据对称性，得：

曲线与直线、、所围成的平面区域的面积为：曲线与直线，所围成的平面区域的面积的二倍，

∴．

故曲线与直线、、所围成的面积为．

【考点】

定积分在求面积中的应用

【解析】

本题利用直接法求解，根据三角函数的对称性知，曲线与直线、、所围成的平面区域的面积为：曲线与直线，所围成的平面区域的面积的二倍，最后结合定积分计算面积即可．

【解答】

解：根据对称性，得：

曲线与直线、、所围成的平面区域的面积为：曲线与直线，所围成的平面区域的面积的二倍，

∴．

故曲线与直线、、所围成的面积为．

39.

【答案】

解：

．

【考点】

定积分在求面积中的应用

【解析】

求曲线与直线，，所围成的平面图形的面积

【解答】

解：

．

40.

【答案】

由 得 ．

由题设得即

∴

∴＝

∴直线方程为＝．

故的值为：．

【考点】

定积分的简单应用

【解析】

先由 得 ，根据直线＝分抛物线＝与轴所围成图形为面积相等的两个部分得下面利用定积分的计算公式即可求得值．

【解答】

由 得 ．

由题设得即

∴

∴＝

∴直线方程为＝．

故的值为：．