数值分析matlab实验报告

一、实验内容

设区间[-1,1]上函数，考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为，i=0,1,2,...,n，则拉格朗日插值多项式为.其中，li(x)，i=0,1,2,...,n是Lagrange插值基函数.

1)选择不断增大的分点数目n=2,3,...，画出原函数f(x)及插值多项式函数Ln(x)在[-1,1]上的图像，比较并分析实验结果.

2)选择其他的函数，例如定义在区间[-5,5]上的函数，，重复上述的实验看其结果如何.

二、实验程序

1.主程序

function chapter2

promps={'请选择试验函数，若选f(x)，请输入f，若选好h(x)，请输入h，若选g(x)，请输入g：'};

 result=inputdlg(promps,'charpt 2',1,{'f'});

 Nb_f=char(result);

 if(Nb_f~='f'&&Nb_f~='h'&&Nb_f~='g')

     errordlg('试验函数选择错误！');

     return;

 end

 result=inputdlg({'请输入插值多项式的次数N：'},'charpt_2',1,{'10'});

 Nd=str2num(char(result));

if(Nd<1)

     errordlg('插值多项式的次数输入错误！');

     return;

 end

 switch Nb_f

     case'f'

         f=inline('1./(1+25*x.^2)');a=-1;b=1;

     case'h'

         f=inline('x./(1+x.^4)');a=-5;b=5;

     case'g'

         f=inline('atan(x)');a=-5;b=5;

 end

x0=linspace(a,b,Nd+1);y0=feval(f,x0);

x=a:0.1:b;y=Lagrange(x0,y0,x);

clf;

fplot(f,[a b],'rx');

hold on;

plot(x,y,'b--');

xlabel('x');ylabel('y=f(x) x and y=Ln(x) --');

2.Lagrange函数

function y=Lagrange(x0,y0,x)

n=length(x0);

m=length(x);

for i=1:m

    z=x(i);

    s=0;

    for k=1:n

        p=1.0;

        for j=1:n

            if (j~=k)

                p=p.*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));

            end

        end

        s=s+p*y0(k);

    end

    y(i)=s;

end

三、实验结果及分析

1) 选择不断增大的分点数目n，原函数f(x)及插值多项式函数Ln(x)在[-1,1]上的图像。

随着提高插值多项式次数，可以提高逼近的精度，但是次数的增加，在区间两端点附近与原函数偏离很远，即出现了Runge现象。

2) 选择不断增大的分点数目n，原函数h(x)及插值多项式函数Ln(x)在[-1,1]上的图像。

选择不断增大的分点数目n，原函数g(x)及插值多项式函数Ln(x)在[-1,1]上的图像。

同样，随着提高插值多项式次数，可以提高逼近的精度，但是次数的增加，在区间两端点附近与原函数偏离很远，即出现了Runge现象。

实验3.1最小二乘拟合

一、实验内容

编制以函数为基的多项式最小二乘拟合程序，并用于对下表中数据作3次多项式最小二乘拟合.

二、实验程序

function chapter3

x0=-1:0.5:2;

y0=[-4.447 -0.452 0.551 0.048 -0.447 0.549 4.552];

n=3;

alph=polyfit(x0,y0,n);

y=polyval(alph,x0);

r=(y0-y)*(y0-y)';

x=-1:0.01:2;

y=polyval(alph,x);

plot(x,y,'k--');

xlabel('x');ylabel('y0 * and polyfit. y-.');

hold on;

plot(x0,y0,'*');

title('离散数据的多项式拟合');

grid on;

disp(['平方误差:',sprintf('%g',r)]);

disp(['参数alph:',sprintf('%g\',alph)])

三、实验结果及分析

输出结果：

平方误差:2.17619e-005

参数alph:1.99911    -2.99767    -3.96825e-005    0.549119

离散数据的拟合函数图形为：

实验3.2 正交化多项式最小二乘拟合

一、实验内容

编制正交化多项式最小二乘拟合程序，并用于求解上题中的3次多项式最小二乘拟合问题，作拟合曲线的图形，计算平方误差，并与上题的结果进行比较.

二、实验程序

1.主程序：

function chapter3_2

x0=-1:0.5:2;

y0=[-4.447 -0.452 0.551 0.048 -0.447 0.549 4.552];

n=3;

result=inputdlg({'请输入权向量w:'},'charpt_3',1,{'[1 1 1 1 1 1 1]'});

w=str2num(char(result));

[a,b,c,alph,r]=ffun(x0,y0,w,n);

disp(['平方误差:',sprintf('%g',r)]);

disp(['参数alph:',sprintf('%g\',alph)])

2.正交化离散数据最小二乘拟合函数

function [a,b,c,alph,r]=ffun(x,y,w,n)

m=length(x)-1;

s1=0;s2=ones(1,m+1);v2=sum(w);

d(1)=y*w';c(1)=d(1)/v2;

for k=1:n

    xs=x.*s2.^2*w';a(k)=xs/v2;

    if(k==1)

        b(k)=0;

    else

        b(k)=v2/v1;

    end

    s3=(x-a(k)).*s2-b(k)*s1;

    v3=s3.^2*w';

    d(k+1)=y.*s3*w';c(k+1)=d(k+1)/v3;

    s1=s2;s2=s3;v1=v2;v2=v3;

end

r=y.*y*w'-c*d';

alph=zeros(1,n+1);

T=zeros(n+1,n+2);

T(:,2)=ones(n+1,1);T(2,3)=-a(1);

if(n>=2)

    for k=3:n+1

        for i=3:k+1

            T(k,i)=T(k-1,i)-a(k-1)*T(k-1,i-1)-b(k-1)*T(k-2,i-2);

        end

    end

end

for i=1:n+1

    for k=i:n+1

        alph(n+2-i)=alph(n+2-i)+c(k)*T(k,k+2-i);

    end

end

xmin=min(x);xmax=max(x);dx=(xmax-xmin)/(25*m);

t=(xmin-dx):dx:(xmax+dx);

s=alph(1);

for k=2:n+1

    s=s.*t+alph(k);

end

plot(x,y,'*',t,s,'-');

title('离散数据的多项式拟合');

xlabel('x');ylabel('y');

grid on;

三、实验结果及分析

输出结果：

平方误差:2.17619e-005

参数alph:1.99911    -2.99767    -3.96825e-005    0.549119

离散数据的拟合函数图形为：

与实验3.1的结果完全一致。