上海市徐汇区2021年高三下学期数学二模考试卷及答案

高三数学 2021.4

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．集合2

{|20}A x x x =−<，{|1}B x x =<，则A B = ．

2．已知函数()34log 2f x x ⎛⎫

=+

⎪⎝⎭

，则方程()14f x −=的解x = _____________． 3．等比数列{}n a （*N n ∈）中，若1612=

a ，2

1

5=a ，则8a = . 4．若方程2230x x −+=的两个根为α和β，则||||αβ+= ． 5．函数()sin()(0,0,||)2

f x A x A π

ωϕωϕ=+>><

的

部分图像如右图所示，则()f x = ．

6．双曲线19

42

2=−y x 的焦点到渐近线的距离等于 ．

7. 在二项式7(1)ax +)(R a ∈的展开式中，x 的系数为

73

，则23

lim()n n a a a a →∞+++

+的值是

__________.

8．已知正四棱柱1111D C B A ABCD −的八个顶点都在同一球面上，若1=AB ，

21=AA ,则A 、C 两点间的球面距离是 .

9． 在ABC ∆中，已知1AB =，2BC =，若cos sin sin cos C C

y C C

=

，则y 的最小值是 .

10．已知三行三列的方阵1112132122233132

33a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪

⎝⎭ 中有9个数(123123)ij a i j ==，；，，从中任取三个数，则有且

仅有两个数位于同行或同列（注意：不能同时出现既有两数同行、又有两数同列的情况）的概率是 . (结果用分数表示) 11．在ABC ∆中，12AM AB =

，1

3

AN AC =，BN 与CM 交于点E ，AB a =，

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．设:1x α>且2y >，:3x y β+>，则α是β成立的-----------------------------（ ）

A . 充分非必要条件

B . 必要非充分条件

C . 充要条件

D . 既非充分又非必要条件

14． 设1z 、2z 为复数，下列命题一定成立的是----------------------------（ ）

A . 如果02

22

1=+z z ，那么021==z z

B . 如果21z z =，那么21z z ±=

C . 如果a z ≤1，a 是正实数，那么a z a ≤≤−1

D . 如果a z =1，a 是正实数，那么211a z z =⋅

15．若是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则下列结论：①|()|y f x =是

偶函数；②对任意的R x ∈都有()|()|0f x f x −+=；③()()y f x f x =−在(,0]−∞上单调递增； ④反函数()1

y f

x −=存在且在(,0]−∞上单调递增．其中正确结论的个数为----（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

16．已知{}n a 是公差为(0)>d d 的等差数列，若存在实数1239,,,,x x x x 满足方程组

123911223399

sin sin sin sin 0,sin sin sin sin 25,

⎧⎪⎨⎪⎩++++=++++=x x x x a x a x a x a x 则d 的最小值为----------------（ ）

A .98

B .

C .54

D .4

5

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分） 如图，在直三棱柱111C B A ABC −中，BC BA ⊥，

21===BB BC BA .

（1）求异面直线1AB 与11AC 所成角的大小；

（2）若M 是棱BC 的中点.求点M 到平面C B A 11的距离.

()f

x

18．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）

已知函数()f x x a =+

（1） 若a =

()f x 的零点；

（2） 针对实数a 的不同取值，讨论函数()f x 的奇偶性.

19. （本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）

元宵节是中国的传统节日之一. 要将一个上底为正方形ABCD 的长方体状花灯挂起，将两根等长(长度大于A C 、两点距离)的绳子两头分别拴住A C 、；B D 、，

再用一根绳子OP 与上述两根绳子连结并吊在天花板上，使花灯呈水平状态，如图. 花灯上底面到天花板的距离设计为1米，上底面边长为0.8米，设PAC=θ∠，所有绳子总长为y 米. (打结处的绳长忽略不计) (1)将y 表示成θ的函数，并指出定义域；

(2)要使绳子总长最短，请你设计出这三根绳子的长. (精确到0.01米)

20. （本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）

已知椭圆22163

x y +=上有两点()2,1P −及()2,1Q −，直线:l y kx b =+与椭圆交于A 、B 两点，与线段

PQ 交于点C （异于P 、Q ）.

(1)当1k =且1

2

PC CQ =

时，求直线l 的方程； (2)当2k =时，求四边形PAQB 面积的取值范围；

(3)记直线PA 、PB 、QA 、QB 的斜率依次为1k 、2k 、3k 、4k . 当0b ≠且线段AB 的中点M 在直线

y x =−上时，计算12k k ⋅的值，并证明：22

12342k k k k +>.

21. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）

若数集M 至少含有3个数，且对于其中的任意3个不同数,,a b c (a b c <<)，,,a b c 都不能成为等差数列，则称M 为“α集”. (1)判断集合{1,2,4,8,

,2}n (*N ,3n n ∈≥)是否是α集？说明理由；

(2)已知*

N ,3k k ∈≥. 集合A 是集合{1,2,3,

,}k 的一个子集，设集合{}21B x k x A =+−∈，求证：

若A 是α集，则A B ⋃也是α集；

(3)设集合()34

122222,,,

,,,334

1n n C n N n n n +*⎧⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭

，判断集合C 是否是α集，证明你的结论.

2020学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 数学学科参及评分标准 2021.4

一． 填空题：（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分 1．()1,2− 2．1 3．4 4

． 5．2sin

4

x π

6． 3

7．

12 8．2π 9．12 10．37 11．21

55a b + 12．

29

二．选择题：（本大题共有4题，满分20分，每题５分） 13．A 14．D 15．B 16．C 三．

解答题：（本大题共5题，满分74分）

17．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）

【解】由于11//AC AC ，所以1CAB ∠（或其补角）即为异面直线1AB 与11AC 所成角，2分

连接1CB ，在1AB C ∆

中，由于11AB B C AC ===，所以1AB C ∆是等边三角形，所以

13CAB π

∠=

，所以异面直线1AB 与11AC 所成角的大小为

3

π

.-------6分

（2）如图所示，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为()2,0,0C 、()0,2,0B 1、()0,2,2A 1、

()M 0,0,1.-----------------------------8分

设平面C B A １１的法向量为(),,n u v w =，则11B A ,B ⊥⊥n C n １.

()2,2,0B 1−=C ，()0,0,2B A 11−=，

且0B A ,0B 111=⋅=⋅n C n ，⎩

⎨

⎧==⇒⎩⎨

⎧=−=−∴002022u v

w u w v ，取1=v ，得平面C B A １１的一个法向量为()1,1,0=n ， ------------------11分

2=

，又()1MB 0,2,1=−，于是点M 到平面C B A １１的距离

1

MB 02n d n

⋅⨯=

=

=

= 所以，点M 到平面C B A 11的距离等于

2

2

.-------------------------------------14分 解法二：过点M 作1MN CB ⊥交1CB 于N ，由111

1

111MN CB MN A B CB A B B

⊥⎧⎪

⊥⎨⎪⋂=⎩MN ⇒⊥

平面11A B C . 在Rt CMN ∆中，由4

MCN π

∠=

，1CM =，得2

MN =

，

所以，点M 到平面C B A 11的距离等于

2

2

.（解法三：利用等体积法，略.） 18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 【解】（1）函数()f x 的定义域为[]1,1−，

由a =

0x −=，

化简得2

210x ++=，即

)

2

102

x +=∴=−

[]1,1∈−，

所以，函数()f x 的零点为2

x =−.------------------------------------6分 （注意：不求定义域扣1分）

（2）函数()f x 的定义域为[]1,1−，若函数()f x 为奇函数，则必有()()110f f −+= 代入得110a a ++−=于是1

1a a =⎧⎨

=−⎩

无解，所以函数()f x 不能为奇函数--------9分

若函数()f x 为偶函数，由()()11f f −=得11a a −+=+解得0a =；---------12分

又当0a =时，()f x x =，则()()f x x x f x −=−==

对任意[]1,1x ∈−都成立.-------------------------------------------------13分 综上，当0a =时，函数()f x 为偶函数，当0a ≠时，函数()f x 为非奇非偶函数.--14分 19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

由sin(θ+)1ϕ≤,得A ≥2π

θ=−----------10分

从而y min 米)，-----------------------------------------------------------------11分 此时这三根绳子长分别约为1.17米，1.17米，0.85米.------------------------------------14分

20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)

【解】(1)设C (a ,b )，则2,1),(2,1)PC a b CQ a b =+−=−−−（，由12

PC CQ =，得 12(2),211(1),2a a b b ⎧+=−⎪⎪⎨⎪−=−−⎪⎩解得2,31.3a b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

所以，直线l 的方程为12()33

y x −=−−，即10x y −+=.--------------------4分 (2)直线l 的方程为2y x b =+，代入椭圆方程，整理得2298260x bx b ++−=(*)--5分

则|AB

=,-----------------------6分 由l 与线段PQ

0<，得55b −<<，----------------7分 由12

PQ k =−，2l k =知1PQ l k k ⋅=−，所以AB PQ ⊥

且PQ = 故四边形PAQB 的面积S

=1|||2AB PQ AB ⋅=

-------------9分

其取值范围为20,93⎛ ⎝⎦

.------------------------------------------------10分 (3)将直线l 的方程:l y kx b =+，代入椭圆方程，整理得(1+2k 2)x 2+4kbx +2b 2-6=0 (*)11分

设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则AB 中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫

⎪⎝⎭， 且x 1,x 2为方程(*)的两根，则x 1+x 2=2

412kb k −+. 由条件，有1212022

x x y y +++=，即x 1+x 2+y 1+y 2=0，--------------------------12分 又y 1=kx 1+b ，y 2=kx 2+b ，故有(1+k )(x 1+x 2)+2b =0， 即24(1)()2012kb k b k +−

+=+，解得b =0（舍）或k =12.-----------------------13分 当k =12时，x 1+x 2=43b −，x 1x 2=24123

b −，则 12k k =1212121211(1)(1)112222(2)(2)

x b x b y y x x x x +−+−−−⋅=++++

21212121211()(1)1422()42

b x x x x b x x x x −+++−==+++，----------------------------------14分 又由于34k k =212121212

12121212111+1(+1)(+1)()(+1)+1+112242-2-2(-2)(-2)-2()42

b x b x b x x x x b y y x x x x x x x x +++++⋅===++， 由12k k ≠，利用基本不等式有2212342k k k k +>成立. ----------------------------16分

21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)

【解】(1)任取三个不同元素2i <2j <2k

(其中0≤i ， 但2i +2k >2k

≥2j +1=2⋅2j ，因此这三个数不能成等差数列.

所以，集合{1,2,4,8,,2}n (*N ,3n n ∈≥)是“α集”.----------------------4分

(2)反证法. 假设A B ⋃不是“α集”，即A B ⋃中存在三个不同元素x 且x -(2k -1)，y -(2k -1)，z -(2k -1)都在A 中，这说明A 中存在三个数构成等差数列， 即A 不是“α集”，与条件矛盾，因此，x ,y ,z 也不能全在B 中.---------------7分 由于B 中最小可能元素（为2k ）大于 A 中最大可能元素（为k ），

所以必有x ∈A ，z ∈B .----------------------------------------------------8分 从而，y =12(x +z )12

≤[k +k +(2k -1)]=2k -12<2k ，故y ∉B ； 同样，y =

12(x +z )12≥[1+1+(2k -1)]=k +12>k ，故y ∉A . 这与y ∈A B ⋃矛盾，故A B ⋃也是“α集”.-----------------------------10分

(3) 集合C 是“α集”，证明如下： 记()121k k a k N k +*=∈+，则()21112220211(2)

k k k k k k a a k k k k ++++−=−=⋅>++++， 故1234n a a a a a <<<<<.-----------------------------------------12分 任取,,i j k a a a C ∈(其中1≤i 当k ≥j +2时，()2221222201(3)j i k j i j j j j j a a a a a a a a j j +++−+−≥+−>−=⋅>++ (这是由于j >i ≥1,故j ≥2) ，即2i k j a a a +>；-------------------------14分 当k =j +1时，若,,i j k a a a 成等差数列，则2i k j a a a +=，即

+12i j j a a a +=，化简得()()11(+2=12j i j j i −+++⋅）

……(*)----------------15分

从而()1(+2j j +）是12j i −+的正整数倍，由于1j +与2j +互质(为两个连续正整数)， 因此1j +是12j i −+的正整数倍或2j +是12j i −+的正整数倍，-----------------16分 若1j +是12j i −+的正整数倍，则1j +≥12j i −+，而211j j i +>+>+，则(*)式不成立； 若2j +是1

2j i −+的正整数倍，则2j +≥12j i −+，而11j i +>+，(*)仍不成立. 综上可知，,,i j k a a a 不能成等差数列，即证明了集合C 是“α集”.----------18分