2016届上海市松江区高三一模数学(理科)试题及答案

数学（理科）试卷

             （满分150分，完卷时间120分钟）         2016.1

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．已知全集，是的子集，满足，，则集合=   ▲   ． 

2．若复数（i是虚数单位）的模不大于2，则实数a的取值范围是   ▲   ． 

3．行列式  的值是   ▲   ． 

4．若幂函数的图像过点，则=   ▲   ． 

5．若等比数列满足，且公比，则  ▲   ．

6．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为、则有   ▲   ．

7．如图所示的程序框图，输出的结果是   ▲   ．

8．将函数图像上的所有点向右平移个单位，再将图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），则所得图像的函数解析式为  ▲   ． 

9．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球， 2只黑球从中一次性随机摸出2只球则恰好有1只是白球的概率为   ▲   （结果用数值表示）． 

10．在中，内角、、所对的边分别是、、. 已知，，则=   ▲   ． 

11．若展开式的第4项为，则   ▲   ． 

12．已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与抛物线的一个交点为．若，则    ▲   ．

13．已知正六边形内接于圆，点为圆上一点，向量与的夹角为（），若将从小到大重新排列后恰好组成等差数列，则该等差数列的第3项为   ▲   ．

14．已知函数，对任意的，恒有成立， 且当时，. 则方程在区间上所有根的和为   ▲   ． 

二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 

15．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为 

16．设，则“”是“”的

充分而不必要条件    必要而不充分条件  

充要条件            既不充分也不必要条件

17. 在正方体中，、分别是棱、的中点，、分别是线段与上的点，则与平面平行的直线有

0条         1条        2条     无数条

18．在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”. 已知数列1，2. 第一次“H扩展”后得到1，3，2；第二次“H扩展”后得到1，4，3，5，2； 那么第10次“H扩展”后得到的数列的所有项的和为

   88572          88575           29523         29526

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分

如图，在三棱锥中，平面，，，,分别是的中点．

（1）求三棱锥的体积；

（2）若异面直线与所成的角为，求的值.

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分

已知函数．

（1）当时，求函数 f (x)的值域；

（2）求函数 y = f (x)的图像与直线 y =1相邻两个交点间的最短距离．

21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含以下三个方面：下潜时，平均速度为每分钟米，每分钟的用氧量为升；水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；返回水面时，速度为每分钟米，每分钟用氧量为升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为升．

（1）将表示为的函数；

（1）若，求总用氧量的取值范围．

22．（本题满分16分，第1小题3分，第2小题中5分、第2小题8分）

     在平面直角坐标系中，为坐标原点，C、D两点的坐标为, 曲线上的动点P满足．又曲线上的点A、B满足．

（1）求曲线的方程；

（2）若点A在第一象限，且，求点A的坐标；

（3）求证：原点到直线AB的距离为定值．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

   对于数列，称（其中）为数列的前k项“波动均值”.若对任意的，都有，则称数列为“趋稳数列”．

（1）若数列1，，2为“趋稳数列”，求的取值范围；

（2）若各项均为正数的等比数列的公比，求证：是“趋稳数列”；

（3）已知数列的首项为1，各项均为整数，前项的和为. 且对任意，都有， 试计算： （）．

松江区2015学年度第一学期高三期末考试

数学（理科）试卷参    2016.1

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

  1．．      2．．   3．．      4．．     5．．

  6．．       7．．      8．．     9．．   10．．

  11．．       12．．    13．．    14．．

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

   15．A．   16．B．    17．D．     18．B．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分

解： (1)由已知得，         ……………………2分

  所以 ，体积        ……………………5分

(2)取中点，连接，则，

所以就    是异面直线与所成的角.  ……………………8分

由已知，， 

.                       ……………………10分

在中，，

所以，.                            ……………………12分

20．（满分14分）本题有3小题，第1小题7分，第2小题3分，第,3小题4分．

解：（1）                                                           ……………………4分

当时，，所以的值域为……7分

（2）   ∴，……………………9分

或，    ……………………12分

∴当时，两交点的最短距离为            ……………………14分

21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

解：（1）下潜所需时间为分钟；返回所需时间为分钟    …………2分

∴                        …………5分

                                    …………6分

（2），当且仅当，即时取等号. …8分

因为，所以在上单调递减，在上单调递增

所以时，取最小值7                                …………11分

又时，；时，，                 …………13分

所以的取值范围是．                              …………14分

22.（本题满分16分，第1小题3分，第2小题中5分、第2小题8分）

解（1）由，知，曲线E是以C、D为焦点，长轴的椭圆，                                                ……………… 1分

设其方程为，则有，

∴曲线E的方程为                           ……………… 3分

（2）设直线OA的方程为，则直线OB的方程为

由      得，解得.………………4分

同理，由则      解得.      ………………5分

由    知，

即                  ………………6分

解得，因点A在第一象限，故，           ………………7分

此时点A的坐标为                        ………………8分

（3）设，，

当直线AB平行于坐标轴时，由知A、B两点之一为与椭圆的交点，

由解得   此时原点到直线AB的距离为…10分

当直线AB不平行于坐标轴时，设直线AB的方程， 

由   得  ………………12分

由    得

即                 

因                 ………………14分

代入得     即……15分

  原点到直线AB的距离      ………………16分

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

解：（1）由题意，即………………2分

        解得                                   ………………4分

（2）由已知，设，因且，故对任意的，都有                                         ………………5分

∴，            ………………7分

因∴

∴, , , , ,

∴                      …………………8分

∴

∴

∴

即对任意的，都有，故是“趋稳数列”……10分

(3) 当时， 

 当时， 

∴

同理，             ……………… 12分

因

∴

   即                                  ……………… 14分

    所以或  

       所以    或  

    因为，且，所以， 从而………… 16分

所以

                ………… 18分