1衡水中学物理最经典-物理建模系列(九) 用能量守恒定律处理两种模型

1．模型介绍：根据运动情况可以分成水平面上的滑块—木板模型和在斜面上的滑块—木板模型．

2．处理方法：系统往往通过系统内摩擦力的相互作用而改变系统内物体的运动状态，既可由动能定理和牛顿运动定律分析单个物体的运动，又可由能量守恒定律分析动能的变化、能量的变化， 在能量转化方面往往用到ΔE内＝－ΔE机＝Ffx相对，并要注意数学知识(如图象、归纳法等)在此类问题中的应用．

模型一　滑块——木板模型

例1　　图甲中，质量为m1＝1 kg的物块叠放在质量为m2＝3 kg的木板右端．木板足够长，放在光滑的水平面上，木板与物块之间的动摩擦因数为μ1＝0.2.整个系统开始时静止，重力加速度g取10 m/s2.

(1)在木板右端施加水平向右的拉力F，为使木板和物块发生相对运动，拉力F至少应为多大？

(2)在0～4 s内，若拉力F的变化如图乙所示，2 s后木板进入μ2＝0.25的粗糙水平面，在图丙中画出0～4 s内木板和物块的v­t图象，并求出0～4 s内物块相对木板的位移大小和整个系统因摩擦而产生的内能．

【解析】　(1)把物块和木板看成整体，由牛顿第二定律得F＝(m1＋m2)a

物块与木板将要相对滑动时，

μ1m1g＝m1a

联立解得F＝μ1(m1＋m2)g＝8 N.

(2)物块在0～2 s内做匀加速直线运动，木板在0～1 s内做匀加速直线运动，在1～2 s内做匀速运动，2 s后物块和木板均做匀减速直线运动，故二者在整个运动过程中的v­t图象如图所示．

0～2 s内物块相对木板向左运动，2～4 s内物块相对木板向右运动．

0～2 s内物块相对木板的位移大小Δx1＝2 m，

系统摩擦产生的内能Q1＝μ1m1gΔx1＝4 J.

2～4 s内物块相对木板的位移大小Δx2＝1 m，

物块与木板因摩擦产生的内能Q2＝μ1m1gΔx2＝2 J；

木板对地位移x2＝3 m，

木板与地面因摩擦产生的内能Q3＝μ2(m1＋m2)gx2＝30 J.

0～4 s内系统因摩擦产生的总内能为

Q＝Q1＋Q2＋Q3＝36 J.

【答案】　(1)8 N　(2)见解析

滑块—木板模型问题的分析和技巧

1．解题关键

正确地对各物体进行受力分析(关键是确定物体间的摩擦力方向)，并根据牛顿第二定律确定各物体的加速度，结合加速度和速度的方向关系确定物体的运动情况．

2．规律选择

既可由动能定理和牛顿运动定律分析单个物体的运动，又可由能量守恒定律分析动能的变化、能量的转化，在能量转化过程往往用到ΔE内＝－ΔE机＝Ffx相对，并要注意数学知识(如图象法、归纳法等)在此类问题中的应用. 

模型二　传送带模型

例2　如图所示，传送带与水平面之间的夹角为θ＝30°，其上A、B两点间的距离为l＝5 m，传送带在电动机的带动下以v＝1 m/s的速度匀速运动．现将一质量为m＝10 kg的小物体(可视为质点)轻放在传送带上的A点，已知小物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝，在传送带将小物体从A点传送到B点的过程中，求：(g取10 m/s2)

(1)传送带对小物体做的功；

(2)电动机做的功．

【解析】　(1)小物体刚开始运动时，根据牛顿第二定律有

μmgcos θ－mgsin θ＝ma

解得小物体上升的加速度为a＝＝2.5 m/s2

当小物体的速度为v＝1 m/s时，位移为

x＝＝0.2 m

然后小物体以v＝1 m/s的速度做匀速运动到达B点．

由功能关系得

W＝ΔEk＋ΔEp＝mv2＋mglsin θ＝255 J.

(2)电动机做功使小物体的机械能增加，同时小物体与传送带间因摩擦产生热量Q，由v＝at得

t＝＝0.4 s

相对位移x′＝vt－t＝0.2 m

摩擦产生的热量Q＝μmgx′cos θ＝15 J

故电动机做的功为W电＝W＋Q＝270 J.

【答案】　(1)255 J　(2)270 J

传送带问题的分析流程和技巧

1．分析流程

2．相对位移

一对相互作用的滑动摩擦力做功所产生的热量Q＝Ff·x相对，其中x相对是物体间相对路径长度．如果两物体同向运动，x相对为两物体对地位移大小之差；如果两物体反向运动，x相对为两物体对地位移大小之和．

3．功能关系

(1)功能关系分析：WF＝ΔEk＋ΔEp＋Q.

(2)对WF和Q的理解：

①传送带的功：WF＝Fx传；

②产生的内能Q＝Ffx相对. 

[高考真题]

1．(2016·四川卷，1)韩晓鹏是我国首位在冬奥会雪上项目夺冠的运动员．他在一次自由式滑雪空中技巧比赛中沿“助滑区”保持同一姿态下滑了一段距离，重力对他做功 1 900 J，他克服阻力做功100 J．韩晓鹏在此过程中(　　)

A．动能增加了1 900 J    

B．动能增加了2 000 J

C．重力势能减小了1 900 J

D．重力势能减小了2 000 J

【解析】　由动能定理可知，ΔEk＝1 900 J－100 J＝1 800 J，故A、B均错．重力势能的减少量等于重力做的功，故C正确、D错．

答案　C

2．(2014·山东卷，20)2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程．某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球．设“玉兔”质量为m，月球半径为R，月面的重力加速度为g月．以月面为零势能面，“玉兔”在h高度的引力势能可表示为Ep＝，其中G为引力常量，M为月球质量．若忽略月球的自转，从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为(　　) 

A.(h＋2R)     B．(h＋R)

C.(h＋R)     D．(h＋R)

【解析】　设玉兔在h高度的速度为v，则由万有引力定律得，G＝，可知玉兔在该轨道上的动能为Ek＝，由功能关系可知对玉兔做的功为：W＝Ek＋Ep＝＋，结合在月球表面：G＝mg月，整理可知W＝(h＋R)，故正确选项为D.

【答案】　D

3.(2014·广东卷，16)如图所示是安装在列车车厢之间的摩擦缓冲器结构图，图中①和②为楔块，③和④为垫板， 楔块与弹簧盒、垫板间均有摩擦，在车厢相互撞击使弹簧压缩的过程中(　　) 

A．缓冲器的机械能守恒 

B．摩擦力做功消耗机械能

C．垫板的动能全部转化为内能

D．弹簧的弹性势能全部转化为动能

【解析】　由于楔块与弹簧盒、垫板间有摩擦力，即摩擦力做负功，则机械能转化为内能，故A错误，B正确；垫板动能转化为内能和弹性势能，故C错误；而弹簧弹性势能也转化为动能和内能，故D错误．

【答案】　B

[名校模拟]

4.(2018·宁夏银川一中模拟)如图所示，水平传送带两端点A、B间的距离为L，传送带开始时处于静止状态．把一个小物体放到右端的A点，某人用恒定的水平力F使小物体以速度v1匀速滑到左端的B点，拉力F所做的功为W1、功率为P1，这一过程物体和传送带之间因摩擦而产生的热量为Q1.随后让传送带以v2的速度逆时针匀速运动，此人仍然用相同的恒定的水平力F拉物体，使它以相对传送带为v1的速度匀速从A滑行到B，这一过程中，拉力F所做的功为W2、功率为P2，物体和传送带之间因摩擦而产生的热量为Q2.下列关系中正确的是(　　) 

A．W1＝W2，P1B．W1＝W2，P1Q2

C．W1>W2，P1＝P2，Q1>Q2

D．W1>W2，P1＝P2，Q1＝Q2

【解析】　当传送带不运动时，拉力做功W1＝FL，物体从A运动到B的时间t1＝，因摩擦而产生的热量Q1＝fL.当传送带运动时，拉力做功W2＝FL，物体从A运动到B的时间t2＝Q2，故选B.

【答案】　B

5.(2018·山东临沂高三上学期期中)如图所示，一质量为m的小球用两根不可伸长的轻绳a、b连接，两轻绳的另一端分别系在竖直杆的A、B两点上，当两轻绳伸直时，a绳与杆的夹角为30°，b绳水平，已知a绳长为2L，当竖直杆以自己为轴转动，角速度ω从零开始缓慢增大过程中，下列说法正确的是(　　) 

A．从开始至b绳伸直但不提供拉力时，绳a对小球做功为0

B．b绳伸直但不提供拉力时，小球的向心加速度大小为g

C．从开始至b绳伸直但不提供拉力时，小球的机械能增加了mgL

D．当ω＝ 时，b绳未伸直

【解析】　细绳对球的拉力方向与球的位移方向不垂直，故一定对球做正功，使其机械能增大，A错；ma＝mgtan 30°，a＝g，B对；m＝mgtan θ，Ek＝mv2＝mgL，A球ΔE＝Ek＋Ep＝mgL＋mg(2L－L)＝·mgL，C对；令mLω2＝mgtan 30°，得ω＝，D对．

【答案】　BCD

6．(2018·江苏南通高三模拟)如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d.现将环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当环沿直杆下滑距离也为d时(图中B处)，下列说法正确的是(重力加速度为g)(　　) 

A．环刚释放时轻绳中的张力等于2mg

B．环到达B处时，重物上升的高度为(－1)d

C．环在B处的速度与重物上升的速度大小之比为

D．环减少的机械能大于重物增加的机械能

【解析】　环释放后重物加速上升，故绳中张力一定大于2mg，A项错误；环到达B处时，绳与直杆间的夹角为45°，重物上升的高度h＝(－1)d，B项正确；如图所示，将B处环速度v进行正交分解，重物上升的速度与其分速度v1大小相等，v1＝vcos 45°＝v，所以，环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于，C项错误；环和重物组成的系统机械能守恒，故D项错误．

【答案】　B

课时作业(十七)

[基础小题练]

1．自然现象中蕴藏着许多物理知识，如图所示为一个盛水袋，某人从侧面缓慢推袋壁使它变形，则水的势能(　　)

A．变大　　    B．变小　　

C.不变　　    D．不能确定

【解析】　人缓慢推水袋，对水袋做正功，由功能关系可知，水的重力势能一定增加，A正确．

【答案】　A

2．如图所示，A物体用板托着，细绳跨过轻质光滑定滑轮与A、B相连，绳处于绷直状态，已知A、B的质量分别为2m和m.现将板抽走，则A下落一段距离的过程中(　　) 

A．A物体减少的机械能大于B物体增加的机械能

B．A物体减少的机械能等于B物体增加的机械能

C．悬挂滑轮的绳子对天花板的拉力大于3mg

D．悬挂滑轮的绳子对天花板的拉力小于3mg

【解析】　对A、B组成的系统，没有机械能与其他形式能的转化，因此系统的机械能守恒，A物体减少的机械能等于B物体增加的机械能，A错误，B正确；对滑轮受力分析，根据平衡条件得F＝2FT，对A、B整体受力分析，根据牛顿第二定律得2mg－mg＝3ma，对B物体受力分析得FT－mg＝ma，联立得F＝mg，C错误，D正确．

【答案】　BD

3．小车静止在光滑的水平导轨上，一个小球用细绳悬挂在车上由图中位置无初速度释放，在小球下摆到最低点的过程中，下列说法正确的是(　　) 

A．绳对球的拉力不做功

B．球克服绳拉力做的功等于球减少的机械能

C．绳对车做的功等于球减少的重力势能

D．球减少的重力势能等于球增加的动能

【解析】　小球下摆的过程中，小车的机械能增加，小球的机械能减少，球克服绳拉力做的功等于减少的机械能，选项A错误，选项B正确；绳对车做的功等于球减少的机械能，选项C错误；球减少的重力势能等于球增加的动能和小车增加的机械能之和，选项D错误．

【答案】　B

4．悬崖跳水是一项极具挑战性的极限运动，需要运动员具有非凡的胆量和过硬的技术．跳水运动员进入水中后受到水的阻力而做减速运动，设质量为m的运动员刚入水时的速度为v，水对他的阻力大小恒为F，那么在他减速下降深度为h的过程中，下列说法正确的是(g为当地的重力加速度)(　　)

A．他的动能减少了(F－mg)h

B．他的重力势能减少了mgh－mv2

C．他的机械能减少了Fh

D．他的机械能减少了mgh

【解析】　合力做的功等于动能的变化，合力做的功为(F－mg)h，A正确；重力做的功等于重力势能的减少量，故重力势能减小了mgh，B错误；重力以外的力做的功等于机械能的变化，故机械能减少了Fh，C正确，D错误．

【答案】　AC

5．如图所示，在光滑斜面上的A点先后水平抛出和静止释放两个质量相等的小球1和2，不计空气阻力，最终两小球在斜面上的B点相遇，在这个过程中(　　) 

A．小球1重力做的功大于小球2重力做的功

B．小球1机械能的变化大于小球2机械能的变化

C．小球1到达B点的动能大于小球2的动能

D．两小球到达B点时，在竖直方向的分速度相等

【解析】　重力做功只与初、末位置的高度差有关，与物体经过的路径无关，所以重力对1、2两小球所做的功相等，A错误；1、2两小球从A点运动到B点的过程中，只有重力对其做功，所以它们的机械能均守恒，B错误；由动能定理可得，对小球1有：mgh＝Ek1－Ek0，对小球2有：mgh＝Ek2－0，显然Ek1＞Ek2，C正确；由上面的分析可知，两小球到达B点时，小球1的速度大于小球2的速度，且小球1的速度方向与竖直方向的夹角小于小球2速度方向与竖直方向的夹角，因此，小球1在竖直方向上的速度大于小球2在竖直方向上的速度，D错误．

【答案】　C

6．如图所示，水平传送带AB长为21 m，以6 m/s的速度顺时针匀速转动，台面与传送带平滑连接于B点，半圆形光滑轨道半径R＝1.25 m，与水平台面相切于C点，BC长x＝5.5 m，P点是圆弧轨道上与圆心O等高的一点．一质量为m＝1 kg的物块(可视为质点)，从A点无初速度释放，物块与传送带及台面间的动摩擦因数均为0.1，则关于物块的运动情况，下列说法正确的是(　　)

A．物块不能到达P点

B．物块能越过P点做斜抛运动

C．物块能越过P点做平抛运动

D．物块能到达P点，但不会出现选项B、C所描述的运动情况

【解析】　物块从A点释放后在传送带上做加速运动，假设到达台面之前能够达到传送带的速度v，则由动能定理得，μmgx1＝mv2，得x1＝18 m＜21 m，假设成立．物块以6 m/s冲上台面，假设物块能到达P点，则到达P点时的动能EkP可由动能定理求得，－μmgx－mgR＝EkP－mv2，得EkP＝0，可见，物块能到达P点，速度恰为零，之后从P点沿圆弧轨道滑回，不会出现选项B、C所描述的运动情况，D正确．

【答案】　D

[创新导向练]

7．生活娱乐——蹦床娱乐中的能量转化问题

在儿童乐园的蹦床项目中，小孩在两根弹性绳和蹦床的协助下实现上下弹跳．如图所示，某次蹦床活动中小孩静止时处于O点，当其弹跳到最高点A后下落可将蹦床压到最低点B，小孩可看成质点，不计空气阻力．下列说法正确的是(　　)

A．从A运动到O，小孩重力势能减少量大于动能增加量

B．从O运动到B，小孩动能减少量等于蹦床弹性势能增加量

C．从A运动到B，小孩机械能减少量小于蹦床弹性势能增加量

D．若从B返回到A，小孩机械能增加量等于蹦床弹性势能减少量

【解析】　从A运动到O点，小孩重力势能减少量等于动能增加量与弹性绳的弹性势能的增加量之和，选项A正确；从O运动到B，小孩动能和重力势能的减少量等于弹性绳和蹦床的弹性势能的增加量，选项B错误；从A运动到B，小孩机械能减少量大于蹦床弹性势能增加量，选项C错误；若从B返回到A，小孩机械能增加量等于蹦床和弹性绳弹性势能减少量之和，选项D错误．

【答案】　A

8．物理与生物——以“跳蚤”弹跳为背景考查能量问题

在日常生活中，人们习惯于用几何相似性放大(或缩小)的倍数去得出推论，例如一个人身体高了50%，做衣服用的布料也要多50%，但实际上这种计算方法是错误的．若物体的几何线度为L，当L改变时，其他因素按怎样的规律变化？这类规律可称之为标度律，它们是由量纲关系决定的．在上例中，物体的表面积S＝kL2，所以身高变为1.5倍，所用的布料变为1.52＝2.25倍．以跳蚤为例：如果一只跳蚤的身长为2 mm，质量为0.2 g，往上跳的高度可达0.3 m．可假设其体内能用来跳高的能量E∝L3(L为几何线度)，在其平均密度不变的情况下，身长变为2 m，则这只跳蚤往上跳的最大高度最接近(　　)

A．0.3 m     B．3 m  

C．30 m     D．300 m

【解析】　根据能量关系可知E＝mgh，由题意可知E＝kL3，则mgh＝kL3；因跳蚤的平均密度不变，则m＝ρL3，则ρgh＝k，因ρ、g、k均为定值，故h不变，则这只跳蚤往上跳的最大高度最接近0.3 m，故选A.

【答案】　A

9．就地取材——利用“弹弓”考查功能关系问题

弹弓是80后童年生活最喜爱的打击类玩具之一，其工作原理如图所示，橡皮筋两端点A、B固定在把手上，橡皮筋ABC恰好处于原长状态，在C处(AB连线的中垂线上)放一固体弹丸，一手执把，另一手将弹丸拉至D点放手，弹丸就会在橡皮筋的作用下迅速发射出去，打击目标，现将弹丸竖直向上发射，已知E是CD的中点，则(　　)

A．从D到C，弹丸的动能一直在增大

B．从D到C的过程中，弹丸在E点的动能一定最大

C．从D到C，弹丸的机械能先增大后减少

D．从D到E弹丸增加的机械能大于从E到C弹丸增加的机械能

【解析】　在CD连线中的某一处，弹丸受力平衡，但是此点不一定是E点，所以从D到C，弹丸的速度先增大后减小，弹丸的动能先增大后减小，故A、B错误；从D到C，橡皮筋对弹丸做正功，弹丸机械能一直在增加，故C错误；从D到E橡皮筋作用在弹丸上的合力大于从E到C橡皮筋作用在弹丸上的合力，两段长度相等，所以DE段橡皮筋对弹丸做功较多，即机械能增加的较多，故D正确，故选D.

【答案】　D

10．综合应用——能量转化与守恒定律的实际应用

如图所示，倾角θ＝37°的光滑斜面上粘贴有一厚度不计、宽度为d＝0.2 m的橡胶带，橡胶带的上表面与斜面位于同一平面内，其上、下边缘与斜面的上、下边缘平行，橡胶带的上边缘到斜面的顶端距离为L＝0.4 m，现将质量为m＝1 kg、宽度为d的薄矩形板上边缘与斜面顶端平齐且从斜面顶端静止释放．已知矩形板与橡胶带之间的动摩擦因数为0.5，重力加速度大小为g＝10 m/s2，不计空气阻力，矩形板由斜面顶端静止释放到完全离开橡胶带的过程中(此过程矩形板始终在斜面上)，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，下列说法正确的是(　　)

A．矩形板受到的摩擦力大小为4 N

B．矩形板的重力做功为3.6 J

C．产生的热量为0.8 J

D．矩形板的上边缘穿过橡胶带下边缘时其速度大小为 m/s

【解析】　当矩形板全部在橡胶带上时摩擦力为Ff＝μmgcos 37°＝4 N，此时摩擦力最大，其他情形摩擦力均小于4 N，故A错误；重力对矩形板做功WG＝mgh＝mg(L＋d)sin 37°＝3.6 J，B正确；从滑上橡胶带到完全离开橡胶带，因矩形板受到的摩擦力与位移的变化为线性关系，则产生的热量Q＝×2d＝0.8 J，C正确；从释放到完全离开橡胶带，对矩形板由动能定理有mg(L＋d)sin 37°－×2d＝mv2，代入可得v＝m/s，D正确．

【答案】　BCD

[综合提升练]

11．如图所示，A、B间是一个风洞，水平地板AB延伸至C点，通过半径r＝0.5 m、圆心角为θ的光滑圆弧CD与足够长的光滑斜面DE连接，斜面倾角为θ.可以看成质点、质量m＝2 kg的滑块在风洞中受到水平向右的恒定风力F＝20 N，滑块与地板AC间的动摩擦因数μ＝0.2.已知xAB＝5 m，xBC＝2 m，如果将滑块在风洞中A点由静止释放，已知sin θ＝0.6，cos θ＝0.8，重力加速度g取10 m/s2.求(计算结果要求保留3位有效数字)：

(1)滑块经过圆弧轨道的C点时对地板的压力大小及在斜面上上升的最大高度；

(2)滑块第一次返回风洞速率为零时的位置；

(3)滑块在A、C间运动的总路程．

【解析】　(1)滑块在风洞中A点由静止释放后，设经过C点时速度为v1，由动能定理得

FxAB－μmgxAC＝mv

在C点由牛顿第二定律有

FNC－mg＝m

代入数据解得FNC＝308 N，由牛顿第三定律知滑块经过C点时对地板的压力为308 N

滑块由C点上滑过程中，机械能守恒

mv＝mgr(1－cos θ)＋mgh

代入数据解得h＝3.50 m.

(2)滑块返回风洞时，风力与摩擦力皆为阻力，设滑块运动到P点时速率为零，由能量守恒得

mv＝μmg(xBC＋xPB)＋FxPB

代入数据解得xPB＝ m≈2.67 m

滑块第一次返回风洞速率为零时的位置在B点左侧2.67 m处．

(3)整个过程等效为滑块从A处在风力和滑动摩擦力的共同作用下被推到B处，然后在足够长水平面上滑行至静止，设总路程为s，由动能定理得

FxAB－μmgs＝0

代入数据解得s＝25.0 m.

【答案】　(1)308 N　3.50 m　(2)在B点左侧2.67 m处　(3)25.0 m

12．如图所示，在竖直方向上A、B两物体通过劲度系数为k＝16 N/m的轻质弹簧相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过细线绕过轻质定滑轮相连，C放在倾角α＝30°的固定光滑斜面上．用手拿住C，使细线刚好拉直但无拉力作用，并保证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行．已知A、B的质量均为m＝0.2 kg，重力加速度取g＝10 m/s2，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态．释放C后它沿斜面下滑，A刚离开地面时，B获得最大速度，求：

(1)从释放C到物体A刚离开地面时，物体C沿斜面下滑的距离；

(2)物体C的质量；

(3)释放C到A刚离开地面的过程中细线的拉力对物体C做的功．

【解析】　(1)设开始时弹簧的压缩量为xB，得

kxB＝mg①

设物体A刚离开地面时，弹簧的伸长量为xA，得

kxA＝mg②

当物体A刚离开地面时，物体C沿斜面下滑的距离为

h＝xA＋xB③

由①②③解得h＝＝0.25 m．④

(2)物体A刚离开地面时，物体B获得最大速度vm，加速度为零，设C的质量为M，对B有

FT－mg－kxA＝0⑤

对C有Mgsin α－FT＝0⑥

由②⑤⑥解得M＝4m＝0.8 kg.

(3)由于xA＝xB，物体B开始运动到速度最大的过程中，弹簧弹力做功为零，且B、C两物体速度大小相等，

由能量守恒有Mghsin α－mgh＝(m＋M)v

解得vm＝1 m/s

对C由动能定理可得Mghsin α＋WT＝Mv

解得WT＝－0.6 J.

【答案】　(1)0.25 m　(2)0.8 kg　(3)－0.6 J