海南省海南中学2016届高三第5次月考数学(理科)试题

理科数学

（考试用时为120分钟，满分分值为150分.）

第Ⅰ卷

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将答案填到答题卡，答在本试题上无效。

1. 已知集合，则（    ）

  A.       B.        C.       D. 

2. 已知复数，且，则复数的虚部为 （    ）

  A.           B.              C.           D. 

3. 已知两条不同直线、，两个不同平面、，在下列条件中，可得出的是                                                     （    ）

A．，，             B．，，             

 C．，，            D．，，   

4. 已知成等差数列，成等比数列，则（     ）

   A.           B.           C.          D.或

5. 下列说法正确的是（    ）      

   A.  命题“，使得”的否定是“，使得”   

   B. “若，则关于的不等式解集为”的逆命题为真

   C. “若不都是偶数，则不是偶数”的否命题为假

   D. “已知，若，则或”的逆否命题为真   

6. 由曲线，直线及轴所围成的封闭图形的面积为     （     ）

    A.　        B.　      C.　       D. 6　

7. 已知两个非零向量与，定义，其中为与的夹角．若，，则的值为                    （     ）

A．             B．            C．8               D．6   

8. 底面是正方形的四棱锥的三视图如下图所示，则该四棱锥中，面积最大的

侧面的面积为                                             （    ）

   A.           B.           C.           D. 

9. 函数( || <)的图象向右平移个单位后关于原点对称， 则函数在上的最小值为          （    ） 

    A.    B.    C.        D.  

10. 在正三棱柱中，，点在棱上，若，则与平面所成角的正弦值为                          （    ）

    A.           B.           C.        D. 

11. 如图，三棱锥中，，，，则的长为            （    ）

 A.           B.           

C.              D.  

12.已知，是非零实数，，若对任意的，恒成立，则                                                （    ）

     A.             B.           C.           D.  

第卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

13. 已知，满足约束条件则目标函数的最小值为______________．

14. 四棱锥中，底面为正方形，⊥平面，，则异面直线与所成的角是___________.                                                                                                       

15.已知的内角，，对的边分别为，，，，，则当取得最小值时， ____________.

16．在数列中，，，如果是1与的等比中项，那么的值              . 

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（共70分）

17.（本小题满分12分） 设数列的前项和为，点均在函数的图象上．

（1）求数列的通项公式；

（2）若为等比数列，且，求数列的前n项和．

18.（本小题满分12分） 如图，已知三棱柱的侧面与底面垂直，且侧面为矩形，，，，，点、分别为棱、的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

19.（本小题满分12分）

向量，函数．

（1）求函数的对称轴和对称中心；

（2）中内角、、的对边分别为、、，角为锐角，若，，求周长的最大值．

20、（本小题满分12分）如图，平行四边形中，，，，沿将折起，使二面角是大小为锐角的二面角，设在平面上的射影为．

（1）当为何值时，三棱锥的体积最大？最大值为多少？

（2）当时，求的大小．

21.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）若函数的图象在处的切线与函数的图象相切，求实数的值；

（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；

（3）若对于，总存在，且满足

，其中为自然对数的底数，求实数的取值范围.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，是的外接圆，的平分线交于点，点是的延长线与的交点，的延长线与的切线交于点.

（1）求证：；

（2）若，，，求的值.

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在以平面直角坐标系的坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，正三角形的顶点都在上，且，，依逆时针次序排列，点的坐标为．

（1）求点，的直角坐标；

（2）设是圆：上的任意一点，求的取值范围．

 24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知是常数，对任意实数，不等式都成立.

 （1）求的值；

 （2）设，求证：.

海南中学2016届高三第5次月考

理科数学参

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）

13.      ;         14.           ;    

15.      ;            16.      .

12. 试题分析：对求导，并令导函数为零，可得极值点，代入函数，则（极小值，因为的二阶导数恒大于0），得到，考察方程，即，画出函数和函数，可求得， 因而.(或构造新函数求得)

16. 试题简析： ，因式分解得

，  （亦可列举前几项不完全归纳得）

三.解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分） 

解：（Ⅰ）依题意得，即．   ……………1分

       当n=1时，a1=S1=1+1=2                   ……………2分

       当n≥2时， 

         ……………4分

        满足上式                        ……………5分   

       所以                    ……………6分

（Ⅱ）设等比数列的公比为，，解得，又

      ，                             ……………8分

      ，         ……………9分

                                              ……………12分

18.（本小题满分12分） 解：（1）证明：连接，设，连接，

点分别为的中点 ， 

 又平面，平面

平面            ……………4分

（第1问中若证明了                 ，给6分 ）

（2）证明：(证法一)侧面为矩形，

又平面平面  

平面平面 

平面             

又，如图所示，以点为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系.   中，，，，，

则

即，

又        故平面得证.          

（2）证明：(证法二)侧面为矩形，

  又

又平面平面  

平面平面 

平面        

     侧面亦为矩形，

  中，，，，，

 矩形中， 

故有，即

， 

，

即，                   

又，        

故平面得证.                          

19.（本小题满分12分）  解：

        ……………2分

  令  ，解得  

  故函数的对称轴为     ……………4分

     令  ，解得  

        故函数的对称中心为    ……………6分

，即

又 

即                                              ……………8分

又，由余弦定理，得 

即               …………9分

又   代入上式得

解得，                            ……………11分

即周长（当且仅当时等号成立）

    故周长的最大值为                          …………12分

  20.（本小题满分12分）  解：（1）由题知，平面，

平面， ∴，又  ∴平面

平面   ∴，∴，    ………2分

，

        ………………4分

，                        ………………5分

当且仅当，即时取等号，

∴当时，三棱锥的体积最大，最大值为．  ………6分

(2)(法一)连接，∵平面，平面，

 ∴，又，  

∴平面，平面

∴，         ………………………8分

∴，又

∴，且   ∴，………10分

∴，    ∴， ………………11分        

在中，，得．…………12分

(法二) 在平面中过点作于点，

则为矩形，以为原点，，，所在

直线分别为轴、轴、轴，建系如图，

 则，

，                            ………8分

于是，，         ………9分

由，得，     

∴，           ……………11分

得，又为锐角，∴．                   …………12分

  21.（本小题满分12分）

解：（1）函数g(x)的定义域为，，

则，，                        …………… 2分

由     与函数的图象相切，                       …………… 4分

（2）由题, 

……… 5分

8分

（Ⅲ）当时， 

在区间上为增函数，

时，                  ……………… 9分

的对称轴为，为满足题意，必须

此时，的值恒小于和中最大的一个

对于，总存在，且满足，             

                   ………………11分

                             ……………… 12分

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

解：（1）连结，∵是的平分线，

∴，，

又∵与相切于，∴，∵是的内接四边形的外角，

∴，∴，∴；  …………… 5分

（2）由（1）得，由已知，∴，，∵与相切于，，，

∴，解得，

由（1）可得  ，∴，

∴，∴，∴，

即.                                  …………… 10分

 23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

解：（1）由题设，，

可知正三角形的三个顶点，，都在以原点为圆心，以2为半径的圆上，在极坐标系中，点，所以，两点对应的极角分别为，

所以点、点的极坐标分别为

、，

  即点、的直角坐标分别为、；…………… 5分

（2）由：，可得圆的参数方程为：

，故设点

于是

， 

即的取值范围为．           …………… 10分

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

解：（1）设，则，

时，   ∴的最大值为，

∵对任意实数，都成立，∴，

设，∴的最小值为，

;;

∵对任意实数，都成立，∴，

∴；                                          …………… 5分

（亦可由绝对值三角不等式得出最值）                   

（2）由（1）得，

∵，又∵，

∴，当且仅当，时，等号成立，∴.

                                         …………… 10分